第1章一元二次方程 整合提升 同步练 （含答案）2025-2026学年数学苏科版九年级上册

第1章　一元二次方程 整合提升
考点一　一元二次方程的概念与解法
1. (2024·昆山期末)一元二次方程x2-4=0的解是 (　　)
A. -2 B. 2 C. 2或-2 D. 0或2
2. 若关于x的方程x2+(m+1)x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是 (　　)
A. -　 B. C. -或　 D. 1
3. 将方程(2x-1)(3x+1)=x2+2化为一般形式(a>0)为　　　　　　　.
4. 若一元二次方程(x-2)2=3的两根为a、b,且a>b,则2a+b的值为　　　　.
5. (2024·苏州工业园区期中)用适当的方法解下列方程:
(1) x2-6x-5=0; (2) (x-5)(x+1)=2x-10;
(3) 5x2-5x+1=0; (4) 9(x-2)2-(2x+3)2=0.
考点二　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6. (2023·广安)已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
7. (2024·龙东地区)关于x的方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实数根,则m的取值范围是 (　　)
A. m≤4 B. m≥4
C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2
8. (2023·达州)已知x1、x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为　　　　.
9. (2024·泸州)已知x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是　　　　.
10. (2024·成都)若m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为　　　　.
11. 已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1、x2.
(1) 求m的取值范围;
(2) 若x1、x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.
考点三　一元二次方程的应用
12. (2024·苏州工业园区期中)某中学组织九年级学生进行篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有　　　　个班参赛.
13. (新考法·综合与实践)某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=t2+t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆弧的长度为21cm.
(1) 求甲运动4s的路程.
(2) 甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了多长时间
(3) 甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了多长时间
第13题
14. 若x=t是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,M=(2at+b)2,则根的判别式b2-4ac和M的大小关系是 (　　)
A. b2-4ac=M B. b2-4ac>M C. b2-4ac15. (2024·凉山)已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,则x的值为　　　　.
第17题
16. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程x2-10x+m=0的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为　　　　.
17. (2023·金华)如图所示为一块矩形菜地ABCD,AB=am,AD=bm,面积为sm2,现将边AB的长增加1m,边AD的长增加2m.若有且只有一个a的值,使得到的新矩形菜地的面积为2sm2,则s的值为　　　　.
18. 已知x1、x2是关于x的一元二次方程 x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1) 若(x1-1)(x2-1)=28,则m的值为　　　　.
(2) 已知等腰三角形ABC的一边长为7.若x1、x2恰好是△ABC的另外两边的长,求这个三角形的周长.
19. (新情境·现实生活)某汽车销售公司6月销售某厂家的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅销售1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多销售1辆,所有销售的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售10辆以上,每辆返利1万元.
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车,则每辆汽车的进价为　　　　万元;
(2) 若每辆汽车的售价为28万元,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)
第1章整合提升
1. C　2. C　3. 5x2-x-3=0
4. 6+　解析:解方程(x-2)2=3,得x1=2+,x2=2-.由a>b,得a=2+,b=2-,∴ 2a+b=2×(2+)+2-=6+.
5. (1) x1=3+,x2=3-　(2) x1=5,x2=1
(3) x1=,x2=　(4) x1=,x2=9
6. A
7. D　解析:根据题意,得解得m≤4且m≠2.
8. 7
9. 14　解析:∵ x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,∴ x1+x2=3,x1x2=-5,∴ (x1-x2)2+3x1x2=+x1x2+=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=9+5=14.
10. 7　解析:∵ m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,∴ m2-5m+2=0,m+n=5,∴ m2-5m=-2,n=5-m,∴ m+(n-2)2=m+(3-m)2=m2-5m+9=-2+9=7.
11. (1) 由题意,得b2-4ac=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0,解得m≤5.∴ m的取值范围是m≤5　(2) 根据题意,得x1+x2=6①,x1x2=m+4②.∵ 3x1=|x2|+2,∴ 当x2≥0时,有3x1=x2+2③.联立①③,解得x1=2,x2=4.代入②,得2×4=m+4,解得m=4.当x2<0时,有3x1=-x2+2④.联立①④,解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去).综上所述,m的值为4
12. 6
13. (1) 当t=4时,l=t2+t=8+6=14,∴ 甲运动4s的路程是14cm　(2) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第一次相遇,运动的路程和为21cm,则t2+t+4t=21,解得t1=3,t2=-14(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇,它们运动了3s　(3) 由题图,可知甲、乙从开始运动到第二次相遇,运动的路程和为三个半圆弧的长,则t2+t+4t=21×3,解得t1=7,t2=-18(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇,它们运动了7s
14. A　解析:将x=t代入方程,得at2+bt+c=0,∴ b2-4ac-M=b2-4ac-(2at+b)2=b2-4ac-4a2t2-4abt-b2=-4a(at2+bt+c)=0,∴ b2-4ac=M.
15. 3　解析:∵ y2-x=0,∴ y2=x≥0.∵ x2-3y2+x-3=0,∴ x2-3x+x-3=0,即x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1(不合题意,舍去).∴ x的值为3.
16. 　解析:设菱形的两条对角线的长分别为a、b,则a+b=10.根据菱形的面积公式,得ab=11,即ab=22.∴ 菱形的边长为====.
17. 6+4　解析:根据题意,知b=.∵ 边AB的长增加1m,边AD的长增加2m,得到的新矩形菜地的面积为2sm2,∴ (a+1)(b+2)=2s,即(a+1)=2s.整理,得2a2+(2-s)a+s=0.∵ 有且只有一个a的值,使得到的新矩形菜地的面积为2sm2,∴ 该方程的根的判别式为0,即(2-s)2-8s=0,解得s1=6-4(不合题意,舍去),s2=6+4,∴ s的值为6+4.
18. (1) 6　解析:∵ x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,∴ x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5,∴ (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28,解得m1=-4,m2=6.又∵ b2-4ac=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16≥0,即m≥2,∴ m=6.
(2) ① 当7为底边长时,方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴ b2-4ac=8m-16=0,解得m=2,∴ 方程变为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵ 3+3<7,∴ 不能构成三角形,∴ m=2不符合题意.② 当7为腰长时,将x=7代入方程,得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m1=10,m2=4.当m=10时,方程变为x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15.∵ 7+7<15,∴ 不能构成三角形,∴ m=10不符合题意.当m=4时,方程变为x2-10x+21=0,解得x1=7,x2=3,此时三角形的周长为7+7+3=17.综上所述,这个三角形的周长为17
19. (1) 26.8　(2) 设需要销售x辆汽车.① 当销售10辆以内(含10辆)时,根据题意,得[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12,解得x1=-20(不合题意,舍去),x2=6.∴ 当销售6辆汽车时,当月可盈利12万元.② 当销售10辆以上时,根据题意,得[28-27+0.1(x-1)]x+x=12,解得 x1=5,x2=-24,均不符合题意,舍去.综上所述,若每辆汽车的售价为28万元,该汽车销售公司计划当月盈利12万元,则需要销售6辆汽车