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第2课时 合并同类项法则的应用
过教材 要点概览
求多项式的值的步骤是先合并多项式中的同类项,再代入数值进行计算.
精讲练 新知探究
探究点一 合并同类项
[典例1]若3am+3b4与a2bn的和是单项式,求mn的值.
解:因为3am+3b4与a2bn的和是单项式,
所以3am+3b4与a2bn是同类项,
所以m+3=2,n=4,解得m=-1,
所以mn=(-1)4=1.
[变式1]合并同类项:
(1)-9x3+7x2-3x2+6x3= ;
(2)-8a2b+6ab2+3a2b-2ab2= ;
(3)-5m2n+4mn2-2mn+6m2n+3mn= .
-3x3+4x2
-5a2b+4ab2
m2n+mn+4mn2
探究点二 化简求值
[典例2]当a=-1,b=2时,求多项式-4a2b-3ab+5a2b+2ab的值.
解:-4a2b-3ab+5a2b+2ab
=(-4a2b+5a2b)+(-3ab+2ab)
=a2b-ab.
当a=-1,b=2时,
原式=(-1)2×2-(-1)×2=2-(-2)=4.
[变式2]先化简,再求值:
-x2+5x-2x2-7x+3,其中x=-1.
解:-x2+5x-2x2-7x+3
=(-x2-2x2)+(5x-7x)+3
=-3x2-2x+3.
当x=-1时,原式=-3×(-1)2-2×(-1)+3=-3+2+3=2.
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4.4 整式的加法与减法
过教材 要点概览
1.整式加减的实质是 .
2.整式加减的步骤是先 ,然后 .
合并同类项
去括号
合并同类项
精讲练 新知探究
探究点一 整式的加减
[典例1]已知M=3y2-2xy+x3,N=2y2+xy-3x3.
(1)求M+2N;
解:(1)M+2N=3y2-2xy+x3+2(2y2+xy-3x3)
=3y2-2xy+x3+4y2+2xy-6x3
=7y2-5x3.
(2)求2M-N.
解:(2)2M-N=2(3y2-2xy+x3)-(2y2+xy-3x3)
=6y2-4xy+2x3-2y2-xy+3x3
=4y2-5xy+5x3.
[变式1]已知一个多项式与2x2-4的差是x2-2x,则这个多项式是( )
A.x2+2x-4 B.3x2-6x
C.-x2-2x-4 D.3x2-2x-4
[变式2]若关于x的两个多项式x3-8x2+x+2与2x3+2mx-3x-1的和为三次三项式,则m的值为 .
D
1
[变式3]已知:A=a2-2ab+b2,B=a2+2ab+b2.
(1)求A+B;
解:(1)A+B=(a2-2ab+b2)+(a2+2ab+b2)
=a2+a2-2ab+2ab+b2+b2
=2a2+2b2.
探究点二 整式的化简求值
[典例2]先化简,再求值:3(4x2y-xy2)-(-xy2+3x2y),其中x=-2,y=1.
解:3(4x2y-xy2)-(-xy2+3x2y)=12x2y-3xy2+xy2-3x2y=9x2y-2xy2.
当x=-2,y=1时,
原式=9×(-2)2×1-2×(-2)×1=36+4=40.
[变式4]已知A=2x2+xy+3y-1,B=x2-xy,若(x+2)2+|y-3|=0,求A-2B的值.
解:A-2B=2x2+xy+3y-1-2(x2-xy)=2x2+xy+3y-1-2x2+2xy=3xy+3y-1.
因为(x+2)2+|y-3|=0,
所以x+2=0,y-3=0,所以x=-2,y=3,
所以原式=3×(-2)×3+3×3-1=-18+9-1=-10.
[变式5]已知多项式A=x2+xy+3y,B=x2-xy.
(1)当x=-2,y=5时,求2A-B的值;
解:(1)2A-B
=2(x2+xy+3y)-(x2-xy)
=2x2+2xy+6y-x2+xy
=x2+3xy+6y.
当x=-2,y=5时,
原式=(-2)2+3×(-2)×5+6×5
=4-30+30
=4.
(2)若2A-B的值与y的值无关,求x的值.
解:(2)2A-B=x2+3xy+6y=x2+(3x+6)y.
因为2A-B的值与y的值无关,
所以3x+6=0,
所以x=-2.
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4.3 去括号
过教材 要点概览
1.去括号法则
括号前面是“+”号时,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都 ;括号前面是“-”号时,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项的符号都 .
不改变
改变
2.添括号法则
所添括号前面是“+”号时,括到括号里的各项都 符号;所添括号前面是“-”号时,括到括号里的各项都 符号.
不改变
改变
精讲练 新知探究
探究点一 去括号法则
[典例1]下列去括号错误的是( )
A.5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5z
B.3x2-3(x+6)=3x2-3x-6
C.2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2d
D.-(x-2y)-(x2+y2)=-x+2y-x2-y2
B
[典例2]先去括号,再合并同类项:
(1)2(2b-3a)+3(2a-3b);
(2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1).
解:(1)2(2b-3a)+3(2a-3b)
=4b-6a+6a-9b
=-5b.
(2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1)
=4a2+6ab-4a2-7ab+1
=-ab+1.
[变式1]下列各式从左到右的变形中,正确的是( )
A.x-(y-z)=x-y-z
B.x+2(y-z)=x+2y-z
C.x+(y-z)=x-y-z
D.x-2(y-z)=x-2y+2z
D
[变式2](2024聊城模拟)先去括号,再合并同类项:
(1)(3x2+4-5x3)-(x3-3+3x2);
(2)(3x2-xy-2y2)-2(x2+xy-2y2).
解:(1)原式=3x2+4-5x3-x3+3-3x2=-6x3+7.
(2)原式=3x2-xy-2y2-2x2-2xy+4y2=x2-3xy+2y2.
点睛
去括号的规律
(1)a+(b+c)=a+b+c,括号前是“+”号,去括号时,括号内各项不变号.
(2)a-(b-c)=a-b+c,括号前是“-”号,去括号时,括号内各项都要变号.
(3)去括号改变了式子的形式,但并没有改变式子的值.
探究点二 添括号法则
[典例3]填空:
(1)-9a2+16b2=-( ).
(2)3x2y2-x2y+y3=3x2y2-( ).
(3)b-a+3(a-b)2=- ( )+3(a-b)2.
(4)3x3-5x2-2x+1=3x3+( )=3x3-5x2-( ).
9a2-16b2
x2y-y3
a-b
-5x2-2x+1
2x-1
[变式3]下列各式左右两边相等的是( )
A.-a+b-c=-a+(b+c)
B.-a-b-c=-a-(b+c)
C.-a-b+c=-a+(b-c)
D.-a-b-c=-(a+b-c)
B
[变式4]当x=1时,代数式ax5+bx3+cx-7的值为10,则当x=-1时,求代数式ax5+bx3+cx-7的值.
解:将x=1代入ax5+bx3+cx-7,得
a+b+c-7=10,所以a+b+c=17.
当x=-1时,
ax5+bx3+cx-7=-a-b-c-7
=-(a+b+c)-7
=-24.
点睛
添括号法则实际上是去括号法则的逆向运算,添括号是否正确,可用去括号法则来检验.
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4.1 整式
过教材 要点概览
第4章 整式的加法与减法
1.表示 与 的乘积的代数式叫作单项式.单独的一个 或一个 也是单项式.也就是说单项式不含有 、 运算.
2.单项式中的数字因数叫作这个单项式的 .一个单项式中,所有字母的指数的 叫作这个单项式的次数.对于单独的一个非零的数,规定它的次数为 .一个单项式的次数是几,通常称这个单项式是
几次单项式.
数
字母
数
字母
加
减
系数
和
0
3.几个 的和叫作多项式.多项式中的每个 都叫作这个多项式的项,其中不含 的项叫作常数项.多项式中 的项的次数,叫作这个多项式的次数.一个多项式含有几项,就叫几项式.
4. 和 统称为整式.
单项式
单项式
字母
次数最高
单项式
多项式
精讲练 新知探究
C
D
4
B
[典例3]已知多项式-13x2yn+1+xy2-6x4-3x3是六次四项式.
(1)写出n的值,并将多项式按x的升幂排列;
(2)求该多项式各项系数之和.
解:(1)由题意,得2+n+1=6,
所以n=3.
按x的升幂排列为xy2-13x2y4-3x3-6x4.
(2)该多项式各项系数之和为1-13-3-6=-21.
[变式3]多项式2x2y+3xy-1的次数是 ,常数项是 ,二次项的系数是 .
[变式4]已知多项式-2+xm-1y+x-nx2y4是关于x,y的四次三项式.
(1)求m和n的值;
(2)将这个多项式按字母x的降幂排列,并直接写出它的常数项.
3
3
-1
解:(1)由题意,得n=0,m-1+1=4,
所以m=4,n=0.
(2)将这个多项式按字母x的降幂排列为x3y+x-2,
所以常数项为-2.
D
B
2ab(答案不
唯一)
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4.2 合并同类项
第1课时 同类项及合并同类项
过教材 要点概览
1.所含字母 ,并且相同字母的 也相同的项叫作同类项.常数项都是同类项.
2.把多项式中的 合并成一项,叫作合并同类项.
3.合并同类项时,把同类项的 相加,所得的 作为系数,字母与字母的指数 .
相同
指数
同类项
系数
和
不变
精讲练 新知探究
A
解:因为单项式2x2my7与单项式5x6yn+8是同类项,所以2m=6,n+8=7,解
得m=3,n=-1,所以2m+n2=6+1=7.
点睛
(1)同类项的特征:一是所含字母相同,二是相同字母的指数也相同,两者缺一不可.
(2)同类项与系数的大小无关.
(3)同类项与它们所含字母的排列顺序无关.
(4)所有常数项都是同类项.
探究点二 合并同类项法则
[典例2]合并下列各式中的同类项:
(1)x2y-3x2y;
(2)x-2x+3x;
(3)-3m2+5m2-m2.
解:(1)x2y-3x2y=(1-3)x2y=-2x2y.
(2)x-2x+3x=(1-2+3)x=2x.
(3)-3m2+5m2-m2=(-3+5-1)m2=m2.
[变式2]下列运算正确的是( )
A.-ab-ab=0 B.2a2b-a2b=1
C.3x+2x2=5x3 D.-y2x+xy2=0
D
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