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6.4 角
第1课时 角的表示
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1.角的有关概念
(1)有 的两条 组成的几何图形叫作角.这个公共端点叫作角的 ,这两条射线叫作角的 .
(2)角也可以看作是由一条射线绕着它的 从起始位置 到终止位置所形成的图形.射线旋转时经过的平面部分是角的 .
公共端点
射线
顶点
边
端点
旋转
内部
(3)一条射线绕端点旋转,当终止位置与起始位置成一条直线时,所成的角是 角.射线继续按原来的方向旋转,当终止位置与起始位置重合时,所成的角是 角.
2.角的表示方法
(1)用符号“∠”和三个大写英文字母表示;
(2)用符号“∠”和一个大写英文字母表示;
(3)用符号“∠”和一个阿拉伯数字表示;
(4)用符号“∠”和一个小写希腊字母表示.
平
周
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探究点一 角的有关概念
[典例1]有下列说法:
①由两条射线组成的图形叫作角;
②两条有公共端点的线段组成的图形叫作角;
③从同一点引出的两条射线组成的图形是角;
④一个角的两边可以延长;
⑤因为平角的两边成一条直线,所以一条直线可以看成一个平角;
⑥周角是一条射线.
其中,正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
探究点二 角的表示方法
[典例2]如图,有下列说法:①∠1就是∠A;②∠2就是∠B;③∠3就是∠C;④∠4就是∠D.其中正确的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
A
[变式]如图,将图中的角用不同的方式表示出来,并填写下表:
∠1 ∠β
∠ACB ∠BAC ∠ABC
∠α
∠2
∠B
∠BCE
∠DAB
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6.3 线段的比较与运算
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1.线段的比较方法有 、 、 .
2.在数学中,只使用 的直尺和 作图的方式称为尺规作图.
3.线段AC是a与b的和,记作AC= ; 线段AC是a与b的差,记作AC=
.
4.如果点M把线段AB分成 的两条线段AM和BM,那么点M
叫作线段AB的 .
度量法
叠合法
截取法
无刻度
圆规
a+b
a-b
相等
中点
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探究点一 线段的比较与和差
[典例1]有不在同一直线上的两条线段AB和CD,小明很难判断出它们的长短,因此他借助于圆规,操作如图,由此可得出( )
A.AB=CD
B.AB>CD
C.ABD.无法确定
B
[典例2]根据如图的图形填空:
(1)点A,B,C,D在同一条直线上,则图中共有 条线段;
(2)AB=AD+ ;
(3)CD= ;
(4)AD-AC+BD= =CD+ .
[变式1]已知线段AB=5 cm,P,Q是线段AB上的两点,且AQ=3 cm,BP=4 cm,则PQ= cm.
6
BD
AD-AC(答案不唯一)
BC
BD
2
[变式2]如图,同一平面上有点A和线段BC.
(1)画射线AC、直线AB;
(2)使用尺规,比较2AB与线段BC的长短.(要求保留作图痕迹)
解:(1)如图,射线AC、直线AB即为所求.
(2)如图,2AB探究点二 线段的中点
[典例3]已知:如图,AB=18 cm,点M是线段AB的中点,点C把线段MB分成
MC∶CB=2∶1的两部分,求线段AC的长.
解:因为M是线段AB的中点,AB=18 cm,
所以AM=MB= AB= cm.
因为MC∶CB=2∶1,
所以MC= MB= cm.
所以AC=AM+ = cm.
9
6
MC
15
[变式3]如图,CB=4 cm,DB=7 cm,点D为AC的中点,则AB的长为( )
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.10 cm
D
[变式4]如图,C为线段AB的中点,AC=6,D是线段AB的三等分点,求BD的长.
①
②
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第2课时 度、分、秒的换算
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1.把一个周角 等分,每一份叫作1度的角,1度记作 ,因此,
1周角= .
2.把1°的角 等分,每一份叫作1分的角,1分记作 ,把1′的角 等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作 .
3.归纳:1°= ′,1′= ″.
4. 、 、 是角的基本度量单位.
360
1°
360°
60
1′
60
1″
60
60
度
分
秒
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探究点一 度、分、秒的换算
[典例1]用度、分、秒表示61.34°为 .
[变式1]已知∠A=20°18′,∠B=20°15′30″,∠C=20.25°,则( )
A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B
61°20′24″
A
探究点二 角度的计算
[典例2]计算:
(1)16°42′37″+25°31′42″= ;
(2)34°-10°15′= .
[变式2](1)27°37′+53°48′= ;
(2)90°-51°28′= ;
(3)12°25′×3= ;
(4)65°24′÷4= .
42°14′19″
23°45′
81°25′
38°32′
37°15′
16°21′
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6.2 线段、射线和直线
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1.线段有 个端点;线段向一个方向无限延伸得到 ,射线只有 个端点;线段向两个方向无限延伸得到 ,直线 端点.射线、线段都是 的一部分.
2.线段、射线、直线都可以用 或 .
表示.
两
射线
一
直线
没有
直线
两个大写英文字母
一个小写英文
字母
3.点与直线的位置关系:点在直线 ,点在直线 .
4.基本事实:经过 能且只能作一条直线.简单说成: .
.
5.基本事实:两点间所有连线中, 最短.简单说成: .
.
6.连接两点间的 ,叫作这两点间的距离.
上
外
两点
两点确定
一条直线
线段
两点之间,
线段最短
线段的长度
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探究点一 线段、射线、直线的表示
[典例1]如图,下列说法不正确的是( )
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.线段AB与线段BA是同一条线段
C.射线OA与射线OB是同一条射线
D.射线OA与射线AB是同一条射线
D
[变式1]下列说法中正确的是( )
A.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的
B.延长直线AB
C.射线CD可表示为射线DC
D.线段AB可表示为线段BA
D
探究点二 点与直线的位置关系
[典例2]如图.
(1)点B在直线AD ,点F在直线 上;
(2)点C在直线AD ,点E是直线 和 的交点;
(3)经过点C的直线共有 条,它们分别是 .
上
BC和AE
外
AE
CD
3
直线AC,BC,DC
[变式2]下列说法错误的是( )
A. 直线l经过点A
B. 直线a,b相交于点A
C. 点C在线段AB上
D. 射线CD与线段AB有公共点
C
点与直线的位置关系有两种:
(1)点在直线上,或者说直线经过点;
点睛
(2)点在直线外,或者说直线不经过点.
探究点三 直线、线段的性质
[典例3]有下列日常现象:
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上;
②把弯曲的公路改直,就能缩短路程;
③园林工人栽一行树先栽首尾的两棵树;
④建筑工人砌墙时,经常先在两端立桩拉线然后沿着线砌墙.
其中,可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( )
A.①④ B.②③
C.①②④ D.①③④
D
探究点四 两点间的距离
[典例4]已知点A,B,C在同一条直线上,如果线段AB=7 cm,BC=3 cm,那么A,C两点间的距离是( )
A.4 cm B.10 cm
C.4 cm或10 cm D.5 cm或10 cm
C
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6.6 余角和补角
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1.余角与补角的概念
(1)如果两个角的和为 ,就说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫作另一个角的余角.
(2)如果两个角的和为 , 就说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫作另一个角的补角.
2.余角和补角的性质
(1)同角或等角的余角 .
(2)同角或等角的补角 .
90°
180°
相等
相等
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探究点一 余角与补角的概念
[典例1]如图,直线AB与CD相交于点O,射线OE在∠BOC内.
(1)若∠BOD的补角是它的余角的4倍,求∠BOD的度数;
解:(1)依题意,得180°-∠BOD=4(90°-∠BOD),
解得∠BOD=60°.
(2)在(1)的条件下,若∠COE比∠BOE大10°,求∠COE的度数.
解:(2)因为∠BOD=60°,
所以∠BOE+∠COE=180°-∠BOD=120°.
又因为∠COE-∠BOE=10°,
所以∠COE=65°.
[变式1]已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,则这个角的度数是 度.
[变式2]如图,点O在直线AB上,∠AOC与∠COD互补,OE平分∠AOC.若∠BOC
=50°,求∠DOE的度数.
50
解:因为点O在直线AB上,∠BOC=50°,
所以∠AOC=130°.
因为∠AOC与∠COD互补,所以∠COD=50°.
因为OE平分∠AOC,所以∠EOC=65°,
所以∠DOE=15°.
探究点二 余角与补角的性质
[典例2](1)如图①,∠AOB=∠COD=90°,∠1与∠2相等吗 为什么
解:(1)相等.
理由如下:
因为∠AOB=90°,
所以∠1+∠BOC=90°.
因为∠COD=90°,
所以∠2+∠BOC=90°.
所以∠1=∠2.
①
(2)如图②,直线MN与直线PQ相交于点E,∠1与∠2相等吗 为什么
解:(2)相等.理由如下:
因为∠MEN=180°,
所以∠1+∠MEQ=180°.
因为∠PEQ=180°,
所以∠2+∠MEQ =180°.
所以∠1 =∠2.
②
[变式3]如图,将一副三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上,若∠BOC
=34°29′,则∠AOD= .
145°31′
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6.5 角的比较与运算
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1.角的大小比较
(1) :用量角器分别量出两个角的度数,再根据度数的大小来比较.
(2) :将两个角的顶点及一边重合,把两个角的另一边放在重合边的同侧比较.
度量法
叠合法
2.角的平分线
(1)定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫作这个角的平分线.
相等
∠AOC
∠AOB
∠BOC
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探究点一 角的大小比较
[典例1]如图,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列各式错误的是
( )
A.∠AOB<∠AOD
B.∠BOC<∠AOB
C.∠COD<∠AOD
D.∠AOB<∠AOC
D
[变式1]如图,如果∠AOB=∠COD,那么( )
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.∠1与∠2的大小不能确定
B
探究点二 角的和差
[典例2]如图,按图填空:
(1)∠AOC=∠AOB+ ;
(2)∠BOD=∠AOD- ;
(3)∠BOC= - -∠COD;
(4)∠BOC=∠AOC+∠BOD- .
∠BOC
∠AOB
∠AOD
∠AOB
∠AOD
[变式2]已知∠AOB=80°,∠BOC=30°,则∠AOC的度数为( )
A.50° B.110°
C.50°或110° D.无法确定
C
探究点三 角的平分线
[典例3]如图,点O在直线AB上,过点O作射线OC,射线OD平分∠AOC.如果
∠BOC=80°,那么∠AOD的度数为( )
A.80° B.50° C.65° D.70°
B
[变式3]如图,∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,OM,ON分别是
∠AOC,∠BOD的平分线.
(1)求∠COD的度数.
解:(1)因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,
∠AOC=30°,∠BOD=60°,
所以∠COD=90°.
(2)求∠MON的度数.
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6.1 图形的认识
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第6章 基本的几何图形
1. 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是 ,又简称为体.几何体是由 围成的.
2.一般而言,两个面的交接处是一条 , 线可以是直的,也可以是
的.线与线的交接处是一个 ,点一般用一个 .
表示.
几何体
面
线
曲
点
大写英文字母
3. 在长方体中,相邻两个面的交接处是一条线段,我们把它叫作 ,棱与棱的公共点叫作 . 是构成图形的基本元素.
4.点动成 ,线动成 ,面动成 .
5.如果几何图形上的点不都在同一个平面内,那么这样的几何图形叫作
.
6.如果几何图形上的点都在同一个平面内,那么这样的几何图形叫作
.
棱
顶点
点
线
面
体
立体图形
平面图形
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探究点一 基本几何体的认识与分类
[典例1]下列四个几何体中,是四棱锥的是( )
A
A B C D
[变式1]下面的几何体中,属于柱体的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式2]下列标注的图形名称与图形不相符的是( )
D
D
A.四棱锥 B.圆柱 C.正方体 D.三棱锥
[变式3]下列几何体中,属于棱锥的是( )
D
A B C D
探究点二 点、线、面、体
[典例2]中华武术是中国传统文化之一,是独具民族风貌的武术文化体
系.“枪挑一条线,棍扫一大片”,从数学的角度解释为( )
A.点动成线,线动成面
B.线动成面,面动成体
C.点动成线,面动成体
D.点动成面,面动成线
A
[典例3]如图.(1)该几何体是一个 .
(2)该几何体由 个三角形和 个四边形围成.
(3)该几何体有 条棱, 个顶点.
四棱锥
4
1
8
5
[变式4]下面给出的图形中,绕虚线旋转一周能形成圆锥的是( )
D
A B C D
[变式5](1)七棱柱有 个顶点, 条棱, 个面;
(2)一个棱柱有10个面,则这个棱柱有 条棱;
(3)一个棱柱有16个顶点,则这个棱柱是 .
14
21
9
24
八棱柱
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