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直线和圆的方程测试卷——直线（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
4．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解
B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解
D．存在，使之有无穷多解
8．在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．已知直线l过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
10．直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．则下列说法正确的是（ ）
A．直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是
B．已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为
C．已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为
D．直线，，若，则或2
11．下列说法中正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是
B．直线恒过定点
C．点关于直线对称的点为
D．过点且在轴 轴上的截距相等的直线方程为
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 .
13．当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 .
14．若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．求满足下列条件的直线的方程.
（1）直线过点 ，且与直线 平行；
（2）直线过 点且与直线 垂直.
16．已知直线.
（1）求原点到直线l距离的最大值：
（2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.
17．已知直线，．
（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
18．求分别满足下列条件的直线l的方程：
（1）斜率是 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
（2）经过两点A(1，0)、B(m，1)；
（3）经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
19．已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；
（3）直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
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直线和圆的方程测试卷——直线（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：当时，，解得或，
则是的充分不必要条件.
故答案为：B．
【分析】先根据两直线垂直求出参数值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：两直线平行，，求得，
两直线和间的距离.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行斜率相等求出，再利用平行直线距离公式求解.
3．【答案】C
【解析】 【解答】解：因为 直线与平行 ，并且直线，所以，
又因为 直线与垂直，所以a-2b=0，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据的充要条件分别求出a、b的值，相加即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，如图所示：
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故答案为：C
【分析】先设求出关于直线的对称点，再设关于轴的对称点，结合点关于直线对称的性质列出方程，求出点Q，T的坐标，利用两点间的距离公式求解的长即可求解．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：，，直线，，且，
，即，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：B．
【分析】由题意结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出，再利用“1”代换法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合：
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点，，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故答案为：B.
【分析】易知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故答案为：B.
【分析】利用与是直线为常数)上两个不同的点，所以直线的斜率存在，即，并且，所以，进而得出，从而得出方程组有唯—解。
8．【答案】C
【解析】【解答】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立，
故。
故答案为：C
【分析】利用已知条件，易得直线不经过原点，故设直线的方程为，再利用直线过定点结合代入法得出，再利用均值不等式求最值的方法得出ab的最小值，再结合三角形的面积公式得出三角形 面积的最小值。
9．【答案】A,D
【解析】【解答】解：对于A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为，所以A对；
对于B：直线与直线互相垂直，有或，故已知条件间关系为充分不必要条件，所以B错；
对于C：对于不过原点且垂直于坐标轴的直线，不能用表示，所以C错；
对于D：由，，且在y轴两侧，
所以斜率的取值范围是，所以D对.
故答案为：AD.
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，从而判断选项A；利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合充要条件判断方法，从而判断出选项B；注意不过原点且垂直于坐标轴的直线和直线截距式方程的满足要求，从而判断出选项C；利用两点式求出线段端点处的直线斜率，再利用数形结合确定直线的斜率的取值范围，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，因为，所以，
又因为直线在x轴上的截距为，所以直线过点，
所以直线的方程为，即，
A、联立，解得，即直线与的交点坐标为，
由，可得，即直线在y轴上的截距是，故A正确；
B、当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得，
所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；
C、由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，所以直线为，即，
所以到距离为，故C正确；
D、因为，所以，解得或2，
当时，直线与平行，符合题意；
当时，直线与重合，不符合题意，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由题意，求出直线方程，联立直线方程求出两直线交点即可判断A；根据截距的关系求出直线方程即可判断B；根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解即可判断C；根据直线平行求出a再检验即可判断D．
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：A、直线，令，求得，则直线在轴上的截距是，故A错误；
B、由，可得，因为，所以，
解得，故直线恒过定点，故B正确；
C、设，易知，直线的斜率为1，则，又因为的中点在直线上，所以点关于直线对称的点为，故C正确；
D、过点且在轴 轴上的截距相等的直线为或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，令，解y，即可判断A；把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，求解即可判断B；只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可判断C；截距相等分两种情况，截距为0和截距不为零两种情况计算，即可判断D.
12．【答案】或
【解析】【解答】解： 当，位于直线同侧时，直线与直线平行，直线斜率为，直线的方程为，即；
当，位于直线两侧时，直线经过，中点，直线的方程为；
综上直线的方程为或.
故答案为：或.
【分析】分，位于直线同侧，即直线与直线平行，和，位于直线两侧，即直线经过，中点，求解直线方程.
13．【答案】
【解析】【解答】解：直线
可得：，
令可得：，
所以直线过定点，
当时，两点间的距离即为最大值，
又，所以，
所以直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】本题考查了直线过定点问题，化简直线的方程为，联立方程组，求得直线过定点，再由，得到，进而求得直线的方程，得到答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，因为点到直线：的距离，
点到直线：的距离，
所以，可以分别看成点到直线：的距离，
与点到直线：的距离，
由已知可得，，：不过原点，
又由恰有两组的实数对满足关系式，
所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：，
所以满足题意的直线：
第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时，
因为，所以，符合题意；
第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，
此时第二条直线的方程为，
所以此时，即，符合题意；
故答案为：.
【分析】把和看成点到直线的距离，并进行运算即可求解.
15．【答案】（1）解：设所求直线的方程为 ，
∵点 在直线上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
（2）解：设所求直线的方程为 .
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ .
故所求直线的方程为 .
【解析】【分析】(1)利用平行设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案；(2)利用垂直设出所求直线的方程为 ，再代入点 的坐标解出 ，即可得到答案.
16．【答案】（1）解：直线可化为，
令，解得，，即直线恒过定点，
当时，原点到直线的距离最大，此时最大值.
（2）解：设直线的方程为，，
因为直线过定点，所以，
由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，
故面积，即面积的最小值为4，
此时直线方程为，即．
【解析】【分析】（1）直线可化为，从而联立方程组确定直线所过的定点坐标，即，当时，原点到直线的距离最大，再结合两点间距离公式得出原点到直线l距离的最大值.
（2）设直线的方程为，，由直线过定点和代入法，可得，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出ab的最小值，再由三角形的面积公式得出三角形面积的最小值，进而得出此时直线的方程．
（1）（1）直线可化为，
令，解得，，即直线恒过定点；
当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；
（2）设直线的方程为，，
因为直线过定点，所以，
由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，
故面积，即面积的最小值为4，
此时直线方程为，即．
17．【答案】（1）解：当时，直线，
由，解得，
所以直线与的交点为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
当时，，
当时，，
因为直线在两坐标轴上的截距相反，
所以，即，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
（2）解：因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，
所以，
化简得，解得或.
【解析】【分析】（1） 当时，得出直线，再联立两直线方程得出直线与的交点坐标，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，再结合赋值法和求直线在坐标轴上的截距的方法以及直线在两坐标轴上的截距相反，所以，进而解方程得出k的值，从而得出直线的方程。
（2） 利用坐标原点O到直线的距离为1和直线，再结合点到直线的距离公式得出实数a的值。
18．【答案】（1）解：设直线l的方程为y＝ x＋b.
令y＝0，得x＝－ b，
∴ |b·(－ b)|＝6，b＝±3.
∴直线l的方程为y＝ x±3.
（2）解：当m≠1时，直线l的方程是
，即y＝ (x－1)
当m＝1时，直线l的方程是x＝1.
（3）解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为 ＝1；
∵直线过P(4，－3)，∴
又∵|a|＝|b|，
∴ ，解得 ，或 .
当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，
∴l的方程为y＝－ x.
综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或 ＝1或y＝－ x.
【解析】【分析】（1）先设出直线l的斜截式，再用含b的式子表示出直线l与两坐标轴的截距，再利用与两坐标轴围成的三角形的面积是6即可求得b的值，从而求得直线l的方程；（2）再利用两点式求直线的方程时需考虑是否直线与坐标轴平行，若平行则不能使用两点式；（3）先讨论截距不为0时的情况，设出直线l的截距式方程，再利用两坐标轴的截距绝对值相等即可求得直线l的方程；再讨论截距为0时的情况.
19．【答案】（1）解： 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 解得 .
所以P′(－2，7)．
（2）解：联立方程组 解得 所以直线l1与l的交点为 .
在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2，0)，过点(2，0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.
设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，
则 解得 即交点坐标为 .又点(2，0)关于点 对称的点的坐标为 ，
所以过两点 ， 的直线方程为 ＝ ，整理，得7x＋y＋22＝0.
则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.
（3）解： 设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，
由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.
任取y＝3x＋3上的一点(0，3)，则该点关于点A(3，2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．
则 解得
代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.
故直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即所求直线的方程为3x－y－17＝0.
【解析】【分析】（1）设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，建立等式，即可得出答案。（2）计算出直线l1与直线l的交点坐标，在直线l1上取一点，计算出该点关于直线l的对称点，利用两点式，即可得出对称直线方程，即可得出答案。（3）直线l关于点A对称，对称直线与l平行，即可设出l'的方程，然后再直线l上取一点（0，3），计算出该点关于点A的对称点，代入直线l'的方程，即可得出答案。
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直线和圆的方程测试卷——直线（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (15.8%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数与方程的综合运用 5.0(3.3%) 7
2 直线的一般式方程 26.0(17.3%) 11,14,17
3 直线的方向向量 6.0(4.0%) 9
4 两条直线平行的判定 11.0(7.3%) 10,12
5 直线的一般式方程与直线的垂直关系 20.0(13.3%) 3,5,13,14
6 恒过定点的直线 16.0(10.7%) 8,11,13
7 与直线关于点、直线对称的直线方程 22.0(14.7%) 4,19
8 充要条件 6.0(4.0%) 9
9 直线的点斜式方程 24.0(16.0%) 10,13,15
10 平面内中点坐标公式 10.0(6.7%) 4,12
11 基本不等式 15.0(10.0%) 16
12 两条直线垂直的判定 11.0(7.3%) 1,10
13 直线的倾斜角 5.0(3.3%) 6
14 直线的截距式方程 33.0(22.0%) 9,10,11,16
15 两条直线的交点坐标 15.0(10.0%) 17
16 必要条件、充分条件与充要条件的判断 5.0(3.3%) 1
17 用斜率判定两直线平行 18.0(12.0%) 2,15
18 平面内点到直线的距离公式 41.0(27.3%) 10,14,16,17
19 平面内两条平行直线间的距离 5.0(3.3%) 2
20 基本不等式在最值问题中的应用 10.0(6.7%) 5,8
21 用斜率判定两直线垂直 13.0(8.7%) 15
22 直线的斜率 15.0(10.0%) 6,7,12
23 直线的一般式方程与直线的平行关系 10.0(6.7%) 3,14
24 三角形中的几何计算 20.0(13.3%) 8,16
25 斜率的计算公式 6.0(4.0%) 9
26 直线的两点式方程 17.0(11.3%) 18
27 平面内两点间的距离公式 5.0(3.3%) 4
28 直线的斜截式方程 17.0(11.3%) 18
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