4.2　等可能条件下的概率(一) 分层练习（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

4.2　等可能条件下的概率(一)
第1课时　等可能条件下的概率计算公式
1.
(新考向·传统文化)(2024·兰州)七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板,2个九连环,1个华容道,2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2. (易错题)(2023·娄底)从、3.1415926、3.3、、、-、中随机抽取一个数,此数是无理数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
3. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率为　　　　.
4. (2024·天津)不透明袋子中装有3个绿球、4个黑球、3个红球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率为　　　　.
5. (2024·甘孜)某校组织多项活动加强科学教育,八年级(1)班分两批次确定项目组成员参加“实践探究”活动,第一批次确定了7人,第二批次确定了1名男生、2名女生.现从项目组中随机抽取1人承担联络任务,若抽中男生的概率为,请问第一批次确定的人员中,男生有多少人
6. (2024·辽宁)一个不透明袋子中装有4个白球、3个红球、2个绿球、1个黑球,每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,则下列事件发生的概率为的是 (　　)
A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球
7. 箱内有50个白球和10个红球,小慧打算从箱内抽球31次,每次从箱内抽出一球,若抽出白球,则将白球放回箱内;若抽出红球,则不将红球放回箱内.已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次,若她第31次抽球时箱内的每个球被抽出的机会相等,则这次她抽出红球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
8. 在 ABCD中,AC、BD是两条对角线,有以下四个关系:① AB=BC;② AC=BD;③ AC⊥BD;④ AB⊥BC.现从中随机选出一个作为条件,可推出 ABCD是菱形的概率为　　　　.
9. (2024·泸州)在一个不透明的盒子中装有6个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是,则黄球的个数为　　　　.
10. 从-3、-2、2这三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点落在第三象限的概率是　　　　.
11. (2024·苏州高新区期中)如图,在一不规则图形内,有一边长为3m的正方形,向不规则图形内随机地掷4000颗黄豆,数得落在正方形内(含边界)的黄豆有1350颗,以此试验数据为依据,可以估计出该不规则图形的面积.
(1) 随机向不规则图形内掷一颗黄豆,求黄豆落在正方形内(含边界)的概率;
(2) 请你估计该不规则图形的面积.
第11题
12. (教材P132例2变式)一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个,它们除颜色外都相同,其中黄球的个数比白球个数的2倍少5.已知从袋子中摸出1个球是红球的概率是.
(1) 求袋子中红球的个数;
(2) 求从袋子中摸出1个球是白球的概率;
(3) 取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
第2课时　树状图法
1.
(2024·相城区期中)一年一度的校园体育节来临,学校组织活动,体育节每个人都要从两个选项中选择一个,已知小明与小华在篮球和足球之间随机选择一个,则他们选择球类相同的概率是 (　　)
A. 1 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.75
2. (2024·济南)3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动.若小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,则她们恰好选到同一个活动的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙三个人参加活动,其中两个人一组,则甲和乙分到一组的概率为　　　　.
4. (2024·武汉)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是　　　　.
5. (新情境·游戏活动)“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏,其规则如下:甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种,其中“石头”赢“剪子”,“剪子”赢“布”,“布”赢“石头”,手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.
(1) 甲每次做出“石头”手势的概率为　　　　;
(2) 用画树状图的方法,求乙不输的概率.
6. (2023·武汉)某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中,随机选择两个项目,则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是 (　　)
A. B. C. D.
7. (新考向·传统文化)(2024·包头)为发展学生的阅读素养,某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目,甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个,则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 (　　)
A. B. C. D.
8. (2024·龙东地区)七年级(1)班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛,恰好选择1名男生和1名女生的概率是　　　　.
9. (2023·徐州)甲、乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览,若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观,且选择每个景点的机会相等,则三人选择相同景点的概率为　　　　.
10. (2024·太仓期末)2023年9月21日,“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲,神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课.航天员演示了四个太空实验:A. 球形火焰实验;B. 奇妙“乒乓球”实验;C. 动量守恒实验;D. 又见陀螺实验.
(1) 若小明从以上4个实验中随机选取1个实验的录像进行回看,则所选的是B实验的概率是　　　　;
(2) 若小明从以上4个实验中随机选取2个实验的录像进行回看,求小明选择B和D这2个实验的概率(请用画树状图的方法说明).
11. (新情境·环保意识)为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾按A、B、C三类分别装袋、投放,其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料、废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾;乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.
(1) 直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
(2) 求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的概率.
第3课时　列表法
1.
(2024·通辽)不透明的袋子中装有1个红球,2个白球,这些球除颜色外无其他差别,从中随机摸出一个球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个球,那么两次都摸出白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2. 从-1、2、3、-6这四个数中任取两个数,分别记为m、n,则点(m,n)在函数y=的图像上的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3. (2024·重庆A卷)重庆是一座魔幻都市,有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游,两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览,甲、乙两人同时选择景点B的概率为　　　　.
4. (2023·仙桃)有四张背面完全相同的卡片,正面分别画了等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆,现将卡片背面朝上并洗匀,从中随机抽取两张,则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为　　　　.
5. (2024·河北)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b、2a+b、a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同.
(1) 将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a=1,b=-2时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
(2) 将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.
第一次和第二次 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a-b 2a
6.
(2024·牡丹江)某校八年级(3)班承担下周学校升旗任务,老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中,随机选择两名担任升旗手,则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 (　　)
A. B. C. D.
7. (2024·齐齐哈尔)六月份,在“阳光大课间”活动中,某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目,且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目,则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是 (　　)
A. B. C. D.
8. 在四边形ABCD中,有下列四个条件:① AB∥CD;② AD∥BC;③ AB=CD;④ AD=BC.在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为　　　　.
9. (2023·滨州)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子的点数之和为7的概率是　　　　.
10. (2024·吴中区期中)小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧.剧场入口有A、B、C、D四个闸机,每名学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的.
(1) 小明从A闸机入场的概率为　　　　;
(2) 试用列表的方法,求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率.
11. (新情境·游戏活动)(2024·甘肃)在一个不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1、2、3、4.甲、乙两人玩摸球游戏,规则如下:两人同时从袋中随机各摸出1个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲获胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙获胜.
(1) 请用列表的方法,求甲获胜的概率.
(2) 这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
4.2　等可能条件下的概率(一)
第1课时　等可能条件下的概率计算公式
1. D
2. A　[易错分析] 本题容易将“、-”误认作无理数而错选C.
3. 　4.
5. 设第一批次确定的人员中,男生有x人.根据概率的计算公式,得=,解得x=5.答:第一批次确定的人员中,男生有5人
6. B
7. D　解析:∵ 第31次抽球时箱内共有56个球,红球有6个,∴ 这次她抽出红球的概率为=.
8. 　解析:根据菱形的判定,①或③可推出 ABCD是菱形.
9. 3　10.
11. (1) 记“黄豆落在正方形内(含边界)”为事件A.∴ P(A)==.答:黄豆落在正方形内(含边界)的概率为　(2) ∵ P(A)=,正方形的面积为(3)2=27(m2),∴ 估计该不规则图形的面积为27÷P(A)=27×=80(m2)
12. (1) 100×=30(个).答:袋子中红球的个数为30
(2) 设白球有x个,则黄球有(2x-5)个.根据题意,得x+(2x-5)+30=100,解得x=25.∴ P(从袋子中摸出1个球是白球)==　(3) P(从剩余的球中摸出1个球是红球)==
第2课时　树状图法
1. C　2. C　3. 　4.
5. (1) 　(2) 画树状图如图所示.由树状图,可知共有9种等可能的结果,其中乙不输的结果有6种,∴ P(乙不输)==
6. C　7. D　8.
9. 　解析:不妨把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为A、B.画树状图如图所示.由树状图,可知甲、乙、丙三人选择景点共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙三人选择相同景点的结果有2种,∴ P(甲、乙、丙三人选择相同景点)==.
10. (1) 　(2) 画树状图如图所示.由树状图,可知小明从4个实验中随机选取2个实验共有12种等可能的结果,其中选择B和D这2个实验的结果有2种,∴ P(小明选择B和D这2个实验)==
11. (1) 　(2) 画树状图如图所示.由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,∴ P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)==
第3课时　列表法
1. C　2. B　3. 　4.
5. (1) 当a=1,b=-2时,a+b=-1,2a+b=0,a-b=3.从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,∴ P(取出的卡片上代数式的值为负数)=　(2) 补全表格如下:
第一次和第二次 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 3a+2b 2a
2a+b 3a+2b 4a+2b 3a
a-b 2a 3a 2a-2b
由表格,可知共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,∴ P(和为单项式)=
6. A　7. C　8. 　9.
10. (1) 　(2) 列表如下:
　　小丽 小明　　 A B C D
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
根据表格,可知小明和小丽选择闸机检票进入剧场共有16种等可能的结果,其中小明和小丽恰好从同一个闸机入场的结果共有4种,即(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D),∴ P(小明和小丽恰好从同一个闸机入场)==
11. (1) 列表如下:
乙和甲 1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由表格,可知甲、乙两人同时从袋中随机各摸出1个小球后求和共有12种等可能的结果,其中甲获胜(两球上的数字之和为奇数)的结果有8种,∴ P(甲获胜)==　(2) 不公平　理由:由表格,可知乙获胜(两球上的数字之和为偶数)的结果有4种,∴ P(乙获胜)==.∵ ≠,∴ 这个游戏规则对甲、乙双方不公平.