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直线和圆的方程测试卷——圆的方程
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：因为：，则，
若曲线C表示圆，则，解得或，
所以 实数的取值范围为 .
故答案为：B.
【分析】将方程化为标准式，结合方程列式求解即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】由，得，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故答案为：A
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，根据d-r即为所求的最大距离，求出d-r即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由是以为圆心， 3为半径的圆.，
转换为，
即该圆是以为圆心，4为半径的圆.
所以圆心距，
所以
所以两圆相交，故公切线的条数为2，
故选：A.
【分析】把圆的一般式转换为标准式，求得圆的圆心坐标和半径，得出圆心距，结合圆心距与半径的关系，得出两圆的位置关系，进而得出两圆的公切线的条数，得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，因为，
所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】先求圆心和半径，再利用垂径定理结合勾股定理列方程计算即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：已知圆，圆，
两式相减可得相交弦所在直线方程：.
把圆化成标准方程可得，
即圆心、半径.
所以圆心到直线的距离，
所以相交弦长为.
故答案为：C
【分析】先把两圆方程作差求出两圆公共弦所在直线方程，再求圆的圆心坐标和半径，再利用弦长公式即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在中，，
则当最小时，最小，因为，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，连接，在中，，当最小时，最小，利用点到直线的距离公式求解即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，知圆，所以圆心，
因为圆 关于直线 对称，所以点 在直线 上， 即 ， 解得 ，
所以， 圆 的方程为 ①，
所以 ， 线段 的中点坐标为 ，
故以为直径的圆的方程为②，
因为 和是， 圆 的切线，
所以 两点也在以为直径的圆上，
②-①得， 弦所在的直线方程为，
所以圆心 到直线的距离，
所以.
故答案为：D.
【分析】将圆心 的坐标代入直线的方程， 求得 ， 再写出以 为直径的圆的方程， 将其与圆 的方程相减，可得弦所在直线的方程， 然后根据弦长的计算方法， 求解即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：在平面中，以B为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，设圆的圆心为，半径为，因为交于M，由阿氏圆的性质知，
因为，所以，
所以，所以，所以，
点P在空间中的轨迹为以O为球心，半径为2的球，
若点P在四边形内部时，如图所示，
截面圆与分别交于点，所以P在四边形内的轨迹为，
因为，在直角，所以，
所以，当P在平面内部的轨迹长为，
同理，当P在面内部的轨迹长为，
当P在面时，如图所示，
由面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，
截面圆与，且，
所以P在正方形内的轨迹为，所以，
综上可得，点P的轨迹长度为.
故答案为：C.
【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以O为球心的球，球与面的交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度，即可求解.
9．【答案】C,D
【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，
，所以在圆内，，
当AB⊥PC时，弦AB最短，
最短弦长，A选项错误，C选项正确.
，所以当最短时，，
此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确.
故答案为：CD
【分析】根据点在圆内，结合AB⊥PC时，弦AB最短，求得最短距离，可判定A错误，C正确；求得，得到最短时，，进而求得直线方程，可得判定B错误，D正确.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
A、B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为，C符合题意；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A：因为直线l：，所以整理直线方程得出，
对于任意，则，解得，可知直线l过定点（1，1），所以A对；
B：将点（1，1）代入圆C的方程，得出，可知点（1，1)在圆C内，
所以，对于λ∈R，直线l与圆C相交，所以B对；
C：因为圆心C到点（1，1）的距离等于，则圆心C到直线l的距离，
当时，则圆C上有2个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有3个点到直线的距离等于1；
当时，则圆C上有4个点到直线的距离等于1，所以C错；
D：因为圆C的圆心为C(0，2)，半径为2，又因为圆心C到直线l的距离为
所以
因为，所以
当且仅当即时等号成立，
所以则所以所以，
所以的最大值为4，所以D对。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合变形的方法，从而解方程组得出直线恒过的定点坐标；利用定点与圆位置关系得出定点在圆内，所以判断出过定点的直线与圆的位置关系；利用两点距离公式和点到直线的距离公式以及分类讨论的方法得出满足要求的点的个数；根据点到直线的距离个数和弦长公式以及均值不等式求最值的方法，从而由不等式的性质得出的最大值。
12．【答案】9
【解析】【解答】 直线：变形为，
联立求出，则直线过定点，
由于，则点在圆C内，
则当为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，
则最短弦长为，
并且最长的弦为直径，长度为10，
则弦长的取值范围是.
由于弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条，
并且直线被圆C截得弦长为，不是整数，
则截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为：9
【分析】首先利用直线方程得到直线的定点，仅为联立方程，结合公式进而求得弦长最大、最小值，进而得到结果.
13．【答案】（1，-2）；4
【解析】【解答】解：圆，配方可得，
则圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得.
故答案是，4.
【分析】将圆的一般方程进行配方可得，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.
14．【答案】[0，1]
【解析】【解答】由题意得，直线过定点，
画出的图象，如图，
结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时；
当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时，
所以实数的取值范围是[0，1]。
故答案为：[0，1]。
【分析】由题意得，直线过定点，画出的图象，结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，进而得出此时k的值，当直线与圆相交于点时，斜率最大，再结合两点求斜率公式得出此时的k的值，从而得出实数的取值范围。
15．【答案】（1）解：圆方程化为标准方程可得，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交；
（2）解：当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
【解析】【分析】（1）先将圆的一般式化为标准方程，求得两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，即可得两圆的位置关系；
（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.
（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交.
（2）当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
16．【答案】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
【解析】【分析】（1）根据题意，求得的垂直平分线方程为，联立方程组，求得圆心为，进而求得圆的方程；
（2）设关于的对称点为，联立方程组，求得，再由反射光线过圆心，求得，进而求得圆的方程.
17．【答案】（1）解：设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）解：设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；
（3）解：已知如图所示：
因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数即可得圆的方程；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程即可；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，再利用对称关系将转化为，结合三点共线求最小值即可.
（1）设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
（3）因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
18．【答案】（1）解：设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）解：①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，将M点坐标用A点坐标表示，代入M点满足的轨迹方程即可.
(2) ① 设直线l方程和E、F坐标，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，将
代入化简得m=k，进而得直线方程，与k无关，直线过定点（-1，0）.
②假设存在，为定值，且为直角三角形，为斜边，可得点是的中点时，为定值．利用中点坐标公式即可求得Q的坐标，说明假设成立，从而得证.
19．【答案】（1）解：由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
因为圆C过，，所以 ，解得，，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
【解析】【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可得圆的标准方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求直线方程即可；
（3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，利用基本不等式求最大值即可.
（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线．
综上所述，直线的方程为或．
（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又∵，同理，
∴．
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
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直线和圆的方程测试卷——圆的方程
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (42.1%)
2 容易 (26.3%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆的一般方程 10.0(6.7%) 1,13
2 直线与圆的位置关系 31.0(20.7%) 2,6,11,12,13,14
3 关于点、直线对称的圆的方程 30.0(20.0%) 16,17
4 相交弦所在直线的方程 11.0(7.3%) 5,9
5 直线与圆相交的性质 33.0(22.0%) 4,7,9,19
6 平面内点到直线的距离公式 24.0(16.0%) 6,11,15
7 直线和圆的方程的应用 33.0(22.0%) 7,10,12,18
8 圆的切线方程 5.0(3.3%) 7
9 圆方程的综合应用 5.0(3.3%) 8
10 恒过定点的直线 23.0(15.3%) 11,18
11 与直线有关的动点轨迹方程 17.0(11.3%) 18
12 圆的标准方程 62.0(41.3%) 1,5,13,16,17,19
13 两圆的公切线条数及方程的确定 5.0(3.3%) 3
14 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 5.0(3.3%) 8
15 平面内两点间距离公式的应用 6.0(4.0%) 11
16 点与圆的位置关系 22.0(14.7%) 7,19
17 圆与圆的位置关系及其判定 18.0(12.0%) 3,15
18 棱柱的结构特征 5.0(3.3%) 8
19 平面内中点坐标公式 17.0(11.3%) 18
20 扇形的弧长与面积 5.0(3.3%) 8
21 直线的斜截式方程 17.0(11.3%) 18
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直线和圆的方程测试卷——圆的方程
一、选择题(共8题；共40分)
1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．圆与圆的公切条数为（ ）
A．2条 B．1条 C．3条 D．4条
4．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．1
6．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ）
A．弦AB的长度的最小值为
B．当弦AB最短时弦所在的直线方程为
C．弦AB的长度的最小值为
D．当弦AB最短时弦所在的直线方程为
10．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
11．已知直线l：和圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．对于λ∈R，直线l与圆C相交
C．对于λ∈R，圆C上恒有4个点到直线的距离为1
D．若，直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条.
13．已知圆，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 .
14．若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知圆，圆及点.
（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；
（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
16．已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
17．已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
18．已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
19．已知圆C过，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．
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