1.4　用一元二次方程解决问题 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

1.4　用一元二次方程解决问题
第1课时　面积问题与平均增长率问题
1. 若矩形的周长为L,面积为 S,设一边长为x,则另一边长为　　　　,矩形的面积S=　　　　.
2. 增长率问题的两个关系式:
(1) 某商品经过两次连续降价,每件的售价由原来的a元降到了b元.设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为　　　　　　.
(2) 某商品经过两次连续涨价,每件的售价由原来的a元涨到了b元.设平均每次涨价的百分率为x,则可列方程为　　　　　　　　.
1. (2024·呼和浩特)我国南宋数学家杨辉曾经记录了如下问题:矩形面积是864平方步,其中,宽与长的和为60步,问宽和长各几步 若设长为x步,则可列方程为 (　　)
A. x·=864 B. x(60+x)=864
C. x(60-x)=864 D. x(30-x)=864
2. (2025·苏州期末改编)某品牌新能源汽车2022年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2024年的销售量比2022年增加了31.2万辆.如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x,那么可列出方程为　　　　　　　　.
3. (2024·牡丹江)一种药品的原价为每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为　　　　.
4. 在长为50m、宽为38m的矩形地面的内四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2,道路的宽应为　　　　m.
5. (2024·西藏)某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.
(1) 求该商场投入资金的月增长率;
(2) 按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元.
第2课时　市场营销问题
　　在市场销售中,商品的利润、进价与售价之间存在的相等关系是　　　　　　　;总利润、每件商品的利润与销售的商品件数之间的相等关系是 　
.
1. 　　　　
我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (　　)
A. 3(x-1)x=6210 B. 3(x-1)=6210
C. (3x-1)x=6210 D. 3x=6210
2. 某电器专卖店销售一种新款式空调,平均每天售出50台,每台盈利400元.为了扩大销售,增加利润,专卖店决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每台空调每降价10元,那么平均每天可多售出5台.若专卖店实施降价第一天,获利30000元,则每台空调降价多少元 在这个问题中,若设每台空调降价x元,则可列方程为　.
3. (2024·广东改编)某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,那么每天的销售量相应增加50吨.该果商若要实现每天的利润为312.5万元,则应将售价定为每吨　　　　万元.
4. 某宾馆有客房200间供游客居住,当每间客房的定价为每天180元时,客房恰好全部住满;如果每间客房每天的定价每增加10元,那么出租的客房就会减少4间.
(1) 当某天客房全部住满时,客房收入为　　　　元;
(2) 设每间客房每天的定价增加m元,那么宾馆出租的客房为　　　　间;
(3) 如果某天该宾馆的客房收入为38400元,那么这天每间客房的定价是多少元
第3课时　几何图形相关问题
1. 涉及几何图形的问题,我们必须根据图形的相关性质,灵活地找出　　　　,从而建立适当的方程解决问题.特别要注意的是,对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行　　　　,选择符合实际意义的正确答案.
2. 根据实际问题建立的一元二次方程,若该方程有解,则需要检验后说明实际问题是否有符合条件的答案;若该方程没有解,则说明实际问题　　　　符合条件的答案.
1. (2024·淄博改编)如图,其大意如下:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,则门的高和宽各是多少(1丈=10尺,1尺=10寸) 若设门的宽是x尺,则下列所列方程正确的是 (　　)
A. (x-6.8)2+102=x2 B. (x-6.8)2+x2=102
C. (x+6.8)2+102=x2 D. (x+6.8)2+x2=102
　　　　　　　　　　
2. 某中学有一块长30m、宽20m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计的方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程为　　　　　　　　　　　　　.
3. 如图,在四边形ACBD中,对角线AB⊥CD,且线段AB比线段CD长4,图形的面积为48,则AB+CD的长为　　　　.
4. (2024·常熟期末改编)如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点Q从点A出发向终点D运动,速度为1cm/s;同时动点P从点B出发向终点A运动,速度为2cm/s,运动时间为ts,当其中一个点到达终点时,另一个点立即停止运动,连接QP.
(1) t的取值范围是　　　　;
(2) 当P、Q两点的距离为2cm时,求t的值.
第4题
1.4　用一元二次方程解决问题
第1课时　面积问题与平均增长率问题
1. -x　x　2. (1) a(1-x)2=b　(2) a(1+x)2=b
1. C　2. 20(1+x)2-20=31.2　3. 25%　4. 4
5. (1) 设该商场投入资金的月增长率为x.根据题意,得20(1+x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:该商场投入资金的月增长率为10%　(2) 24.2×(1+10%)=26.62(万元).答:预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元
第2课时　市场营销问题
利润=售价-进价　总利润=每件商品的利润×销售的商品件数
1. A　2. (400-x)=30000　3. 4.5
4. (1) 36000　(2) 　(3) 设这天每间客房的定价增加x元,则这天出租了间客房.根据题意,得(180+x)=38400.整理,得x2-320x+6000=0,解得x1=20,x2=300.当x=20时,180+x=200;当x=300时,180+x=480.答:如果某天该宾馆的客房收入为38400元,那么这天每间客房的定价是200元或480元
第3课时　几何图形相关问题
1. 相等关系　检验　2. 没有
1. D　2. (30-2x)(20-x)=×20×30　3. 20
4. (1) 0≤t≤2　(2) 根据题意,得AQ=tcm,AP=(4-2t)cm.在Rt△PAQ中,由勾股定理,得t2+(4-2t)2=22,解得t1=2,t2=.由于上述两解均满足(1)中t的取值范围,∴ t的值为2或