九年级数学上册沪科版 第21章 《二次函数与反比例函数》章节测试（含答案）

第21章 《二次函数与反比例函数》章节测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若，()是关于的方程()的两个实数根，则实数，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
9.已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（）
A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4
10．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
12．已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ．
13．如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个．
14．如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ．
16．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
18．（6分）抛物线与轴的交点为，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线第一象限上的一点，若，求点的坐标；
19．（8分）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是．
(1)求k的值．
(2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围．
(3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标．
20．（8分）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点，都在该反比例函数图象上；
①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标；
②当，时，求的取值范围．
21．（10分）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
22．（10分）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积；
(3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形．
23．（12分）如图，抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
D．不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键．
已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴点A与点B的坐标关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点A的坐标为．
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．
【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上，
点的距离为，
点的距离为，
点的距离为，
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵，
∴．
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，
∴只有D选项中的函数图象符合题意，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．
【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线．
令，则，解得，
∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式，得到抛物线与轴交点的横坐标为，，再结合图象得抛物线与交点，即交点横坐标为，，从而确定出，，，的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：令抛物线解析式，
当，，
解得：，，
∴抛物线与轴交点的横坐标为，，
∴抛物线与交点，横坐标为，，
∵，，
∴如图，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，
∵，且，
∴当时，，则；
当时，，则，
∴，则，
∴；
当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，
∵，且，
∴当时，，则，
当时，，则，
∴，则；
∴；
综上，，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合．
由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可．
【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得．
代入得抛物线方程得．
联立方程和，得，
解得或．
∴和．
令，代入得，
即．
∵、、．
∴；
∵、、．
∴；
．
故选B．
10．A
【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键．
【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点的横坐标为2，
，，坐标为．
由题图象知，，，
，
，
，
，2，3，，
，
．
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将抛物线化为顶点式有，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得，
故平移后的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键．
根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为，
根据对称性，则另一交点为，
所以，的取值范围是，
故答案为：．
13．4
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由图可得，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，进而求解即可．
【详解】解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，
∴、、、、、，
如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，
，
∴k取3，4，5，6，
∴k的整数值有4个，
故答案为：4．
14．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－.
15．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义．过点作于点，根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，则可得到，由等腰三角形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，即，
∵，，，
，
，
∴，
∴
∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故答案为：．
16．①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知，，，
∴，故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴，故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为
即
化简得，故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
三．解答题
17．（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．
因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，
所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以x－2＝0，解得x＝2．
当x＝2时，y＝－1．
所以该函数图像始终过定点（2，－1）．
18．（1）解：把代入得
，
解得，
∴；
（2）解：在上取一点，使得，连接，过点作轴于点，过点作于点，
当时，，
∴，
∴
∵，轴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
把，代入得，
∴，
解得，
直线为，
联立与得
，
解得或，
∴．
19．（1）解：∵，
∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小，
∴当时，最小值为，
当时，最大值为，
由①，②得：．
（2）∵到y轴的距离大于3，
∴或，
∵，
∴或；
（3）解，得，，
∴．
解，得，
∴，
∴
∴
①当点C在A点的右侧
设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N，
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
②当点C在A点的左侧，
设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N，
∵，
∴，
∴（舍），，
所以点C的横坐标为3或．
20．（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上，
∴，解得，
∴；
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称，
∴，
∵，则，解得，
∴，
将代入得解得，
∴；
②∵，则，
∵，
∴，点在第三象限，
∴，
∴．
21．（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
22．（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为,
点代入得
解得，
∴,
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴，
令得，
∴，
∴,
∴．
（3）证明：∵轴，
∴，
∵,
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
23．解：（1）据题意可设抛物线的解析式为，
将点代入，可得
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线AC的解析式为：，
将、代入得，
解得，
∴直线的解析式：，
当时，点在直线上方，
过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，
将分别代入和得，，
∴
∵，
∴当且仅当时，取得最大值，
此时最大，
∴；
（3）由、、得，
∵，，
∴，
连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，
则，
，
∵，
∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
又∵，
∴点D的坐标为（-2，3）．
24．（1）解：设线段的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段的函数表达式为．
设曲线的函数表达式为，将代入，得，
∴曲线的函数表达式为．
（2）把代入，得，
把代入，得．
∵，
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当，解得，
当，解得，
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是，
∴安排在第5分钟至第25分钟．