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第2课时 一元一次方程与实际问题(2)
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解决调配问题首先要弄清楚调配对象流动的方向和数量,从调配后的数量关系中找出等量关系.
精讲练 新知探究
探究点一 调配问题
[典例1]某学校在艺术节期间,选派志愿者负责艺术节的联络服务和文化展示服务工作,负责联络服务工作的有15人,负责文化展示服务工作的有8人,因工作需要,又调10人去支援两服务处,使得负责联络服务工作的人数比负责文化展示服务工作的人数的2倍多3人,则应调往联络、文化展示两服务处各多少人
解:设应调往联络服务处x人,则调往文化展示服务处(10-x)人.
依题意,得(15+x)-2[8+(10-x)]=3,
解得x=8,
所以10-x=10-8=2.
答:应调往联络服务处8人,文化展示服务处2人.
B
[变式2]小芳和小华同时采摘樱桃,小芳平均每小时比小华多采摘1 kg,两人半小时共采摘了7.5 kg.
(1)小芳和小华平均每小时各采摘多少千克樱桃
(2)两人共同采摘了若干小时后,小芳从她采摘的樱桃中取出1 kg给了小华,这时两人的樱桃一样多.她们共同采摘了多长时间
解:(2)设她们共同采摘了y小时.
根据题意,得8y-1=7y+1,
解得y=2.
答:她们共同采摘了2小时.
探究点二 配套问题
[典例2]某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒.已知该工厂有44名工人,每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个.要求一个筒身配两个筒底,设应该分配x名工人制作筒身,其他工人制作筒底,使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套,则可列方程为( )
A.2×120(44-x)=50x
B.2×50(44-x)=120x
C.120(44-x)=2×50x
D.120(44-x)=50x
C
[变式3]某车间有66名工人,每名工人一天能生产甲种零件24个或乙种零件15个,甲种零件3个与乙种零件5个配成一套机件.若合理分配所有工
人,使得每天生产的零件刚好配套,则每天可生产 套机件.
144
[变式4]某车间为提高生产总量,在原有16名工人的基础上,新调入若干名工人,使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的3倍多 4名.
(1)新调入多少名工人
解:(1)设新调入x名工人.
根据题意,得16+x=3x+4,
解得x=6,经检验,x=6符合题意,所以新调入6名工人.
(2)在(1)的条件下,每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母,1个螺栓需要2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名
解:(2)由(1),知调入6名工人后,车间有工人16+6=22(名).设安排y名工人生产螺栓,则安排(22-y)名工人生产螺母.
因为每天生产的螺栓和螺母刚好配套,所以240y×2=400(22-y),
解得y=10,经检验,y=10符合题意,所以22-y=22-10=12,所以10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母,可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套.
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第3课时 解一元一次方程(3)
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1.去分母的方法
利用等式的基本性质2,方程两边所有的项都要乘各分母的 .注意不要漏乘没有分母的项.
2.解一元一次方程的一般步骤
(1) ;(2) ;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数
化为 .
最小公倍数
去分母
去括号
1
精讲练 新知探究
探究点一 解含有括号的一元一次方程
[典例1]解方程2(2x-1)=1-(3-x),去括号正确的是( )
A.4x-1=1-3-x
B.4x-1=1-3+x
C.4x-2=1-3+x
D.4x-2=1-3-x
[变式1]解方程3-x=2-5(x-1)时,去括号,得3-x= .
C
2-5x+5
[变式2]解方程:
(1)2(x-3)+1=3x-4;
解:(1)2(x-3)+1=3x-4,
去括号,得2x-6+1=3x-4,
移项,得2x-3x=-4+6-1,
合并同类项,得-x=1,
系数化为1,得x=-1.
(2)(x+2)-2(x-1)=2-3x;
解:(2)(x+2)-2(x-1)=2-3x,
去括号,得x+2-2x+2=2-3x,
移项,得x-2x+3x=2-2-2,
合并同类项,得2x=-2,
系数化为1,得x=-1.
(3)4x+2(4x-3)=2-3(x+1).
探究点二 解含有分母的一元一次方程
B
解:(2)去分母,得2(x+2)-6=3(x-1),
去括号,得2x+4-6=3x-3,
移项,得2x-3x=-3-4+6,
合并同类项,得-x=-1,
系数化为1,得x=1.
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第3课时 一元一次方程与实际问题(3)
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1.路程问题基本公式
路程= ,速度= ,时间= .
2.常见的题型
(1)相遇问题;(2)追及问题;(3)航行问题.
速度×时间
精讲练 新知探究
探究点一 相遇问题
[典例1]甲、乙两地相距270千米,从甲地开出一辆快车,速度为120千米/时,从乙地开出一辆慢车,速度为75千米/时.如果两车相向而行,慢车先开出1小时后,快车开出,那么再经过多长时间两车相遇 若设再经过x小时两车相遇,则根据题意可列方程为( )
A.75+(120-75)x=270
B.75+(120+75)x=270
C.120(x-1)+75x=270
D.120+(120+75)x=270
B
[变式1]A地到B地的距离约是300 km,一辆货车从A地出发开往B地,另一辆轿车从B地出发开往A地,轿车的平均速度为90 km/h,货车的平均速度为60 km/h.
(1)若两车同时出发,则它们经过多少小时相遇
解:(1)设它们经过x h相遇,
由题意,得90x+60x=300,
解得x=2.
答:它们经过2 h相遇.
(2)若货车先行驶60 km,则轿车要开出多少小时才能与货车相遇
探究点二 追及问题
[典例2]甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7 m,乙每秒跑5 m,甲让乙先跑
8 m,设甲出发x s可追上乙,则可列方程为( )
C
[变式2]一辆客车和一辆卡车都从A地出发沿同一条公路匀速驶向B地,客车的行驶速度为70千米/时,卡车的行驶速度为60千米/时,已知卡车提前1小时出发,结果两车同时到达B地.
(1)求A,B两地的距离.
(2)客车出发多少小时后,两车第一次相距20千米
解:(2)设客车出发y小时后,两车第一次相距20千米.
依题意,得70y+20=60(y+1),
解得y=4.
答:客车出发4小时后,两车第一次相距20千米.
探究点三 航行问题
[典例3]某人驾驶一艘小船航行在甲、乙两码头之间,顺水航行需6 h,逆水航行比顺水航行多用2 h,若水流速度是每小时2 km,求甲、乙两码头之间的距离.
解:设船在静水中的速度为x km/h.
根据题意,得6(x+2)=(6+2)(x-2),
解得x=14,
6×(14+2)=96(km).
答:甲、乙两码头之间的距离为96 km.
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5.3 一元一次方程的解法
第1课时 解一元一次方程(1)
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1.求方程的 的过程,叫作解方程.
2.解一个以x为未知数的方程,就是把方程转化为 (c为常数)的形式.
3.系数化为1是运用等式的 将方程的两边都除以未知数的系数.
解
x=c
基本性质2
精讲练 新知探究
探究点一 解一元一次方程——系数化为1
A
B
解:(1)系数化为1,得x=-12.
(3)系数化为1,得x=-15.
(4)系数化为1,得x=2.
探究点二 解一元一次方程——合并同类项
[典例2]解下列方程:
(1)8x-3x=-5+7.5;
[变式3]下列各方程合并同类项不正确的是( )
A.由3x-2x=3合并同类项,得x=3
B.由3x-4x=3合并同类项,得-x=3
C.由6x-2x+3x=12合并同类项,得x=12
D.由-3x+2x=5合并同类项,得-x=5
C
[变式4]解方程:
(1)5x-2x=9;
(2)-6x+3x=-1-8;
解:(1)合并同类项,得3x=9,
系数化为1,得x=3.
(2)合并同类项,得-3x=-9,
系数化为1,得x=3.
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5.4 一元一次方程与实际问题
第1课时 一元一次方程与实际问题(1)
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1.和、差、倍、分问题
此类题要结合题意,特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和、差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等.
2.比赛积分问题
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数;比赛总积分= 积分+
积分+ 积分.
胜场
负场
平场
精讲练 新知探究
探究点一 和、差、倍、分问题
[典例1]某新能源汽车公司的产值连续三年增长,第二年的产值比第一年的产值多60亿元,第三年的产值是第一年的产值的2倍,已知该公司这三年的总产值是460亿元.如果设第一年的产值为x亿元,那么根据题意,可列方程为( )
A.x+60+2x=460
B.x+x+60+2(x+60)=460
C.x+x+60+2x=460
D.x+x-60+2x=460
C
[变式1]《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少 ”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字 已知《孟子》一书共约有35 000个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的是( )
B
[变式2]我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题:“今有三人共
车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何 ”意思是说:“每三人共乘一辆车,最终剩余2辆车;每2人共乘一辆车,最终有9人无车可乘,问人和车的数量各是多少 ”
设共有y辆车,根据题意列方程得 ;
设共有x人,根据题意列方程得 .
3(y-2)=2y+9
探究点二 比赛积分问题
[典例2]某中学七(1)班足球队参加比赛(每场必分胜负),胜一场得2分,负一场得1分,该队共赛了9场,共得15分,该队胜了多少场 设该足球队胜了x场,根据题意所列方程正确的是( )
A.2(9-x)+x=15 B.2(9+x)+x=15
C.2x+(9-x)=15 D.2x+(9+x)=15
[变式3]甲、乙两个足球队进行比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,共赛10场,甲队保持不败,得22分,那么甲队胜了 场.
C
6
[变式4]某校七年级举行“数学知识应用能力”测试,测试卷由20道题组成,答对一道题得5分,不答或答错一道题扣1分,某考生的成绩为70分,则他答对了多少道题
解:设他答对了x道题.
根据题意,得5x-(20-x)=70,
解得x=15,
经检验,x=15符合题意,
所以他答对了15道题.
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第4课时 一元一次方程与实际问题(4)
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工程问题
(1)基本关系式:
工作总量= ;
工作时间= ;
工作效率= .
(2)常用等量关系:工作总量=各部分工作量之和.
工作效率×工作时间
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探究点 工程问题
(2)若甲先单独修5天,之后甲、乙合作修完这条公路,求甲、乙还需合作几天才能修完这条路.
[变式1]一项工程,甲单独做需10天完成,乙单独做需12天完成,丙单独做需15天完成,甲、乙合作3天后,甲因事离开,丙加入工作,则该工程还需几天完成 设还需x天完成,依题意可列一元一次方程为 .
解:(1)甲队整治河道的天数 甲队整治河道的长度
(2)选择小李、小张的方法中的一种,补全方程,并求甲、乙两队分别整治河道的长度.(写出完整的解答过程)
解:(2)选择小李:设甲队整治的天数为x天,则乙队整治的天数为(80-
x)天.
由题意,得32x+24(80-x)=2 400,
解得x=60,
甲队整治河道的长度为32×60=1 920(m),
乙队整治河道的长度为2 400-1 920=480(m).
答:甲队整治河道1 920 m,乙队整治河道480 m.
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第2课时 解一元一次方程(2)
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1.把方程中的某一项改变 后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫作移项.
2.移项的依据是 .
符号
等式的基本性质1
精讲练 新知探究
探究点一 移项
[典例1]将方程9-x=4x-2移项,正确的是( )
A.-x+4x=9-2
B.-x-4x=-2+9
C.-x-4x=-2-9
D.-x-4x=2-9
C
[变式1]下列方程的变形正确的是( )
A.由3x-5=2x+6,移项得3x+2x=6+5
B.由-8x+3=-13x-7,移项得13x-8x=-3-7
C.由7x+3=3x+4,移项得7x-3x=4+3
D.由-5x-7=2x-11,移项得11-7=2x-5x
B
A
探究点二 解简单的一元一次方程
[典例2]解方程:
(1)3x+7=32-2x;
解:(1)移项,得 3x+2x=32-7,
合并同类项,得5x=25,
系数化为1,得 x=5.
[变式3]方程4x-6=2x+4的解是( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=5 D.x=-5
[变式4]若关于x的方程x+2a=0的解与方程x-1=2x-4的解相同,则a=
.
C
-1.5
[变式5]解方程:
(1)5x-4=3x;
(2)3x-2=4+2x;
解:(1)移项,得5x-3x=4,
合并同类项,得2x=4,
系数化为1,得x=2.
(2)移项,得3x-2x=4+2,
合并同类项,得x=6.
解:(3)移项,得9x-6x=7+8,
合并同类项,得3x=15,
系数化为1,得x=5.
解简单的一元一次方程
(1)先移项,将含有未知数的项移到方程左边,将常数项移到方程右边;
点睛
(2)合并同类项,使方程逐渐转化为ax=b(a≠0)的形式;
(3)将ax=b(a≠0)的系数化为1,求出方程的解.
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第5课时 一元一次方程与实际问题(5)
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1.销售问题
等量关系:利润=售价-成本;
利润率= ×100%;
售价=成本+ =成本×(1+ ).
2.本息问题
利息=本金× × ;本息和=本金+利息.
利润
利润率
利率
期数
精讲练 新知探究
探究点一 销售问题
[典例1]一商店以每件75元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则该商店卖出这两件商品总的盈亏情况是( )
A.亏损10元 B.盈利10元
C.亏损20元 D.不盈不亏
A
[变式1]某种商品每件的进价为80元,标价为120元,为了拓展销路,商店准备打折销售,若使利润率为20%,设商店打x折销售,则依题意列方程正确的是( )
C
[变式2]学校为开展“课后延时服务”,计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍,已知一副羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵20元,购买12副乒乓球拍和8副羽毛球拍共1 360元.
(1)乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元
解:(1)设乒乓球拍的单价为x元,则羽毛球拍的单价为(x+20)元.
由题意,得12x+8(x+20)=1 360,
解得x=60,
所以x+20=60+20=80.
答:乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为60元、80元.
(2)在“双十一”促销活动中,某商店有以下优惠方案:
方案一:商品按原价打9折优惠;
方案二:商品按原价购买,超过2 000元的部分打7折优惠.
现计划购买30副乒乓球拍和20副羽毛球拍,请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算.
解:(2)方案一:(30×60+20×80)×0.9=3 060(元);
方案二:2 000+(30×60+20×80-2 000)×0.7=2 980(元).
因为3 060>2 980,
所以按照方案二购买较为合算.
探究点二 本息问题
[典例2]某银行一年定期存款的年利率为1.75%,小丽的妈妈取出一年到期的本息和为20 350元,求小丽的妈妈存入的本金.
解:设小丽的妈妈存入的本金为x元.
根据题意,得(1+1.75%)x=20 350,
解得x=20 000,
经检验,x=20 000符合题意,
所以小丽的妈妈存入的本金为20 000元.
[变式3]某人将20 000元存入银行,存期3年,到期后共得21 440元,求三年期的年利率.
解:设三年期的年利率为x.
根据题意,得20 000+20 000x×3=21 440,
解得x=0.024,0.024×100%=2.4%.
答:三年期的年利率为2.4%.
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5.1 认识方程
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第5章 一元一次方程
1.含有未知数的 叫作方程.使方程的等号两边 的未知数的值叫作方程的解.
2.只含有一个未知数的 也叫作方程的根.
3.方程中只含有 未知数,并且未知数的次数都是 ,等号两边都是 ,这样的方程叫作一元一次方程.
等式
相等
方程的解
一个
1
整式
精讲练 新知探究
探究点一 (一元一次)方程的概念及其解
[典例1]下列各式是方程的有( )
①2x-3=7;②8+5=13;③2m-3n=0;④2+5x;⑤x+2>3.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
C
[典例3]下列方程中,x=3是其解的是( )
A.3x=6 B.(x-3)(x+1)=0
C.x+3=0 D.x(x-1)=4
[变式1]下列各数,是方程x3+2x=-3的解的是( )
A.0 B.1
C.-1 D.-2
B
C
(1)要判断一个方程是不是一元一次方程,要同时满足:①方程的等号两边都是整式;②未知数的次数都是1;③只含有一个未知数,含未知数的项的系数不为0.
点睛
(2)给出方程的解求其中的字母系数,或者判断某数是不是方程的解,都可以直接代入求解 .
探究点二 根据题意列方程
[典例4]根据题意列方程:
(1)用一根长为16 m的铁丝围成一个长方形,已知长方形的长比宽长2 m,设这个长方形的宽是x m,则根据题意可列方程为 .
(2)在爱心捐款活动中,甲班学生共捐款266元,捐款数额比乙班的2倍还多30元.设乙班学生捐了x元,根据题意列方程为 .
(3)甲、乙两人共同加工零件270个,甲每小时加工10个零件,乙每小时加工15个零件,甲比乙多用2小时,求甲用了几小时.若设甲用了x小时,
则可列出方程为 .
2(x+x+2)=16
2x+30=266
10x+15(x-2)=270
[变式2]根据下列题干设未知数建立方程模型,并判断它是不是一元一次方程.
(1)小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10天,正好是我出生的那个月的总天数,你猜我有几岁 ”
解:(1)设小红的岁数为x.
由题意,得2x+10=30.
它是一元一次方程.
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5.2 等式的基本性质
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1.等式的基本性质1
等式两边都加上(或减去) 代数式,结果仍是 ,即如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c.
2.等式的基本性质2
同一个
等式
不为零
等式
c≠0
精讲练 新知探究
探究点一 等式的基本性质1
[典例1]若a=b,根据等式的基本性质,下列变形不成立的是( )
A.2+a=2+b B.a-5=b-5
C.a+m=b+m D.a+1=b-1
[变式1]若a+3=2b-5,则下列等式不一定成立的是( )
A.a+8=2b B.a+5=2b+3
C.a-2b=-8 D.a-b=b-8
D
B
[变式2](1)如果5x+3=-7,那么5x=-7+ .
(2)如果3x=2x+6,那么3x =6.
(3)如果2m-3=3n+1, 那么2m-3n= .
(4)如果1-a=2,那么a= .
(-3)
-2x
4
-1
探究点二 等式的基本性质2
C
D
C
[变式5]填空:
(1)如果5x=4x+9,那么x= ,依据: ;
(2)如果3x=7,那么x= ,依据: ;
(3)如果x+3=1-2x,那么x+2x= ,依据: ;
9
等式的基本性质1
等式的基本性质2
-2
等式的基本性质1
等式的基本性质2
[变式6]回答下列问题:
(1)怎样从等式3x=2x+7得到x=7
(2)怎样从等式5x=-15得到x=-3
解:(1)等式两边同时减去2x,得
3x-2x=2x+7-2x,所以x=7.
(4)等式两边同时减去3,得2a=2b,
两边再同时除以2,得a=b.
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