1.4　用一元二次方程解决问题 分层练习（含答案）2025-2026学年数学苏科版九年级上册

1.4　用一元二次方程解决问题
第1课时　面积问题与平均增长率问题
1. (2024·南通)某村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则所列方程正确的为 (　　)
A. 7200(1+x)2=8450 B. 7200(1+2x)=8450
C. 8450(1-x)2=7200 D. 8450(1-2x)=7200
2. (2023·衢州)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可列方程为 (　　)
A. x+(1+x)=36 B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36 D. 1+x+x2=36
3. (2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,可列方程为　　　　　　.
4. 一根长64cm的铁丝被剪成两段,每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为160cm2,则这两个正方形的边长分别为　　　　　　　.
5. (新情境·生态环境)(2023·淮安)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18m长的篱笆围成.生态园的面积能否为40m2 如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.
第5题
6.
如图,公园有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域(涂色部分)栽种鲜花,原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为 (　　)
A. x2=18 B. (x-1)2=18 C. (x-1)(x-2)=18 D. (x-2)2=18
　　　　　　　　　
7. (2024·青岛)如图,某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽度为　　　　m.
8. 某农机厂4月生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂4~6月平均每月零件产量的增长率为x,则可列方程为　　　　　　　　　　.
9. (新情境·科技民生)某公司某年1月的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月的生产成本是361万元.假设该公司1~4月生产成本的月下降率都相同.
(1) 求生产成本的月下降率;
(2) 该公司4月的生产成本为　　　　万元.
10. 某村计划建设如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形蔬菜温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积为288m2
第10题
11. (2024·淄博)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1) 求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2) 为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
第2课时　市场营销问题
1.
某种花卉每盆的盈利与每盆植的株数有一定的关系.当每盆植3株时,平均每株的盈利为4元;若每盆每多植1株,则平均每株的盈利减少0.5元.若要使每盆的盈利达到15元,则每盆应多植多少株 设每盆应多植x株,则可列方程为 (　　)
A. (3+x)(4-0.5x)=15 B. (x+3)(4+0.5x)=15
C. (x+4)(3-0.5x)=15 D. (x+1)(4-0.5x)=15
2. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1) y与x之间的函数表达式为　　　　　　(不要求写出自变量x的取值范围);
(2) 该种商品的日销售额　　　　(填“能”或“不能”)达到2600元.
3. (教材P27练习第2题变式)(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,2024年的主题是“科技助残,共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.若全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅
4. (2024·遂宁改编)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天的定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲1间房.如果有游客居住,那么宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房每天的定价为多少元时,宾馆当天的利润为10890元 设每间房每天的定价为x元,则可列方程为 (　　)
A. (180+x-20)=10890 B. (x-20)=10890
C. x-50×20=10890 D. (x+180)-50×20=10890
5. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元/千克,则月销售量就减少10千克.设这种水果的售价为x元/千克,若要使月利润为8750元,则可列方程为　　　　　　　　　　(结果化为一般形式).
6. 一批小型西瓜以每千克2元的价格购进,以每千克3元的价格售出,每天可售出200千克.该经营户决定降价促销,经调查发现,当每千克每降价0.1元时,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本为24元.若该经营户要想每天盈利200元,则小型西瓜每千克降价　　　　元.
7. 某烘焙店生产的蛋糕分为六个档次,第一档次(即最低档次)的蛋糕每天生产76件,每件的利润为10元.经调查表明:每生产高一个档次的蛋糕,该蛋糕每件的利润增加2元.
(1) 若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元,则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕
(2) 由于生产工序的不同,蛋糕每提高一个档次,一天的产量会减少4件.若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕
8. (2023·宿迁改编)某电商在网上对一款成本为每件40元的商品进行销售,如果按每件60元的价格销售,那么每天可售出20件.通过市场调查发现,每件商品的售价每降低5元,日销售量就增加10件.
(1) 若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件商品的售价应定为多少元
(2) 小明的线下实体商店也销售同款商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该款商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该款商品至少需打几折销售
第3课时　几何图形相关问题
1.
在 ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点.若四边形 AECF为正方形,则AE的长为 (　　)
A. 7 B. 4或10 C. 5或9 D. 6或8
2. 如图,小明同学用长11cm、宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折起即可(损耗不计).设剪去的正方形的边长为xcm,则可列出关于x的方程为　　　　　　　　(不必化简).
　　　　　
3. (教材P30习题1.4第5题变式)(2023·鸡西)如图,在长为100m、宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路.若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3600m2,则小路的宽度为　　　　m.
4. (2025·张家港期末)某社区为了解决停车难的问题,计划将一块矩形空地ABCD改建成一个小型停车场,其中涂色部分为停车位区域,其余部分均为宽度是xm的道路(如图).已知AD=50m,AB=32m,且停车位区域的面积为880m2,求道路的宽度.
第4题
5. 用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的矩形,则a的值不可能为 (　　)
A. 20 B. 40 C. 100 D. 120
6. (2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成),则BC的长为 (　　)
第6题
A. 5m或6m
B. 2.5m或3m
C. 5m
D. 3m
7. 将一个容积为360cm3的长方体包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程为　　　　　　　(不必化简).
8. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.点P从点A出发,沿边AB向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B出发,沿边BC向点C以2cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点同时停止运动.
(1) 经过几秒,△PBQ的面积为8cm2
(2) △PBQ的面积能为10cm2吗 若能,请求出此时的运动时间;若不能,请说明理由.
第8题
9. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2cm/s的速度向点B运动,点Q以1cm/s的速度向点D运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也立即停止运动,连接PQ.
(1) 经过几秒,点P、Q之间的距离为5cm
(2) 连接PD,是否存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ 若存在,请求出此时的运动时间;若不存在,请说明理由.
第9题
1.4　用一元二次方程解决问题
第1课时　面积问题与平均增长率问题
1. A　2. C　3. 80(1-x)2=60　4. 4cm、12cm
5. 生态园的面积能为40m2　∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD,AD=BC.设AB的长为xm,则BC的长为m.根据题意,得x·=40.整理,得x2-18x+80=0,解得x1=10,x2=8.答:生态园的面积能为40m2,AB的长为10m或8m
6. C
7. 2　解析:设小路的宽度为xm.根据题意,得(16-2x)(12-2x)=×12×16,解得x1=2,x2=12(不合题意,舍去).∴ 小路的宽度为2m.
8. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
9. (1) 设生产成本的月下降率为x.根据题意,得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:生产成本的月下降率为5%
(2) 342.95　解析:361×(1-5%)=342.95(万元).
10. 设矩形蔬菜温室的宽为xm,则长为2xm.由题意,得(x-2)(2x-4)=288,即(x-2)2=144,解得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.∴ 2x=28.答:当矩形蔬菜温室的长为28m、宽为 14m时,蔬菜种植区域的面积为288m2
11. (1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.根据题意,得32(1+x)2=50,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合题意,舍去).答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%　(2) 设购买的这种健身器材的套数为m.根据题意,得m1600-×40=240000,整理,得m2-500m+60000=0,解得m1=200,m2=300(不合题意,舍去).答:购买的这种健身器材的套数为200
第2课时　市场营销问题
1. A
2. (1) y=-x+100
(2) 不能　解析:根据题意,得该种商品的日销售额为x(-x+100)=(-x2+100x)元.当日销售额为2600元时,得2600=-x2+100x,即x2-100x+2600=0.该方程的根的判别式为(-100)2-4×2600=10000-10400=-400<0.∴ 方程没有实数根,即该种商品的日销售额不能达到2600元.
3. 设每辆轮椅降价x元.根据题意,得(200-x)60+4×=12160,即x2-50x+400=0,解得x1=10,x2=40[此时每辆轮椅的利润为200-40=160(元),160<180,不合题意,舍去],∴ 60+4×=60+4=64(辆).答:这天售出了64辆轮椅
4. B　5. x2-140x+4875=0
6. 0.2或0.3　解析:设小型西瓜每千克降价x元.根据题意,得[(3-2)-x]-24=200,即50x2-25x+3=0,解得x1=0.2,x2=0.3.∴ 小型西瓜每千克降价0.2元或0.3元.
7. (1) (14-10)÷2+1=3(档次).答:此批次蛋糕属于第三档次蛋糕　(2) 设该烘焙店生产的是第x档次的蛋糕.根据题意,得[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080,解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕
8. (1) 设每件商品的售价定为x元,则每件商品的利润为(x-40)元,日销售量为20+=(140-2x)件.根据题意,得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20.整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.∵ 商家想尽快销售完该款商品,∴ x=50.答:每件商品的售价应定为50元　(2) 设该款商品打a折销售.根据题意,得62.5×≤50,解得a≤8.答:该款商品至少需打8折销售
第3课时　几何图形相关问题
1. D　2. (11-2x)(7-2x)=21　3. 5
4. 根据题意,得(50-x)(32-2x)=880,整理,得x2-66x+360=0,解得x1=60(不合题意,舍去),x2=6.答:道路的宽度为6m
5. D
6. C　解析:设BC的长为xm,则AB的长为(10+1-x)m.根据题意,得(10+1-x)x=15,解得x1=5,x2=6>5.5(不合题意,舍去).∴ BC的长为5m.
7. 15x×=360
8. (1) 设经过xs,△PBQ的面积为8cm2.根据题意,可得0≤x≤4.∵ AP=xcm,BQ=2xcm,∴ BP=AB-AP=(6-x)cm.∵ S△PBQ=BP·BQ,∴ (6-x)·2x=8,∴ x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,均符合题意.答:经过2s或4s,△PBQ的面积为8cm2　(2) 不能
理由:假设经过ys,△PBQ的面积为10cm2,则(6-y)·2y=10.∴ y2-6y+10=0.∵ b2-4ac=(-6)2-4×1×10=-4<0,∴ 该方程没有实数根,∴ △PBQ的面积不能为10cm2.
9. 设运动时间为ts,显然0≤t≤3.(1) 过点Q作QE⊥AB于点E,过点A作AF⊥CD于点F.∵ AB∥CD,∠C=90°,AF⊥CD,QE⊥AB,∴ 易得四边形AFCB和四边形AFQE都为矩形.∵ CD=10cm,AB=6cm,∴ CF=6cm,则DF=4cm.∵ AD=5cm,∴ 在Rt△ADF中,AF==3cm,∴ EQ=AF=3cm.∵ AP=2tcm,CQ=tcm,∴ 易得PE=(6-3t)cm或PE=(3t-6)cm.在Rt△PEQ中,∵ PE2+EQ2=PQ2,∴ (6-3t)2+32=52,解得t1=,t2=(不合题意,舍去).答:经过s,点P、Q之间的距离为5cm　(2) 不存在　理由:假设存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ,则∠APD=∠DPQ.∵ AB∥CD,∴ ∠APD=∠PDQ,∴ ∠PDQ=∠DPQ,∴ DQ=PQ.∵ PQ2=[32+(6-3t)2]cm2,DQ2=(10-t)2cm2,∴ 32+(6-3t)2=(10-t)2,解得t1=,t2=.∵ 0≤t≤3,∴ 上述两解均不合题意,舍去,∴ 不存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ.