“12345”模型巩固练习（含解析）
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“12345”模型巩固练习
一．选择题（共7小题）
1．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（ ）
A． B．1 C． D．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交AD的延长线于点M，如，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1.4
5．如图，正方形ABCD中，E是AD中点，连接AC，作DF⊥CE交AB于F，交CE于P，交AC于H，延长DF交CB延长线于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接BD交AC于点E，BC交网格线于点F，连接EF．给出4个结论：
①BF＝EF；
②∠ABE＝∠CEF；
③tan∠AED＝2；
④CA CE＝10．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共11小题）
8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．
（1）AP＝ ；
（2）点B到直线AP的距离是 ；
（3）∠APB＝ ；
（4）S△APB＝ ．
9．如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于 ．
10．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC，则点C的坐标为 ．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
17．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB，tan∠BOC，则点A′的坐标为 ．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是 ．
“12345”模型巩固练习
一．选择题（共7小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A C B C A B
一．选择题（共7小题）
1．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC＝BC，AB＝2．
∵（））2+（）2＝（2）2．
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】先证明三角形全等，再根据勾股定理求解．
【解答】解：设CN交BP于点Q，
在矩形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∵AB＝3，BC＝4，
∴BD＝5，
由作图得：BP平分∠CBD，
∴∠DBP＝∠CBP，
∵过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，
∴∠MQB＝∠CQB＝90°，
∵BQ＝BQ，
∴△BQM≌△BQC（ASA），
∴BM＝BC＝4，∠CMB＝∠MCB，
∴DM＝BD﹣BM＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠NCB，
∵∠DMN＝∠CMB，
∴∠DNC＝∠NMD，
∴DN＝DM＝1，
∴NC，
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，掌握三角形全等是性质及勾股定理是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】连接AF，由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，证出AB＝FC，BF＝CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF＝45°，即可得出答案．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵FC＝2BF，
∴BF＝1，FC＝2，
∴AB＝FC，
∵E是CD的中点，
∴CECD＝1，
∴BF＝CE，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∴cos∠AEF；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交AD的延长线于点M，如，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1.4
【分析】在Rt△DGM中，根据，设DG＝x，DM＝2x，从而利用勾股定理求出GM，再设HD＝y，根据题意可得AE＝HD＝y，AH＝DG＝x，从而求出AM，然后在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义可得，从而求出y＝3x，最后在Rt△HDG中，利用勾股定理求出HG，进行计算即可解答．
【解答】解：tanM，
∴，
∴设DG＝x，DM＝2x，
∴，
设HD＝y，
由题意得：△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD＝y，AH＝DG＝x，
，
∴，
∴3x+y＝2y，
∴y＝3x，
∴DH＝y＝3x，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD中，E是AD中点，连接AC，作DF⊥CE交AB于F，交CE于P，交AC于H，延长DF交CB延长线于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△ADF≌△DCE，得AF＝DEAB，根据AD∥BC证明△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，列比例式可求得：PH和GH的长，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDP＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠CPD＝90°，
∴∠DCE+∠CDP＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE，
∵点E是AD的中点，
∴DEAD，
∴AFAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，
∴1，，，
设PD＝a，则PG＝4a，
∴DHa，GHa
∴PH＝DH﹣PDa﹣aa
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系．
6．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝3，设AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC＝AB＝6，
如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴CF2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．
7．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接BD交AC于点E，BC交网格线于点F，连接EF．给出4个结论：
①BF＝EF；
②∠ABE＝∠CEF；
③tan∠AED＝2；
④CA CE＝10．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】连接CD，利用全等三角形的判定与性质得到∠DCB＝90°，则△CDB为等腰直角三角形；利用角平分线的性质定理和平行线分线段成比例定理得到2，则EF∥CD，利用平行线的性质得到∠FEB＝∠CDB＝45°，则△FEB为等腰直角三角形，则得①的结论正确；利用三角形的内角和定理得到∠ABE＝∠DCE，利用两直线平行，内错角相等得到∠CEF＝∠DCE，则②的结论正确；利用三角形的外交的性质得到∠AED＝∠CBA，在Rt△CHB中，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠CBA3，则得③的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质，列出比例式计算，则得④的结论正确．
【解答】解：连接CD，G，H为格点，如图，
由题意得：AD＝2，AB＝4，CD＝CB，∠DAC＝∠BAC＝45°．
在△DCG和△CBH中，
，
∴△DCG≌△CBH（SAS），
∴∠DCG＝∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠DCG+∠BCH＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴△DCB为等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°．
∵∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴2，
∵FG∥BH，
∴2，
∴，
∴EF∥CD，
∴∠FEB＝∠CDB＝45°，
∴∠FEB＝∠CBD＝45°，
∴BF＝EF．
∴①的结论正确；
∵∠CAB＝∠CDB＝45°，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DCE．
∵EF∥CD，
∴∠CEF＝∠DCE，
∴∠ABE＝∠CEF．
∴②的结论正确；
∵∠AED＝∠EAB+∠ABE＝45°+∠ABE，∠CBA＝∠CBD+∠ABE＝45°+∠ABE，
∴∠AED＝∠CBA，
在Rt△CHB中，
tan∠CBA3，
∴tan∠AED＝tan∠CBA＝3，
∴③的结论不正确；
∵∠CBD＝∠CAB＝45°，∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∴CA CE＝CB210，
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是网格题，熟练掌握网格的特性是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．
（1）AP＝ 2 ；
（2）点B到直线AP的距离是 2 ；
（3）∠APB＝ 135° ；
（4）S△APB＝ 10 ．
【分析】（1）用勾股定理求解即可；
（2）延长AP得格点C，连接BC，PC，证∠BCP＝90°，则点B到直线AP的距离是线段BC的长，再由勾股定理求出BC的长即可；
（3）由（2）问图可证△BPC是等腰直角三角形，从而得∠BPC＝45°，即可由∠APB＝180°﹣∠BPC求解；
（4）根据三角形面积公式计算即可求解．
【解答】解：（1）1×2＝2，
2×2＝4，
AP2．
故答案为：2；
（2）延长AP得格点C，连接BC，PC，如图，
由图可得：PE＝CD，CE＝BD，∠PEC＝∠BDC＝90°，
∴△PEC≌△CDB（SAS），
∴∠PCE＝∠CBD，
∴∠DCB+∠CBD＝90°，
∴∠DCB+∠PCE＝90°，
∴∠PCB＝90°，
∴BC⊥AP，
∴点B到直线AP的距离是线段BC的长，
∴BC2．
故答案为：2；
（3）由（2）知△PEC≌△CDB（SAS），∠PCB＝90°，
∴BC＝PC，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠BPC＝135°．
故答案为：135°；
（4）5×2＝10，
10×2÷2＝10．
故S△APB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握在网格图用勾股定理求线段长是解题的关键．
9．如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于 2 ．
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，
∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
10．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
【分析】过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，根据点G为AB中点可得AG＝1，不难推出四边形ABNM为矩形，△DMF∽△DAG，则，设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，BN＝AM＝2﹣2x，根据折叠的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝2，根据勾股定理得BF2＝BN2+NF2，以此得出，，设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，再根据勾股定理得EF2＝EM2+MF2，以此列出方程求解即可．
【解答】解：过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，如图，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝2，四边形ABNM为矩形，
∴AM＝BN，AB＝MN＝2，
∵点G为AB中点，
∴1，
∵MN∥AB，
∴△DMF∽△DAG，
∴，
即DM＝2MF，
设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，
∴BN＝AM＝2﹣2x，
根据折叠的性质得，AE＝EF，AB＝BF＝2，
在Rt△BNF中，
根据勾股定理得，BF2＝BN2+NF2，
∴22＝（2﹣2x）2+（2﹣x）2，
整理得，5x2﹣12x+4＝0，
解得：或2（舍去），
∴，，
设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，
在Rt△EMF中，
由勾股定理得，EF2＝EM2+MF2，
∴，
∴y，
∴AE．
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，正确作出辅助线，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC，则点C的坐标为 （，0） ．
【分析】设C（a，0），结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC，通过解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．
【解答】解：设C（a，0），
∴OC＝a，
∵点A（1，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC，
在Rt△OAB中，tan∠OBA，tan∠ABC，
∴∠OBA＝∠ABC，
过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BM的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴，
解得b，
即CN，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴，
∴，
解得BM，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 5 ．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得 AB，根据旋转的性质可证△ABB'、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADBBCDF×AB，ADDF，证明△AFD∽△ACB，可得 ，即AF＝3DF，再由 ，求得 ，从而求得 ，，即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90° 得到△AB'C'，，∠BAB'＝90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'＝45°
∵DF⊥AB，∠DFB＝90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
S△DBABC×ADDF×AB，即 ，
∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
即AF＝3DF，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴5，
故答案为：5．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，则 练掌握相关知识是解题的关键．
14．如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ 2 ，MH＝ ．
【分析】先求出AE＝5，证△DAE和△ABF全等得DE＝AF，AE＝BF＝5，再证△AFH∽△ADE，利用相似三角形的性质可得AH的长；过点M作MN⊥AE于点N，先求出AE＝BE＝5，EH＝3，BH＝4，证△MEC∽△MBA得ME：MB＝CE：AB＝1：2，进而得ME：EB＝1：3，再证△MNE∽△BHE，利用相似三角形的性质得MN，EN＝1，进而得HN＝2，最后在Rt△MHN中，由勾股定理可求出MH．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE中，AD，DE，
由勾股定理得：，
∵∠BAD＝90°，BF⊥AE，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE＝AF，AE＝BF＝5，
∵BF⊥AE，∠D＝90°，
∴∠AHF＝∠D＝90°，
又∠HAF＝∠DAE，
∴△AFH∽△ADE，
∴AH：AD＝AF：AE，
即：AH：：5，
∴AH＝2．
过点M作MN⊥AE于点N，如图：
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE＝5，
∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3，
在Rt△AHB中，AB，AH＝2，
由勾股定理得：，
∵AB∥CD，
∴△MEC∽△MBA，
∴ME：MB＝CE：AB，
即：ME：MB：2，
∴ME：MB＝1：2，
∴ME：EB＝1：3，
∵BF⊥AE，MN⊥AE，
∴MN∥BH，
∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB
∴MN：4＝EN：3＝1：3，
∴MN，EN＝1，
∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2，
在Rt△MHN中，MN，HN＝2，
由勾股定理得：．
故答案为：2，．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解答此题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是 ．
【分析】由正方形的性质得AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，则∠CBE＝90°，由翻折得CG＝CE，则DGBE＝2，所以AG＝2，AE＝6，则EG2，因为CF垂直平分EG，所以GF＝EF，由勾股定理得22+（6﹣EF）2＝EF2，求得EF，即可根据2FH2＝S△EFG，求得FH，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝90°，
由翻折得CG＝CE，
∴DGBE＝2，
∴AG＝AD﹣DG＝4﹣2＝2，AE＝AB+BE＝4+2＝6，
∴EG2，
∵点G与点E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∵AG2+AF2＝GF2，且AF＝6﹣EF，
∴22+（6﹣EF）2＝EF2，
解得EF，
∵EG FHEF AG＝S△EFG，
∴2FH2，
解得FH，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得DG＝2是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NFx，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，
∴NFx，AN＝4﹣x，
∵AB＝2，
∴AM＝BM＝1，
∵AE，AB＝2，
∴BE＝1，
∴ME，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAE+∠NAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MEA＝∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x，
经检验，x是分式方程的解，
∴AF．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
17．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB，tan∠BOC，则点A′的坐标为 （，） ．
【分析】过点A′作A′D⊥x轴于点D，根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、OD的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠AOC＝∠OAB＝∠OCB＝90°，OA＝BC，
∵OB，tan∠BOC，
∴OA＝BC＝1，OC＝AB＝2，
由折叠的性质得：A′O＝AO＝1，△ABO≌△EBO，
设A′D＝x，OD＝y；
由勾股定理得：x2+y2＝1①，
由面积公式得：xy+22×1（x+2）（y+1）②；
联立①②并解得：x，y，
则点A′的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】此题考查翻折变换，坐标与图形的性质；解决问题的关键是综合利用矩形的性质，勾股定理等几何知识点．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是 ．
【分析】延长AF，EF分别交CD于H，M，连接AM，根据折叠的性质得到AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝FM，设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，根据勾股定理得到DM＝FM＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：延长AF，EF分别交CD于H，M，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∵将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴∠ADM＝∠AFM＝90°，AF＝AD，
∵AM＝AM，
∴Rt△ADM≌Rt△AFM（HL），
∴DM＝FM，
∵E为BC的中点，BC＝CD＝6，
∴CE＝3，
设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，
∵EM2＝CM2+CE2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴DM＝FM＝2，
∵∠MFH＝∠ECM＝90°，∠HMF＝∠CME，
∴△MFH∽△MCE，
∴，
∴，
∴MH＝2.5，FH＝1.5，
∴AH＝6+1.5＝7.5，DH＝4.5，
∵AB∥DH，
∴△AGB∽△HGD，
∴，
∴，
∴AG，
∴GF＝AF﹣AG，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
“12345”模型巩固练习
一．选择题（共7小题）
1．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（ ）
A． B．1 C． D．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交AD的延长线于点M，如，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1.4
5．如图，正方形ABCD中，E是AD中点，连接AC，作DF⊥CE交AB于F，交CE于P，交AC于H，延长DF交CB延长线于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接BD交AC于点E，BC交网格线于点F，连接EF．给出4个结论：
①BF＝EF；
②∠ABE＝∠CEF；
③tan∠AED＝2；
④CA CE＝10．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共11小题）
8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．
（1）AP＝ ；
（2）点B到直线AP的距离是 ；
（3）∠APB＝ ；
（4）S△APB＝ ．
9．如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于 ．
10．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC，则点C的坐标为 ．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
17．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB，tan∠BOC，则点A′的坐标为 ．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是 ．
“12345”模型巩固练习
一．选择题（共7小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A C B C A B
一．选择题（共7小题）
1．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC＝BC，AB＝2．
∵（））2+（）2＝（2）2．
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】先证明三角形全等，再根据勾股定理求解．
【解答】解：设CN交BP于点Q，
在矩形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∵AB＝3，BC＝4，
∴BD＝5，
由作图得：BP平分∠CBD，
∴∠DBP＝∠CBP，
∵过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，
∴∠MQB＝∠CQB＝90°，
∵BQ＝BQ，
∴△BQM≌△BQC（ASA），
∴BM＝BC＝4，∠CMB＝∠MCB，
∴DM＝BD﹣BM＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DNC＝∠NCB，
∵∠DMN＝∠CMB，
∴∠DNC＝∠NMD，
∴DN＝DM＝1，
∴NC，
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，掌握三角形全等是性质及勾股定理是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】连接AF，由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，证出AB＝FC，BF＝CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF＝45°，即可得出答案．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵FC＝2BF，
∴BF＝1，FC＝2，
∴AB＝FC，
∵E是CD的中点，
∴CECD＝1，
∴BF＝CE，
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∴cos∠AEF；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接EG并延长交AD的延长线于点M，如，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1.4
【分析】在Rt△DGM中，根据，设DG＝x，DM＝2x，从而利用勾股定理求出GM，再设HD＝y，根据题意可得AE＝HD＝y，AH＝DG＝x，从而求出AM，然后在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义可得，从而求出y＝3x，最后在Rt△HDG中，利用勾股定理求出HG，进行计算即可解答．
【解答】解：tanM，
∴，
∴设DG＝x，DM＝2x，
∴，
设HD＝y，
由题意得：△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD＝y，AH＝DG＝x，
，
∴，
∴3x+y＝2y，
∴y＝3x，
∴DH＝y＝3x，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD中，E是AD中点，连接AC，作DF⊥CE交AB于F，交CE于P，交AC于H，延长DF交CB延长线于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△ADF≌△DCE，得AF＝DEAB，根据AD∥BC证明△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，列比例式可求得：PH和GH的长，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDP＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠CPD＝90°，
∴∠DCE+∠CDP＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE，
∵点E是AD的中点，
∴DEAD，
∴AFAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，
∴1，，，
设PD＝a，则PG＝4a，
∴DHa，GHa
∴PH＝DH﹣PDa﹣aa
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系．
6．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝3，设AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC＝AB＝6，
如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴CF2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．
7．如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接BD交AC于点E，BC交网格线于点F，连接EF．给出4个结论：
①BF＝EF；
②∠ABE＝∠CEF；
③tan∠AED＝2；
④CA CE＝10．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】连接CD，利用全等三角形的判定与性质得到∠DCB＝90°，则△CDB为等腰直角三角形；利用角平分线的性质定理和平行线分线段成比例定理得到2，则EF∥CD，利用平行线的性质得到∠FEB＝∠CDB＝45°，则△FEB为等腰直角三角形，则得①的结论正确；利用三角形的内角和定理得到∠ABE＝∠DCE，利用两直线平行，内错角相等得到∠CEF＝∠DCE，则②的结论正确；利用三角形的外交的性质得到∠AED＝∠CBA，在Rt△CHB中，利用直角三角形的边角关系定理得到tan∠CBA3，则得③的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质，列出比例式计算，则得④的结论正确．
【解答】解：连接CD，G，H为格点，如图，
由题意得：AD＝2，AB＝4，CD＝CB，∠DAC＝∠BAC＝45°．
在△DCG和△CBH中，
，
∴△DCG≌△CBH（SAS），
∴∠DCG＝∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠DCG+∠BCH＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴△DCB为等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°．
∵∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴2，
∵FG∥BH，
∴2，
∴，
∴EF∥CD，
∴∠FEB＝∠CDB＝45°，
∴∠FEB＝∠CBD＝45°，
∴BF＝EF．
∴①的结论正确；
∵∠CAB＝∠CDB＝45°，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DCE．
∵EF∥CD，
∴∠CEF＝∠DCE，
∴∠ABE＝∠CEF．
∴②的结论正确；
∵∠AED＝∠EAB+∠ABE＝45°+∠ABE，∠CBA＝∠CBD+∠ABE＝45°+∠ABE，
∴∠AED＝∠CBA，
在Rt△CHB中，
tan∠CBA3，
∴tan∠AED＝tan∠CBA＝3，
∴③的结论不正确；
∵∠CBD＝∠CAB＝45°，∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∴CA CE＝CB210，
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是网格题，熟练掌握网格的特性是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．
（1）AP＝ 2 ；
（2）点B到直线AP的距离是 2 ；
（3）∠APB＝ 135° ；
（4）S△APB＝ 10 ．
【分析】（1）用勾股定理求解即可；
（2）延长AP得格点C，连接BC，PC，证∠BCP＝90°，则点B到直线AP的距离是线段BC的长，再由勾股定理求出BC的长即可；
（3）由（2）问图可证△BPC是等腰直角三角形，从而得∠BPC＝45°，即可由∠APB＝180°﹣∠BPC求解；
（4）根据三角形面积公式计算即可求解．
【解答】解：（1）1×2＝2，
2×2＝4，
AP2．
故答案为：2；
（2）延长AP得格点C，连接BC，PC，如图，
由图可得：PE＝CD，CE＝BD，∠PEC＝∠BDC＝90°，
∴△PEC≌△CDB（SAS），
∴∠PCE＝∠CBD，
∴∠DCB+∠CBD＝90°，
∴∠DCB+∠PCE＝90°，
∴∠PCB＝90°，
∴BC⊥AP，
∴点B到直线AP的距离是线段BC的长，
∴BC2．
故答案为：2；
（3）由（2）知△PEC≌△CDB（SAS），∠PCB＝90°，
∴BC＝PC，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠BPC＝135°．
故答案为：135°；
（4）5×2＝10，
10×2÷2＝10．
故S△APB＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握在网格图用勾股定理求线段长是解题的关键．
9．如图，正方形纸片ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长等于 2 ．
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：如图，连接AE，
∵AB＝AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x．
∵G为BC中点，BC＝6，
∴CG＝3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
则DE＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
10．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
【分析】过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，根据点G为AB中点可得AG＝1，不难推出四边形ABNM为矩形，△DMF∽△DAG，则，设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，BN＝AM＝2﹣2x，根据折叠的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝2，根据勾股定理得BF2＝BN2+NF2，以此得出，，设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，再根据勾股定理得EF2＝EM2+MF2，以此列出方程求解即可．
【解答】解：过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，如图，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝2，四边形ABNM为矩形，
∴AM＝BN，AB＝MN＝2，
∵点G为AB中点，
∴1，
∵MN∥AB，
∴△DMF∽△DAG，
∴，
即DM＝2MF，
设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，
∴BN＝AM＝2﹣2x，
根据折叠的性质得，AE＝EF，AB＝BF＝2，
在Rt△BNF中，
根据勾股定理得，BF2＝BN2+NF2，
∴22＝（2﹣2x）2+（2﹣x）2，
整理得，5x2﹣12x+4＝0，
解得：或2（舍去），
∴，，
设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，
在Rt△EMF中，
由勾股定理得，EF2＝EM2+MF2，
∴，
∴y，
∴AE．
故答案为：．
【点评】本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，正确作出辅助线，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC，则点C的坐标为 （，0） ．
【分析】设C（a，0），结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC，通过解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．
【解答】解：设C（a，0），
∴OC＝a，
∵点A（1，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC，
在Rt△OAB中，tan∠OBA，tan∠ABC，
∴∠OBA＝∠ABC，
过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为 ．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BM的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴，
解得b，
即CN，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴，
∴，
解得BM，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 5 ．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得 AB，根据旋转的性质可证△ABB'、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADBBCDF×AB，ADDF，证明△AFD∽△ACB，可得 ，即AF＝3DF，再由 ，求得 ，从而求得 ，，即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90° 得到△AB'C'，，∠BAB'＝90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'＝45°
∵DF⊥AB，∠DFB＝90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
S△DBABC×ADDF×AB，即 ，
∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
即AF＝3DF，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴5，
故答案为：5．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，则 练掌握相关知识是解题的关键．
14．如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ 2 ，MH＝ ．
【分析】先求出AE＝5，证△DAE和△ABF全等得DE＝AF，AE＝BF＝5，再证△AFH∽△ADE，利用相似三角形的性质可得AH的长；过点M作MN⊥AE于点N，先求出AE＝BE＝5，EH＝3，BH＝4，证△MEC∽△MBA得ME：MB＝CE：AB＝1：2，进而得ME：EB＝1：3，再证△MNE∽△BHE，利用相似三角形的性质得MN，EN＝1，进而得HN＝2，最后在Rt△MHN中，由勾股定理可求出MH．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE中，AD，DE，
由勾股定理得：，
∵∠BAD＝90°，BF⊥AE，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE＝AF，AE＝BF＝5，
∵BF⊥AE，∠D＝90°，
∴∠AHF＝∠D＝90°，
又∠HAF＝∠DAE，
∴△AFH∽△ADE，
∴AH：AD＝AF：AE，
即：AH：：5，
∴AH＝2．
过点M作MN⊥AE于点N，如图：
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE＝5，
∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3，
在Rt△AHB中，AB，AH＝2，
由勾股定理得：，
∵AB∥CD，
∴△MEC∽△MBA，
∴ME：MB＝CE：AB，
即：ME：MB：2，
∴ME：MB＝1：2，
∴ME：EB＝1：3，
∵BF⊥AE，MN⊥AE，
∴MN∥BH，
∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB
∴MN：4＝EN：3＝1：3，
∴MN，EN＝1，
∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2，
在Rt△MHN中，MN，HN＝2，
由勾股定理得：．
故答案为：2，．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解答此题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是 ．
【分析】由正方形的性质得AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，则∠CBE＝90°，由翻折得CG＝CE，则DGBE＝2，所以AG＝2，AE＝6，则EG2，因为CF垂直平分EG，所以GF＝EF，由勾股定理得22+（6﹣EF）2＝EF2，求得EF，即可根据2FH2＝S△EFG，求得FH，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝90°，
由翻折得CG＝CE，
∴DGBE＝2，
∴AG＝AD﹣DG＝4﹣2＝2，AE＝AB+BE＝4+2＝6，
∴EG2，
∵点G与点E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∵AG2+AF2＝GF2，且AF＝6﹣EF，
∴22+（6﹣EF）2＝EF2，
解得EF，
∵EG FHEF AG＝S△EFG，
∴2FH2，
解得FH，
故答案为：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得DG＝2是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE，∠EAF＝45°，则AF的长为 ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NFx，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，
∴NFx，AN＝4﹣x，
∵AB＝2，
∴AM＝BM＝1，
∵AE，AB＝2，
∴BE＝1，
∴ME，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAE+∠NAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MEA＝∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x，
经检验，x是分式方程的解，
∴AF．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
17．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB，tan∠BOC，则点A′的坐标为 （，） ．
【分析】过点A′作A′D⊥x轴于点D，根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、OD的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠AOC＝∠OAB＝∠OCB＝90°，OA＝BC，
∵OB，tan∠BOC，
∴OA＝BC＝1，OC＝AB＝2，
由折叠的性质得：A′O＝AO＝1，△ABO≌△EBO，
设A′D＝x，OD＝y；
由勾股定理得：x2+y2＝1①，
由面积公式得：xy+22×1（x+2）（y+1）②；
联立①②并解得：x，y，
则点A′的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】此题考查翻折变换，坐标与图形的性质；解决问题的关键是综合利用矩形的性质，勾股定理等几何知识点．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是 ．
【分析】延长AF，EF分别交CD于H，M，连接AM，根据折叠的性质得到AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝FM，设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，根据勾股定理得到DM＝FM＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：延长AF，EF分别交CD于H，M，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∵将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴∠ADM＝∠AFM＝90°，AF＝AD，
∵AM＝AM，
∴Rt△ADM≌Rt△AFM（HL），
∴DM＝FM，
∵E为BC的中点，BC＝CD＝6，
∴CE＝3，
设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，
∵EM2＝CM2+CE2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴DM＝FM＝2，
∵∠MFH＝∠ECM＝90°，∠HMF＝∠CME，
∴△MFH∽△MCE，
∴，
∴，
∴MH＝2.5，FH＝1.5，
∴AH＝6+1.5＝7.5，DH＝4.5，
∵AB∥DH，
∴△AGB∽△HGD，
∴，
∴，
∴AG，
∴GF＝AF﹣AG，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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