1.2　一元二次方程的解法 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

1.2　一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法
1. 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做　　　　　　法.
2. 形如(x+h)2=k(h、k为常数,k≥0)的一元二次方程,可以用　　　　　　法求解.
1. 　　　　
由平方根的定义,可将一元二次方程(x-1)2=9转化为一元一次方程,正确的结果是 (　　)
A. x-1=3 B. x-1=-3
C. x-1=3或x-1=-3 D. x-1=3且x-1=-3
2. 如果关于x的方程(ax+b)2=c能用直接开平方法求解,那么必有 (　　)
A. c≥0 B. c≤0
C. c<0 D. c可以为一切实数
3. 用直接开平方法解方程(x+1)2=(2x-3)2时,可转化为两个一元一次方程,分别是　　　　　　　　　　　　　　　.
4. 一元二次方程y2=11的解为　　　　　　　　.
5. 用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=12; (2) -3m2+=0;
(3) (3x-2)2=25; (4) (2024·无锡)(x-2)2-4=0.
第2课时　配方法(二次项系数为1)
1. 把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(h、k为　　　　)的形式,当k　　　时,就可以用　　　　　法求出方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2. 用配方法解一元二次方程x2+bx+c=0的一般步骤:(1) 移项:把常数项移到方程的右边;(2) 配方:在方程的两边都加上　　　　　　　　　　　,使左边成为完全平方式;(3) 利用　　　　　　法求方程的解.
1. 　　　　
(2025·常熟期末改编)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是 (　　)
A. (x+2)2=3 B. (x+2)2=17 C. (x-2)2=5 D. (x-2)2=17
2. 用配方法解方程x2-x+1=0,下列过程正确的是 (　　)
A. =1,解得x1=,x2=- B. =,解得x1=0,x2=
C. =-,原方程没有实数解 D. =-,原方程没有实数解
3. 在横线上填上适当的数,使等式成立:
(1) x2+6x+　　　　=(x+　　　　)2;
(2) t2+(　　　　)t+=(t　　　　)2.
4. 若将一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是　　　　.
5. 用配方法解下列方程:
(1) (2025·苏州期末)x2-2x-8=0; (2) (2023·齐齐哈尔)x2-3x+2=0;
(3) x2+3=-5x; (4) y2=2+y.
第3课时　配方法(二次项系数不为1)
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤:
(1) 化1:方程两边同除以二次项系数,将二次项系数化为　　　　;
(2) 移项:把常数项移到方程的　　　　;
(3) 配方:在方程的两边都加上　　　　　　　　　　,使左边成为完全平方式;
(4) 直接开平方:利用　　　　　　法求方程的解.
1. 　　　　
用配方法解关于x的方程4x2-x=4时,第一步变形正确的是 (　　)
A. 4x2-4=x B. x2-x=1
C. x2-x=4 D. x2-x=1
2. 用配方法解方程2x2+4x+1=0时,原方程可变形为 (　　)
A. (2x+2)2=-2 B. (2x+2)2=-3
C. = D. (x+1)2=
3. 在横线上填上适当的数,使等式成立:
(1) 3x2+18x+　　　　=3(x+　　　　)2;
(2) -x2+　　　　-=-(x-　　　　)2.
4. 若一元二次方程9x2-11x-396=x的两根为a、b,且a5. 用配方法解下列方程:
(1) 4x2+8x=1; (2) 2x2+6x-1=0;
(3) 2-3t2-5t=0; (4) 2y2+7=9+7y.
第4课时　公式法
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的求根公式为　　　　　　　.利用这个公式解一元二次方程的方法叫做　　　　　　.
2. 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若b2-4ac<0,则这个方程　　　　实数根.
1. 　　　　
用公式法解方程2x-7x2=5时,首先要确定a、b、c的值,下列结论正确的是 (　　)
A. a=-7,b=2,c=5 B. a=7,b=2,c=-5
C. a=7,b=-2,c=5 D. a=7,b=-2,c=-5
2. 一元二次方程y2+4y-8=0的解是 (　　)
A. y1=2+2,y2=2-2 B. y1=2+2,y2=2-2
C. y1=-2+2,y2=-2-2 D. y1=-2+2,y2=-2-2
3. 用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程为　　　　　　.
4. 用公式法解方程m(7+3m)-6=0,则b2-4ac=　　　　,方程的根为　.
5. 已知关于x的方程x2-3x+p=0,且b2-4ac=29,则p的值为　　　　.
6. 用公式法解下列方程:
(1) x2-4x-1=0; (2) -3x2+6x-2=0;
(3) 2y2-3=2y; (4) t2+2t=4.
第5课时　一元二次方程根的判别式
1. 式子　　　　　叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
2. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,方程有　　　　　　根;当b2-4ac=0时,方程有　　　　　　　　根;当b2-4ac<0时,方程　　　　　根.反之也成立.
1. (2023·广元)一元二次方程2x2-3x+=0的根的情况是 (　　)
　　　　
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
2. (2025·苏州期末)关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是 (　　)
A. 9 B. 6 C. 4 D. -1
3. (2024·聊城)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　　　　.
4. 如果关于x的方程(a-1)x2+ax+1=0的根的判别式的值为1,那么a的值为　　　　.
5. (2024·绵阳)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+k2+2=0有实数根,则k的取值范围是　　　　.
6. (教材P17练习第1题变式)不解方程,直接判别下列方程根的情况:
(1) x2-3x+1=0; (2) 2x2+3x+2=0;
(3) x2-4x=-8; (4) (2023·泸州)x2+2ax+a2-1=0.
第6课时　因式分解法
1. 当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个　　　　　　,这种解一元二次方程的方法叫做　　　　　　　.
2. 用因式分解法解一元二次方程的数学方法是“　　　　”,使一元二次方程化归为一元　　　　次方程.
1. 　　　　
(2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是 (　　)
A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0
C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1
2. 方程x2+4x+3=0的解为 (　　)
A. x1=1,x2=3 B. x1=-1,x2=3
C. x1=1,x2=-3 D. x1=-1,x2=-3
3. (1) 方程3x(x+2)=0的解为　　　　　　;
(2) 方程2x=5x2的解是　　　　　　.
4. 用因式分解法解方程(y-3)2-(3y-4)2=0时,可将该方程转化为两个一元一次方程:　　　　　　　　　　　　　　.
5. 用因式分解法解下列方程:
(1) (x+1)(3x-2)=0; (2) 25t2+100t=0;
(3) y2-9=0; (4) x2+7=-2x;
(5) (2x-1)2=3(1-2x); (6) 36(y+5)2-49(y-1)2=0.
第7课时　一元二次方程解法的灵活应用
1. 一元二次方程的解法有　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　.
2. 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,如果b=0,那么运用　　　　　　比较简便;如果c=0,那么运用　　　　　　比较简便;如果a=1,b为偶数,那么运用　　　　　　比较简便.
1. 　　　　
下列方程中,最适合用公式法求解的是 (　　)
A. (x+2)2-9=0 B. x2=1
C. x2+2x-24=0 D. x2-3x-1=0
2. 在解方程x2-2x-3=0时,下列说法错误的是 (　　)
A. 可以用配方法 B. 可以用公式法
C. 可以用因式分解法 D. 只能用因式分解法
3. 若代数式x2+5x+6与1-x的值相等,则x的值为　　　　.
4. (整体思想)若(m2+n2-1)(m2+n2-2)=6,则m2+n2的值为　　　　.
5. 用适当的方法解下列方程:
(1) (2x-1)2=6;(2) 2-y(y-3)=0;(3) 25(2x-1)2=4(3x+2)2.
6. 阅读下面的材料:方程x4-5x2+4=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,则x4=y2,于是原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,解得x=±1;当y=4时,x2=4,解得x=±2.∴ 原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
请你参考上述方法解方程:(x2+2x)2-2(x2+2x)-8=0.
1.2　一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法
1. 直接开平方　2. 直接开平方
1. C　2. A　3. x+1=2x-3,x+1=-(2x-3)　4. y1=,y2=-
5. (1) x1=2,x2=-2　(2) m1=,m2=-
(3) x1=,x2=-1　(4) x1=4,x2=0
第2课时　配方法(二次项系数为1)
1. 常数　≥0　直接开平方　2. (2) 一次项系数一半的平方　(3) 直接开平方
1. C　2. D　3. (1) 9　3　(2) 　+或-　-　4. 1
5. (1) x1=4,x2=-2　(2) x1=1,x2=2　(3) x1=-,x2=--　(4) y1=4,y2=-
第3课时　配方法(二次项系数不为1)
(1) 1　(2) 右边　(3) 一次项系数一半的平方　(4) 直接开平方
1. B　2. D　3. (1) 27　3　(2) 5x　5　4. -28
5. (1) x1=-1,x2=--1　(2) x1=-,x2=--　(3) t1=,t2=-2　(4) y1=+,y2=-+
第4课时　公式法
1. x=　公式法　2. 没有
1. C　2. D　3. 3x2+7x-2=0　4. 121　m1=-3,m2=　5. -5
6. (1) x1=2+,x2=2-　(2) x1=,x2=　(3) y1=,y2=　(4) t1=-+,t2=--
第5课时　一元二次方程根的判别式
1. b2-4ac　2. 两个不相等的实数　两个相等的实数
没有实数
1. C　2. D　3. 　4. 3　5. k≤-
6. (1) 有两个不相等的实数根　(2) 没有实数根　(3) 有两个相等的实数根　(4) 有两个不相等的实数根
第6课时　因式分解法
1. 一元一次方程　因式分解法　2. 降次　一
1. B　2. D　3. (1) x1=0,x2=-2　(2) x1=0,x2=　4. y-3+3y-4=0,y-3-3y+4=0
5. (1) x1=-1,x2=　(2) t1=0,t2=-4　(3) y1=-12,y2=12　(4) x1=x2=-　(5) x1=,x2=-1　(6) y1=-,y2=37
第7课时　一元二次方程解法的灵活应用
1. 直接开平方法　配方法　公式法　因式分解法　2. 直接开平方法　因式分解法　配方法
1. D　2. D　3. -1或-5　4. 4
5. (1) x1=,x2=　(2) y1=,y2=　(3) x1=,x2=
6. 设x2+2x=y,则原方程可化为y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.当y=-2时,x2+2x=-2,该方程没有实数根;当y=4时,x2+2x=4,解得x1=-1+,x2=-1-.∴ 原方程有两个根:x1=-1+,x2=-1-