2025-2026学年北师大版数学必修第一册同步练习;第1章§4　4.1一元二次函数（含解析）

第一章　§4　4.1一元二次函数
一、选择题
1．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
2．抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( )
x －1 0 1 3
y －1 3 5 3
A．.x＝0 B．x＝1
C．x＝1.5 D．x＝2
4．已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是( )
A B C D
5．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
6．已知一元二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[0,2]
C．[2,4] D．(－∞，4]
7．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( )
A．6 m B．10 m
C．8 m D．12 m
8．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则( )
A．y1C．y19．(多选题)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论正确的是( 　 )
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2
C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．(多选题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( 　 )
A．a＋b＋c<0 B．a－b＋c>1
C．abc>0 D．4a－2b＋c<0
二、填空题
11．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1___y2(填“>”“<”或“＝”)．
12．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为_ __.
13．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_ __.
14．函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是___.
15．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为___.
三、解答题
16．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
17．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
18．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a的值．
第一章　§4　4.1一元二次函数
一、选择题
1．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
[答案]　D
2．抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
[解析]　因为抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1,3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0,0)，所以抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的．故选B.
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( )
x －1 0 1 3
y －1 3 5 3
A．.x＝0 B．x＝1
C．x＝1.5 D．x＝2
[答案]　C
4．已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是( )
A B C D
[解析]　由a>b>c，且a－b＋c＝0可以分析出a>0，c<0，即函数图象开口向上，当x＝－1时y＝a－b＋c＝0，当x＝0时y＝c<0.结合各选项可知选A.
5．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
[解析]　由于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c的图象的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即它们的图象的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab<0，于是－>0，－>0，即两函数图象的对称轴都位于y轴右侧，排除C.故选D.
6．已知一元二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[0,2]
C．[2,4] D．(－∞，4]
[解析]　因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，所以当x＝0或x＝4时，y＝3.又因为当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，所以2≤m≤4.故选C.
7．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( )
A．6 m B．10 m
C．8 m D．12 m
[解析]　当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x＝10或x＝－2(舍去)．故选B.
8．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则( )
A．y1C．y1[解析]　因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是函数值y随x的增大而增大，m>2时m－1，m，m＋1均在[1，＋∞)内，所以y19．(多选题)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论正确的是( 　 )
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2
C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
[解析]　二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1>0，所以该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2,1)，当x＝2时，y有最小值1，故A、B的说法正确；当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，故C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1，故D的说法正确．故选ABD.
10．(多选题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( 　 )
A．a＋b＋c<0 B．a－b＋c>1
C．abc>0 D．4a－2b＋c<0
[解析]　由题图可知x＝1时y<0，x＝－1时y>1，所以A、B正确．
因为－＝－1，且a<0，所以b＝2a<0.
因为x＝0时，c＝1>0，所以C正确．
因为x＝－2，x＝0时，y＝1，所以当x＝－2时，y＝4a－2b＋c>0，所以D不正确．故选ABC.
二、填空题
11．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1_<__y2(填“>”“<”或“＝”)．
12．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为_y＝3x2－12x＋10__.
[解析]　由题意可知所求一元二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2＝3x2－12x＋10.
13．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_y＝3x2＋5x＋2__.
[解析]　函数y＝3x2－x＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2.
14．函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是_{－3,0,1}__.
[解析]　当m＝1时，y＝4x－1，其图象和x轴只有一个交点.当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0.
所以m的取值集合为{－3,0,1}．
15．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为_8__.
[解析]　由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝×4×4＝8.
三、解答题
16．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
[解析]　(1)作出这三个函数的图象，如图：
(2)y＝－(x＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，当x＝－1时，ymax＝－1.在区间(－∞，－1]上函数值y随x增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y随x增大而减小．
17．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
[解析]　函数y＝3－2x－x2的图象的对称轴为直线x＝－1.
画出函数y＝3－2x－x2，x∈的大致图象，如图所示，由图可知，当x＝－1时，ymax＝4；当x＝时，ymin＝－.
所以函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值为4，最小值为－.
18．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a的值．
[解析]　(1)∵y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝，
∴＝1，解得a＝0.
(2)由(1)知y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝1－，
①当1－≤0，即a≥2时，x＝0时，ymin＝－2a＝2，解得a＝－1，不符合题意，舍去；
②当1－∈(0,1)，即0③当1－≥1，即a≤0时，x＝1时，ymin＝－1－a＝2，解得a＝－3，符合题意．
综上所述，a＝－3.