《基础卷》——4.6.4商不变的规律（分层作业）（含解析）-2025-2026学年四年级上册数学（北师大版）

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《基础卷》——4.6.4商不变的规律（分层作业）-2025-2026学年四年级上册数学（北师大版）
一、单选题
1． a、b都是自然数，a÷b=1时，a（　　）b。
A．> B．< C．=
2．1500÷200的商是7，余数是（　　）。
A．1 B．10 C．100
3．与72.9÷0.09的计算结果相等的算式是（　　）。
A．7.29÷0.09 B．729÷0.9 C．72.9÷9 D．729÷0.009
4．下面说法错误的是（　　）。
A．两个乘数的末尾都没有0，积的末尾一定没有0。
B．计算800÷25时，可以运用商不变规律进行简便计算。
C．□81×95的积一定是五位数。
D．直线没有端点，线段有2个端点。
5．248÷8，如果被除数不变，除数缩小4倍，那么商（　　）。
A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．不变 D．无法确定
6．甲数除以乙数的商是5，余数是3，若甲、乙两数同时扩大10倍，那么余数（　　）
A．不变 B．是30 C．是0.3 D．是300
7．粗心的小强想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入了21600÷27。聪明的小红帮助小强弥补了他的错误。下列（　　）是小红的做法。
A．乘100 B．除以100 C．乘10 D．除以10
8．小明在做一个除法算式时，把除数36抄成6并计算出了结果。要得到正确的结果，应该再(　　)。
A．除以6 B．乘6 C．除以36 D．乘36
二、判断题
9．在除法算式里，被除数和除数同时除以6，商不变。（　　）
10．如果÷=24，那么(+2)÷(+2)=24。(　　)
11．被除数一定，除数越大，商就越小。（　　）
12．计算6.2÷0.31时，把被除数和除数同时扩大到原来的 10倍就可以了。(　　)
13．800÷25=（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32应用了商不变的规律。（　　）
14．因为26÷5=5……1，所以260÷50=5……10。（　　）
三、填空题
15．一包A4纸有500张，厚度约5厘米。十万张A4纸大约有　 　米高。
16．在做小数除法时，根据商不变的性质，除数的小数点向　 　移动几位后变成整数，被除数的小数点也向　 　移动相同的位数。
17．两个数相除，商是56，余数是3，若被除数和除数同时扩大100倍，商是　 　，余数是　 　。
18．在横线上填上“>”“<”或“=”.
2.85×0.8　 　2.85 4.2×0.98　 　4.2÷0.98
0.54×1.2　 　5.4×0.12 A÷0.99　 　A÷1.01（A≠0）
19．根据12×68=816，可知0.12×68=　 　，81.6÷6.8=　 　
20．A÷B=8……5，如果A和B都乘以100，那么商是　 　，余数是　 　。
21．明明在计算3.6除以一个数时，由于商的小数点向右点错了一位，结果得24．这道题的除数是　 　
四、计算
22．直接写得数。
15×18= 45×18= 540÷18=
992÷31= 9920÷320= 992÷62=
23．列竖式计算，带★的要验算。
234×18＝ 670×58＝ 45×507＝
957÷87＝ 2500÷400＝ ★352÷58＝
24．递等式计算，能简便的要简便。
875－399
24×28＋28×76
五、解决问题
25．下面是某市甲、乙、丙三个学校购买钢笔的数量和所付的钱数：
学校 甲 乙 丙
所付的钱/元 800 200 400
数量/个 40 10 20
他们购买的钢笔价格相同吗
26．一个除数是700的除法算式中，将除数和被除数同时除以70，计算后发现余数比原来减少了138，则原来的余数是多少
27．小王在计算除法时，把除数470末尾的0漏写了，得到的商是30。正确的商应该是多少？
28． 松糕是浙江温州市特色传统名点，松软香甜，美味可□。某公司计划采购50盒松糕发给员工，一共需要3500元。
（1）每盒松糕多少元
（2）采购当天商场开展促销活动，每盒松糕半价出售，请你快速写出这时3500元可以买多少盒这样的松糕。
29．两数相除，商11余13，已知被除数、除数、商与余数的和是553，那么被除数和除数分别是多少 若将被除数和除数同时扩大到原来的2倍，扩大后被除数和除数得到的商和余数分别是多少
30．有两捆同样规格的铁丝：第一捆长5米，重250克；第二捆重1000克。第二捆铁丝长多少米？(要求用商不变的规律解决问题)
31．小公共汽车包括起点和终点站在内共有12个站，每个站上车的人中恰好在以后各站分别下去一个。要使行驶中每位乘客均有座位，车上至少应有多少个座位供乘客用
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：a÷b=1时，a=b。
故答案为：C。
【分析】两个数相除等于1，说明这两个数相等。
2．【答案】C
3．【答案】B
【解析】【解答】解：72.9÷0.09=729÷0.9，被除数和除数同时括号10倍，商不变。
故答案为：B。
【分析】商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
4．【答案】A
【解析】【解答】解： A：25×44=1100，原选项说法错误；
B：（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32，原选项说法正确；
C：181×95=17195，981×95=93195，原选项说法正确；
D：直线没有端点，线段有2个端点。原选项说法正确。
故答案为：A。
【分析】A：两数相乘，乘数未尾都没有0，两乘数的个位数字相乘后有可能未尾是0，如25×44的积；
B： 计算800÷25时 ， 可以运用商不变规律 被除数和除数同时乘4，变形为800×4）÷（25×4）进行简便计算；
C： □81×95 中的三位数最小是181，最大是981，可以分别计算出181与95的积，981与95的积，再根据积来解答；
D，直线无端点，可以向两端无限延伸，没有长度；线段有两个端点，有长度。
5．【答案】B
【解析】【解答】248÷8，如果被除数不变，除数缩小4倍，那么商扩大4倍。
故答案为：B。
【分析】根据商的变化规律，被除数不变，除数缩小几倍，商反而扩大几倍，据此选择即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：甲数除以乙数商是5，余数是3，
如果甲数和乙数同时扩大10倍，那么商不变，仍然是5，
余数与被除数和除数一样，也扩大了10倍，应是 30．
例如；23÷4=5…3，则230÷40=5…30．
故选：B．
【分析】根据商不变的性质“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变”，可确定商仍然是5；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也扩大了10倍，由此确定余数是30．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：216000÷2700=21600÷27÷10。
故答案为：D。
【分析】在除法算式里，被除数缩小10倍，除数缩小100倍，商扩大了10倍，要使结果不变，要再除以10。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：36÷6=6，要得到正确的结果，应该再除以6。
故答案为：A。
【分析】两个数相除，被除数不变，除数缩小多少倍，商扩大多少倍（0除外）；36÷6=6，所以要得到正确的结果，应该再除以6。
9．【答案】正确
【解析】【解答】解：在除法算式里，被除数和除数同时除以6，商不变。
故答案为：正确。
【分析】在除法计算中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
10．【答案】错误
【解析】【解答】解：如果÷=24，那么(+2)÷(+2)≠24，原题干说法错误。
故答案为：错误。
【分析】商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
11．【答案】正确
【解析】【解答】 根据商的变化规律得出：被除数一定，除数越大，商就越小。
故答案为：正确。
【分析】被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：根据题意，可得
（6.2×100）÷（ 0.31×100 ）=620÷31
故答案为：错误
【分析】小数除以小数，先移动除数的小数点，使它变成整数，根据6.2÷0.31，可知，（6.2×100）÷（ 0.31×100 ）=620÷31，据此即可判断
13．【答案】正确
【解析】【解答】解：被除数和除数都扩大4倍，商不变，这是应用了商不变的规律。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】商不变的规律：两个数相除，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
14．【答案】正确
【解析】【解答】解：因为26÷5=5……1，所以260÷50=5……10，原题干说法正确。
故答案为：正确。
【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
15．【答案】10
【解析】【解答】解：十万=100000
100000÷500×5÷100
=200×5÷100
=1000÷100
=10（米）。
故答案为：10。
【分析】十万张A4纸大约的高度=十万张是500张的倍数×500张的厚度，然后除以100单位换算。
16．【答案】右；右
【解析】【解答】解：在做小数除法时，根据商不变的性质，除数的小数点向右移动几位后变成整数，被除数的小数点也向右移动相同的位数。
故答案为：右；右。
【分析】商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；除数的小数点向右移动几位后变成整数，被除数的小数点也向右移动相同的位数。
17．【答案】56；300
【解析】【解答】解：被除数和除数同时扩大100倍，商不变还是56，余数是：3×100=300。
故答案为：56；300。
【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
18．【答案】<；<；=；>
【解析】【解答】2.85×0.8＜2.85 4.2×0.98＜4.2÷0.98
0.54×1.2=5.4×0.12 A÷0.99＞A÷1.01（A≠0）
故答案为：＜；＜；=；＞。
【分析】一个数乘以小于1的数，积就小于这个数；一个数乘以大于1的数，积就大于这个数。
一个数除以小于1的数，商就大于这个数；一个数除以大于1的数，商就小于这个数。
19．【答案】8.16；12
【解析】【解答】解：0.12×68=8.16；81.6÷6.8=12。
故答案为：8.16；12。
【分析】因数×因数=积 ，其中一个因数=积÷另一个因数，因数中一共缩小几倍，积也缩小同样的杯数；
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
20．【答案】8；500
【解析】【解答】解：如果A和B都乘以100，那么商不变，还是8；
余数是：5×100=500
故答案为：8；500。
【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
21．【答案】1.5
【解析】【解答】由于商的小数点向右移动一位，所以商的正确值应该是2.4
3.6÷2.4=1.5
22．【答案】15×18=270 45×18=810 540÷18=30
992÷31=32 9920÷320=31 992÷62=16
【解析】【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（不为0），则商不变。
被除数扩大a倍，除数扩大b倍（a与b不相等且不等于0），所以商×a÷b。
被除数扩大a倍，除数缩小b倍，则商×a×b。
被除数缩小a倍，除数扩大b倍，商÷a÷b。
被除数缩小a倍，除数缩小b倍，商÷a×b。
积的变化规律：①一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）几倍；②一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变；③一个因数扩大a倍，另一个因数缩小b倍，积就×a÷b。积不变规律：一个因数扩大几倍（不为0），则另一个因数缩小相同的倍数，则积不变。
23．【答案】解：234×18＝4212
670×58＝38860
45×507＝22815
957÷87＝11
2500÷400＝6……100
352÷58＝6……4
验算：
【解析】【分析】三位数乘两位数的笔算乘法，相同数位对齐，先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，再用十位上去乘第一个因数，最后把两次乘得的积相加；
除数是两位数的除法，先用被除数前两位上的数去除，如果它比除数小，就用前三位上的数去除，除到哪一位就在那一位上面写商，每次除后余下的数必须比除数小。
24．【答案】200；476；
32；2800
25．【答案】解：甲：800÷40=20（元/个）
乙：200÷10=20（元/个）
丙：400÷20=20（元/个）
即：甲=乙=丙=20（元/个）
答：他们购买的钢笔价格相同。
【解析】【分析】根据表格可知甲、乙、丙三个学校购买钢笔的数量和所付的钱数，运用除法分别求得每个学校所买钢笔的单价，然后进行比较即可得到甲、乙、丙三个学校购买的钢笔都是20（元/个），所以价格是相同的。
26．【答案】解：现在的余数为138÷69=2
原来的余数为2×70=140
答：原来的余数是140。
【解析】【分析】此题主要考查了商不变规律的应用，除数和被除数同时除以70，商不变，余数需除以70，将原来的余数看作70份，则现在的余数是1份，减少了70-1=69(份)，余数减少了138，由此先用除法求出现在的余数，再乘70，求出原来的余数。
27．【答案】解：470÷47= 10
30÷10=3
答：正确的商是3。
【解析】【分析】在除法里，被除数不变，除数缩小到原来的，则商扩大到原来的10倍，据此列式解答。
28．【答案】（1）解：3500÷50=70(元)
答：每盒松糕70元。
（2）解：50×2=100(盒)
答：这时3500元可以买100盒这样的松糕。
【解析】【分析】（1）一共需要的钱数÷买的盒数=平均每盒的钱数；
（2）商的变化规律：被除数不变，除数除以2，商要乘以2，即50盒松糕×2=每盒松糕半价后能买的盒数。
29．【答案】解：553-(11+13)=529，所以被除数和除数之和是529，
529-13=516，516中含11+1=12(个)除数，
所以除数：516÷12=43，
被除数：529-43=486，
这个式子为486÷43=11……13，
根据商的变化规律，被除数和除数同时扩大到原来的2倍，商不变，余数扩大到原来的2倍，即扩大后的商是11，余数是13×2=26，
答：扩大后的商是11，余数是26。
【解析】【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；
商不变规律中余数变化规律：除数、被除数扩大或缩小几倍，余数就扩大或缩小几倍。
30．【答案】解：5×(1000÷250)
=5×4
=20(米)
答：第二捆铁丝长20米。
【解析】【分析】商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；在此题中，我们可以把铁丝的重量看作被除数，铁丝的长度看作除数，因为是同样规格的铁丝，所以单位长度的重量是相同的，也就是商不变，先求出第二捆铁丝的质量是第一捆铁丝质量的倍数，再根据商不变规律求出第二捆铁丝的长度。
31．【答案】解；从第一站开始，车上人数为1×11，到第二站时，车上人数为2×10，依次可算出以下各站车上人数为：3×9、4×8、5×7、6×6、7×6、8×5…最后，我们找出最大的人数，当两个因数最接近时，它们的积最大，即最多的人数即可求出，车上最多的人数为：6×7=42（人）。
答： 车上至少应有42个座位供乘客用。
【解析】【分析】
首先，我们需要理解题目的意思，每一站上下的乘客中正好有一位乘客从这一站到以后的每一站。因此，我们需要找出车上人数最多的情况，即需要的座位数最多的情况。
从第一站开始，车上人数为11，可以保证以后每个车站都有人下车。到第二站时，下去1人，还有10人，后面10个车站都有人下车，故上车人数为10，车上现有人数为2×10。到第三站时，下去2人（第一站上来的1人和第二站上来的1人），还有9人，后面9个车站都有人下车，故上车人数为20-2+9=3×9。观察发现以后每个车站车上人数分母为、4×8、5×7、6×6、7×6、8×5…最后，我们找出最大的人数，当两个因数最接近时，它们的积最大，即最多的人数即可求出，车上最多的人数为：6×7=42（人）。
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