第2章　对称图形——圆 整合提升（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

第2章　对称图形——圆 整合提升
考点一　圆的概念以及相关性质
1.
已知P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6cm,则OP的长为(　　)
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
2. (2024·龙东地区)如图,△ABC内接于☉O,AD是直径.若∠B=25°,则∠CAD等于 (　　)
A. 50° B. 55° C. 65° D. 70°
　　　　　
3. (2023·杭州)如图,在☉O中,半径OA、OB互相垂直,点C在上.若∠ABC=19°,则∠BAC的度数为 (　　)
A. 23° B. 24° C. 25° D. 26°
4. (2024·广州)如图,在☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是　　　　　　.
　　　　　　　　
5. 如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1,点O、A、B、C在格点(两条网格线的交点叫做格点)处,以O为原点建立平面直角坐标系,则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为　　　　.
6. 如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为　　　　.
7. 求证:垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.
8. 如图,AB是☉O的直径,C为的中点,CF为☉O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD,交CF于点G,连接CD、AD、BF.
(1) 求证:△BFG≌△CDG;
(2) 若AD=BE=2,求BF的长.
第8题
考点二　直线与圆的位置关系
9. (2023·重庆B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连接AC.若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为 (　　)
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
　　　　　　　　
10. 如图,在矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的☉O与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:① AC与BD的交点是☉O的圆心;② AF与DE的交点是☉O的圆心;③ BC与☉O相切.其中,正确的个数是 (　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 如图,在扇形ABC中,CD⊥AB,垂足为D,☉E是△ACD的内切圆,连接AE、BE,则∠AEB的度数为　　　　.
12. (2024·济宁)如图,△ABC内接于☉O,D是BC上一点,AD=AC.E是☉O外一点,∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB,连接BE.
(1) 若AB=8,求AE的长;
(2) 求证:EB是☉O的切线.
第12题
考点三　正多边形与圆
13. (新情境·自然科普)(2023·山西)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图所示为部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P、Q、M均为正六边形的顶点.若点P、Q的坐标分别为(-2,3)、(0,-3),则点M的坐标为 (　　)
A. (3,-2) B. (3,2) C. (2,-3) D. (-2,-3)
　　　　
14. (2024·广元)如图,F是正五边形ABCDE的边DE的中点,连接BF并延长,与CD的延长线交于点G,则∠BGC的度数为　　　　.
考点四　弧长、扇形的面积以及圆锥的侧面积
15. 已知圆锥的底面圆的半径为3,高为4,则它的侧面展开图的面积是 (　　)
A. 12π B. 15π C. 24π D. 30π
16. (2024·烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB为半径作,剪图中涂色部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为　　　　.
　　　　　
17. (2023·通辽)如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB,交于点D,C是半径OB上一动点.若OA=1,则图中涂色部分的周长的最小值为　　　　.
18. 如图,AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为 (　　)
A. 68° B. 88° C. 90° D. 112°
　　　　　　
19. (2024·凉山)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ长的最小值为 (　　)
A. 5 B. 4 C. 2 D. 8
20. 如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,交☉O于点D,OD=2OC,则∠ABD的度数为　　　　.
　　　　　　　　　　　　
21. (整体思想)(2024·资阳)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.以点A为圆心,AD为半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与交于点F,则图中涂色部分的面积为　　　　.
22. (新考向·传统文化)如图,我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若Rt△ABC的内切圆的半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为　　　　.
23. (分类讨论思想)(2024·江西)如图,AB是☉O的直径,AB=2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时,线段FB的长为　　　　　　.
　　　　　　
24. 如图,☉O的半径为3cm,B为☉O外一点,OB交☉O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以πcm/s的速度在☉O上按逆时针方向运动一周回到点A后停止.当点P运动的时间为　　　　s时,直线BP与☉O相切.
25. 如图,☉O的半径为1,A、P、B、C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1) △ABC的形状是　　　　　　　.
(2) 试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明你的结论.
(3) 当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大 请求出最大面积.
第25题
第2章整合提升
1. B　2. C　3. D　4. 点P在☉O外　5. (-1,-2)
6. 65°
7. 已知:如图,CD为☉O的直径,AB为☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M.求证:AM=BM,=,=　如图,连接OA、OB.∵ OA=OB,∴ △OAB是等腰三角形.∵ AB⊥CD,∴ AM=BM,∠AOC=∠BOC,∴ =,∠AOD=∠BOD,∴ =
8. (1) ∵ C是的中点,∴ =.∵ AB是☉O的直径,且CF⊥AB,∴ =,∴ =,∴ CD=BF.∵ =,∴ ∠F=∠CDG.在△BFG和△CDG中,∴ △BFG≌△CDG　(2) 连接OF,设☉O的半径为r.∵ AB是☉O的直径,∴ ∠ADB=90°,∴ 在Rt△ADB中,BD2=AB2-AD2,即BD2=(2r)2-22.∵ CF⊥AB,∴ CF=2EF.在Rt△OEF中,OF2=OE2+EF2,即EF2=r2-(r-2)2.∵ ==,∴ =,∴ BD=CF,∴ BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即(2r)2-22=4[r2-(r-2)2],解得r1=1(不合题意,舍去),r2=3.∴ 在Rt△EFB中,BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,∴ BF=2
9. B　10. C
11. 135°　解析:连接EC.由点E是△ACD的内心,可得∠AEC=90°+∠ADC=135°.证△EAB≌△EAC,得∠AEB=∠AEC=135°.
12. (1) ∵ ∠BAE=∠CAD,∴ ∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠BAC.又∵ ∠ADE=∠ACB,AD=AC,∴ △ADE≌△ACB,∴ AE=AB.∵ AB=8,∴ AE=8　(2) 如图,连接BO并延长交☉O于点F,连接AF.∵ BF是☉O的直径,∴ ∠BAF=90°,∴ 在Rt△BAF中,∠AFB+∠ABF=90°.∵ =,∴ ∠AFB=∠ACB,∴ ∠ACB+∠ABF=90°.∵ AD=AC,∴ ∠ACB=∠ADC,∴ 在△ADC中,2∠ACB+∠CAD=180°.由(1)知AE=AB,∴ ∠AEB=∠ABE,∴ 在△ABE中,2∠ABE+∠BAE=180°.∵ ∠BAE=∠CAD,∴ ∠ACB=∠ABE,∴ ∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°,∴ OB⊥BE.∵ OB为☉O的半径,∴ EB是☉O的切线
13. A　14. 18°　15. B　16.
17. 　解析:作点D关于直线OB的对称点E,连接AE,交OB于点C,此时题图中涂色部分的周长最小.连接OE、DE.由OD平分∠AOB,得∠AOD=∠BOD=∠AOB=30°.由轴对称的性质,得∠EOB=∠BOD=30°,CE=CD,OE=OD,∴ ∠AOE=90°,∴ △AOE是等腰直角三角形.∵ OA=1,∴ AE=,即AC+CD的最小值为.∵ 的长==,∴ 题图中涂色部分的周长的最小值为+=.
18. B
19. C　解析:如图,连接MP、MQ.设直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、B,则A(-4,0)、B(0,4).∴ OA=OB=4,∴ ∠BAO=45°.∵ PQ是☉M的切线,∴ MQ⊥PQ,∴ 在Rt△PQM中,PQ==.要使PQ最短,只要PM最短即可.∵ M(4,0),∴ AM=8.根据“垂线段最短”,得当MP⊥AB时,MP最短.此时在Rt△APM中,AP=MP.由勾股定理,得AP2+MP2=82,∴ MP=4,∴ PQ长的最小值为=2.
20. 105°　解析:连接OB,取OB的中点E,连接CE.∵ OD=2OC,OB=OD,∴ OC=OB.∵ OC⊥AB,∴ 在Rt△OCB中,CE=OB,∴ CE=OC=OE,∴ △OCE为等边三角形,∴ ∠COB=60°,∴ 在Rt△OCB中,∠CBO=30°.∵ OD∥AB,∴ ∠BOD=∠CBO=30°.∵ OB=OD,∴ ∠OBD=∠ODB=75°,∴ ∠ABD=∠CBO+∠OBD=105°.
21. +
22. 289　解析:由直角三角形内切圆半径的计算,可得=3,∴ AC+BC-AB=6,即AC+BC=AB+6.两边平方,得(AC+BC)2=(AB+6)2.∴ BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36.∵ BC2+AC2=AB2①,∴ 2BC·AC=12AB+36②.∵ 小正方形的面积为49,∴ (BC-AC)2=49,即BC2+AC2-2BC·AC=49③.把①②代入③,得AB2-12AB-85=0,解得AB=17(负值舍去).∴ 大正方形的面积为172=289.
23. 2-或2+或2　解析:∵ ☉O的直径AB=2,弦DE的长为正整数,∴ DE=1或2.情况1:当DE=1,且DE在点O的右侧时,如图①,连接OD,则OD=OB=AB=1.∵ AB是☉O的直径,DE⊥AB,∴ DC=DE=,∴ 在Rt△DCO中,OC==.∵ DE是折痕,∴ FB=2BC=2×1-=2-.情况2:当DE=1,且DE在点O的左侧时,如图②,同理可求OC=.∵ DE是折痕,∴ FB=2BC=2×1+=2+.情况3:当DE=2,如图③,DE是☉O的直径,此时点A与点F重合,FB=AB=2.综上所述,线段FB的长为2-或2+或2.
24. 1或5　解析:当点P在OB的上方时,运动的时间为÷π=1(s);当点P在OB的下方时,运动的时间为÷π=5(s).
25. (1) 等边三角形　(2) PC=PA+PB　如图①,在PC上截取PD=PA,连接AD.∵ ∠APC=60°,∴ △APD是等边三角形,∴ AD=AP=PD,∠ADP=60°,∴ ∠ADC=120°.∵ ∠APC=∠CPB=60°,∴ ∠APB=∠APC+∠CPB=120°,∴ ∠ADC=∠APB.在△APB和△ADC中,∴ △APB≌△ADC,∴ PB=DC.又∵ PD=PA,∴ PC=PD+DC=PA+PB　(3) 当P为的中点时,四边形APBC的面积最大　如图②,过点P作PE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.∵ S△APB=AB·PE,S△ABC=AB·CF,∴ S四边形APBC=AB·(PE+CF).当P为的中点时,AP=BP,∴ E为AB的中点.∵ △ABC是☉O的内接正三角形,∴ CA=CB,∴ F为AB的中点.又∵ ∠AEP+∠AFC=180°,∴ P、E、F、C四点共线,点E与点F重合,∴ PE+CF=PC,且PC为☉O的直径,∴ 此时四边形APBC的面积最大.又∵ ☉O的半径为1,∴ 易得其内接正三角形的边长AB=,∴ 四边形APBC的最大面积为××2=