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专题：隐圆问题 巩固练习
一．选择题（共11小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝12，点D是△ABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC＝90°，则BD的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10 B．3 C．26 D．3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，线段DE的两个端点D，E分别在边AC和边BC所在的直线上滑动，且DE＝7，若点P，Q分别是AB，DE的中点，则下列有关PQ说法正确的是（ ）
A．有最大值为13.5 B．有最大值为13
C．有最小值为3.5 D．有最小值为3
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（ ）
A．5 B．22 C．6 D．22
8．如图在5×5正方形网格中，一条圆弧过点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧APB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．67.5°
10．如图，将⊙O沿弦MN折叠，圆弧恰好经过圆心O，点A是劣弧MN上一点，则∠MAN的度数为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．105°
11．如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
二．填空题（共8小题）
12．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 ．
15．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为18．在点D的运动过程中，线段OF最大值为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 ．
17．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．
（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝ cm；
（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 cm．
18．如图1，将半径为2的圆形纸片沿圆的两条互相垂直的直径AC、BD两次折叠后得到如图2所示的扇形OAB，然后再沿OB的中垂线EF将扇形OAB剪成左右两部分．右边部分经过两次展开并压平后所得的图形的周长为 ．
19．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 ．
三．解答题（共1小题）
20．如图，⊙O的半径为6cm，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，E、F是AB上两点（E、F不与A、B重合且E在F右边），且AF＝BE．
（1）判定四边形OECF的形状；
（2）AF为多少时，△CFB为直角三角形？中小学教育资源及组卷应用平台
专题：隐圆问题 巩固练习
一．选择题（共11小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B B D B B B C C C
一．选择题（共11小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝12，点D是△ABC内的一点，连接AD，CD，BD，满足∠ADC＝90°，则BD的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
【思路点拔】如图，取AC中点O，连接DO．则点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD＝OB﹣OD＝OB﹣5为最短．所以BD＝OB﹣OD＝OB﹣5＝13﹣5＝8，即为BD的最小值．
【解答】解：如图，取AC中点O，连接DO．
∵∠ADC＝90°，
∴点D在以点O为圆心，AC长为直径的圆周上运动，且DOAC5，
当O、D、B在同一直线上时，OB最短，此时BD＝OB﹣OD＝OB﹣5为最短．
在Rt△OCB中，
OC＝5，BC＝12，
则OB13，
∴BD＝OB﹣OD＝OB﹣5＝13﹣5＝8，
即BD的最小值是8．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正确构建隐圆和利用勾股定理是解题的关键．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【思路点拔】如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC，根据直角三角形斜边中线的性质求出OP，根据勾股定理求出OC，根据两点之间线段最短得到PC≥OC﹣OP即可解决问题．
【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠PAB，
∴∠ABP+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵OA＝OB，
∴，，
∵OP+PC≥OC，
∴PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．
【思路点拔】由BE⊥CD得出点E再以BC为直径圆上，求出AO的长度，当A、O、E三点共线时，AE取得最小值，求出AO和OE的长，相减即可得出答案．
【解答】解：设BC的中点为点O，以O为圆心，BC为直径画圆，如图：
∵BE⊥CD，BC＝6，
∴点E在以O为圆心，半径为BC＝3的圆上，
∵点E在半径为3的⊙O上，
∴OE＝OB＝3，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，
∴AO，
∵两点之间线段最短，
∴当A、O、E三点共线时，AE取得最小值，
此时，AE＝AO﹣OE3，
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以O为圆心，半径为BC＝3的圆上”是解决问题的关键．
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10 B．3 C．26 D．3
【思路点拔】根据三角形斜边中线的性质求得CN，CM3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为：3．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB2，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN，CM3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：3，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，线段DE的两个端点D，E分别在边AC和边BC所在的直线上滑动，且DE＝7，若点P，Q分别是AB，DE的中点，则下列有关PQ说法正确的是（ ）
A．有最大值为13.5 B．有最大值为13
C．有最小值为3.5 D．有最小值为3
【思路点拔】连接CQ、CP，根据勾股定理得到AB13，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到CQDE＝3.5，CPAB＝6.5，当C、Q、P在同一直线上时，PQ取最小值，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接CQ、CP，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB13，
∵DE＝7，点Q、P分别是DE、AB的中点，
∴CQDE＝3.5，CPAB＝6.5，
当C、Q、P在同一直线上时，PQ取最小值，
∴PQ的最小值为：6.5﹣3.5＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ETBC＝6，AT10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
7．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（ ）
A．5 B．22 C．6 D．22
【思路点拔】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值．
【解答】解：如图：
取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．
连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．
由以上作图可知，AF⊥EB于F．
PC+PF＝PC'′+EF＝C'F
由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．
∵C'B'＝4，OB′＝6
∴C'O，
∴C'F＝2，
∴PC+PF的最小值为22，
故选：B．
【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
8．如图在5×5正方形网格中，一条圆弧过点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【思路点拔】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，熟知弦的垂直平分线必过圆心是解答此题的关键．
9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧APB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．67.5°
【思路点拔】作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD＝CD，则ODOA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD＝30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【解答】解：如图作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB．
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD．
∴ODOCOA．
∴∠OAD＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝30°．
∴∠AOB＝120°．
∴∠APB∠AOB＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD＝30°是解题的关键．
10．如图，将⊙O沿弦MN折叠，圆弧恰好经过圆心O，点A是劣弧MN上一点，则∠MAN的度数为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．105°
【思路点拔】连接BM、BN、OM、ON，作OP⊥MN交⊙O于P，连接PM、PN，由折叠的性质得：∠MON＝∠MPN，由圆周角定理和圆内接四边形性质得出得出∠MPN＝∠MAN，∠MAN+∠MBN＝180°，得出∠MAN∠MAN＝180°，即可得出结果．
【解答】解：连接BM、BN、OM、ON，作OP⊥MN交⊙O于P，连接PM、PN，如图所示：
由折叠的性质得：∠MON＝∠MPN，
∵∠MPN＝∠MAN，∠MAN+∠MBN＝180°，∠MBN∠MON∠MPN∠MAN，
∴∠MAN∠MAN＝180°，
∴∠MAN＝120°；
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理，翻折变换的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
11．如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【思路点拔】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB．
【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C．
由折叠的性质可知，ODOCOA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°，
同理可得∠B＝30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内角和，圆的有关知识的应用，求得∠OAB＝∠OBA＝30°是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
12．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 ．
【思路点拔】取AB的中点O，连接OC，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且OC和OG的长度是定值，因此当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，根据勾股定理求出OC，则CG的最小值为OC﹣OG．
【解答】解：取AB的中点O，连接OC，如图，
根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，
∵OC和OG的长度是定值，
∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OG3，
在Rt△BOC中，OC，
∴CG的最小值为OC﹣OG．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理，根据题意得出点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，且当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为 2 ．
【思路点拔】以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，根据勾股定理求出CD，再求出答案即可．
【解答】解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，
∵A（4，0），C（0，3），
∴OC＝3，OA＝4，
∴OD＝DB＝2，
∴CD，
∴BC＝CD﹣BD2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，坐标与图形性质，最短路线问题等知识点，能找出符合题意的B点的位置是解此题的关键．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 4 ．
【思路点拔】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝1是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF．
【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．
在Rt△EDD′中，∵DE＝3，DD′＝4，
∴ED′，
∵DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝1是定值，
∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，
∴PF+PD的最小值为4，
故答案为4．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
15．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为18．在点D的运动过程中，线段OF最大值为 3+3 ．
【思路点拔】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，得出S矩形OABC＝18，由OC＝3，得出OA＝4，由∠CFB＝90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，求出FM，OM，根据OF≤FM+OM求解即可解决问题．
【解答】解：当点D与点A重合时，如图：
∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝18，S矩形OABC＝2S△CBD，
∴S矩形OABC＝18，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∴OA＝6，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
则MFBC＝3，OM3，
∵OF≤FM+OM，
∴OF≤3+3
∴OF的最大值＝3+3，
故答案为3+3．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是 4 ．
【思路点拔】由翻折的性质可得，AF＝DF，C△DEF＝DF+FB+BD＝AF+FB+BD＝AB+BD，要求△BDF周长的最小值，即求BD的最小值，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最短，过E作EM⊥AB于点M，则EM，根据勾股定理求出AM，进而求出BM，再由勾股定理可求出BE，以此求出BD′，最后算出△BDF的周长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC，
如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，
此时BD的长度最小，
∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，
∴AF＝D′F，AE＝A′E，
∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，
∴此时△BDF的周长最小，
过E作EM⊥AB于点M，
∴EM，
由勾股定理可得AM，
∴BM＝AB﹣AM，
由勾股定理可得BE，
∴BD′＝BE﹣ED′，
∴△BDF周长的最小值是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30°角的直角三角形，最短路线等知识，解题的关键是能根据题意作出圆并找到BD的最小长度．
17．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．
（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝ cm；
（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 （5） cm．
【思路点拔】（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E＝90°，结合旋转性质可证得△EN′M≌△BMN（AAS），即可运用勾股定理求得答案；
（2）根据题意可得点N′始终在⊙M上，当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．利用勾股定理可求得DM，进而可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，过点N′作N′E⊥AB交BA的延长线于点E，
则∠E＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵M，N分别是AB边和BC的中点，
∴BMAB＝3cm，BNBC＝4cm，
在Rt△BMN中，MN5，
∵线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN′，
∴MN′＝MN，∠NMN′＝90°，
∴∠BMN+∠EMN′＝90°，
∵∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠EMN′＝∠BNM，
在△EN′M和△BMN中，
，
∴△EN′M≌△BMN（AAS），
∴ME＝BN＝4，EN′＝BM＝3，
∴BE＝BM+ME＝3+4＝7，
在Rt△BN′E中，BN′（cm），
故答案为：．
（2）如图2，以M为圆心，5为半径作⊙M，连接DM交⊙M于P，
∵线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，
∴点N′始终在⊙M上，
当点N′与点P重合时，DN′＝DP＝DM﹣MP为最小值．
在Rt△ADM中，DM（cm），
∵MP＝5cm，
∴DP＝（5）cm，
∴DN′的最小值为（5）cm，
故答案为：（5）．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，圆中的最值问题等，解题关键是添加辅助圆，利用圆中的最值求解．
18．如图1，将半径为2的圆形纸片沿圆的两条互相垂直的直径AC、BD两次折叠后得到如图2所示的扇形OAB，然后再沿OB的中垂线EF将扇形OAB剪成左右两部分．右边部分经过两次展开并压平后所得的图形的周长为 4 ．
【思路点拔】求出EF和的长度再乘以4即可．
【解答】解：如图，
∵EF是OB的中垂线，
∴∠OEF＝90°，OEOBOF＝1，
∴∠EFO＝30°，∠EOF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
由勾股定理得：EF，
由折叠得：右边部分经过两次展开并压平后所得的图形的周长
＝4EF+4
＝44
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题是折叠和扇形问题，考查了折叠的性质和扇形的弧长公式，解题的关键是熟知折叠前后的图形是全等形，折痕就是图形的对称轴，对称轴是对称点连线的中垂线．
19．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 150° ．
【思路点拔】作辅助线，证明△AGO是等边三角形，则∠AOG＝60°，同理∠BOG＝60°，所以∠BOC＝90°+60°＝150°，根据圆心角的度数等于弧的度数可以得出结论．
【解答】解：如图，
过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，
由折叠得：GH＝OH，
∴AG＝AO，
∵AO＝OG，
∴AO＝OG＝AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG＝60°，
同理∠BOG＝60°，
∴∠BOC＝90°+60°＝150°，
则弧的度数是150°；
故答案为：150°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质、翻折变换，明确翻折前后的边相等，熟练掌握垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质是关键．
三．解答题（共1小题）
20．如图，⊙O的半径为6cm，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，E、F是AB上两点（E、F不与A、B重合且E在F右边），且AF＝BE．
（1）判定四边形OECF的形状；
（2）AF为多少时，△CFB为直角三角形？
【思路点拔】将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB，知AB⊥CO，CD＝OD，证明DF＝DE，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：△CFB为直角三角形，求出∠OBD，三角函数求出BF、AF的长．
【解答】解：（1）连CO交AB于D，由对称性可以得到
CD＝DO＝3cm，AD＝BD，AB＝6cm
又∵OA＝OB＝6cm，
∴OACB是菱形，
∵AF＝BE，
∴DE＝DF，又CD＝DO，
∴OECF为平行四边形，又AB⊥CO，
∴四边形OECF是菱形；
（2）∠CBA＝∠BAO，CB＝6cm
DCCB＝3cm，
∴∠OBD＝30°，
∴BF＝4cm
∴AF＝AB﹣BF＝642cm．
【点评】考查了对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定，及三角函数求线段的长度．
