九年级数学上册沪科版 第二十一章《二次函数与反比例函数》章节测试卷（含答案）

第二十一章《二次函数与反比例函数》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
2．已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．反比例函数的图象上有三点，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
7．某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（ ）
A．第时，声敏电阻的阻值为
B．第时开始产生水柱
C．在第至时喷出的水柱最高
D．喷出水柱的时长超过
8．如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
9．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点，，是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ．
12．如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ．
13．已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
14．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．

15．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为
16．二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）在直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，为常数，）的图象交于点，．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)若点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围．
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式．
19．（8分）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
21．（10分）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”．
(1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，．
①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　；
②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标；
(2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值．
22．（10分）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
23．（12分）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的面积为，求反比例函数的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标．
24．（12分）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式．
参考答案
一．选择题
1.A
【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，且，
解得或（舍去），
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可得抛物线的对称轴是直线，又抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大，又对于范围内的任意自变量x，都有，从而，再结合，进而可以得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线．
又抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
又∵对于范围内的任意自变量x，都有，
∴，
∴，
又，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键．分别对各选项中二次函数的开口方向、对称轴及一次函数所经过的象限进行分析，即可判断答案．
【详解】A、二次函数的图象开口向上，，则一次函数的图象经过一、三、四象限，故选项A错误；
对于B，C，D，由一次函数的图象可得，则二次函数的图象应开口向上，对称轴是，应在y轴右侧，故B选项正确，C，D选项错误．
故选B．
4．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握反比例函数的图象特征是关键．
【详解】解：分别将点，，代入解析式得：
，，，
，，
若，则，
，
，
A，D均错误；
若，则，
，
，
B正确，C错误．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设的长度为，则，，，，求出，，即可得到答案．
【详解】解：设平行于轴的直线与轴交于点．
设的长度为，则，，，．
由中点公式可得，．
．
故选：D．
6.B
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可．
【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，，
∴，，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
过作于，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点，正确理解题意并确定函数解析式是解题的关键．由图1可得，在时，函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；由图2可得，其图象为函数的一部分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：如图1，
在时，设函数的解析式为，过点，
∴，解得：，
在时，函数的解析式为；
在时，设函数的解析式为；
在时，设函数的解析式为，过点，，
∴，解得：，
∴在时，设函数的解析式为；
如图2，设该图象的函数解析式为，过点，
∴，解得：，
∴设该图象的函数解析式为，
A．∵第时，，
∴将代入，
解得： ，故此选项正确；
B．将代入，解得，
∴，
∴，开始产生水柱，故此选项正确；
C．由图1可知，在时，最大，
∴由函数关系可知，此时最小，
由函数关系可知，此时最大，
∴喷出的水柱最高．故此选项正确；
D．当时，，
此时，
将代入，
得：，解得：，
将代入，
得：，解得：，
∴喷出水柱的时长为，故此选项错误．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答．
【详解】解：将代入抛物线，
得或，即，
故抛物线向右每次平移距离为4，
设，，，，，的横坐标分别为，，，，，，
，同时在抛物线和直线上，
即，的横坐标为的根，
，
，
，
直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和．
故选C．
9．C
【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数．
【详解】解： ，
，
多边形是正六边形，
，其内角和为，
，
连接，作于，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
，
．
当过点时，；
当过点时，；
，
则可取5，6，7，8，共4个整数值，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系．由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知与0的关系，可判断①；根据对称轴推理a、b关系，可判断②；根据当时，抛物线有最大值，即得出对于任意实数m均有，可判断③；根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小，可判断④．
【详解】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知，正确；
②抛物线的对称轴为直线，即，
∴，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线，
∴时，有最大值，对于任意实数m均有，即，正确；
④∵在抛物线上的对称点为，
∵，
∴，错误；
故选：A．
二．填空题
11． 向上
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，、时的函数值都是相等，
此函数图象的对称轴为直线，即直线．
又当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是直线，
当时与当时的函数值相等．
当时，，
当时，．
故答案为：向上，．
12．
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点，
∴，即为的中点，
∴，
设，，
由中点坐标公式可得，，
代入反比例函数解析式可得：，
∴，
如图，作轴于，
则，，
∴，
∴面积为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【详解】（）由题意可知，
解得，
故答案为：；
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
14．14
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答．
令，求出的值，然后结合实际情况得出结论．
【详解】解：令，则，
解得或，
∴，
∵相邻支撑杆之间的距离为，，，
∴在轴右侧，共7条，
同理在轴左侧最多安装7条，
∴最多可安装支撑杆14条，
故答案为：14．
15．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．设则，分别表示出，的解析式，令可计算出和的长，相减即可得到结论．
【详解】解：设则，
设直线的解析式为：，代入，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
设直线的解析式为：，代入，
则，
解得：，
∴直线的解析式为： ，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
16．或5
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．
∴，
当时，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
当时，，，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
故答案为：或5
三．解答题
17．（1）解：将点A坐标代入反比例函数表达式得：，
所以反比例函数的表达式为．
将点B坐标代入反比例函数表达式得：，
所以点B的坐标为．
将A，B两点坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
所以一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或；
（3）解：∵点和点在函数的图象上，
∴，，
由得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴P的取值范围为．
18．（1）解：由题意，将点代入抛物线中，
，
，
∴抛物线的表达式为，
∴令，则，
∴；
（2）由题意，∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线的顶点落在轴上，
∴抛物线向下平移了4个单位，
∴可设平移后抛物线的表达式为，
，
∴点，的纵坐标均为，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
，
又∵，
，
∴或，
∴平移后抛物线的表达式为或．
19．（1）解：设线段的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段的函数表达式为．
设曲线的函数表达式为，将代入，得，
∴曲线的函数表达式为．
（2）把代入，得，
把代入，得．
∵，
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当，解得，
当，解得，
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是，
∴安排在第5分钟至第25分钟．
20．（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
当时，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴．
（3）解：当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（4）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4，
①当时，
当时，最大值为，
当时，最小值为，
∴，解得（舍）．
②当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴；
③当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴（舍），（舍）
综上所述，n的取值范围为．
21．（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，，
∴点，
当直线过点B，D时，
把，代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为；
当直线过点A，C时，
把点，代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为；
综上所述，该函数解析式为或
故答案为：或
②∵四边形是矩形，
∴，轴，
∵反比例函数是矩形的“对角函数”，
∴点B，D在反比例函数的图象上，
设点，则点，
∵轴，且，
∴点，
∵轴， ，
∴点，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点；
（2）解：点的坐标为，正比例函数经过点，
∴，
∴正比例函数解析式为，
∵正比例函数是矩形的“对角函数”，
可设点，则，，
∴，
∵将矩形沿折叠，点的对应点为，
∴，
如图，延长交y轴于点F，
∵轴，
∴点，，
∴，
∵四边形是矩形，轴，
∴轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或2，
∵，
∴，即，
∴，
∴点，
把点代入得：．
22．解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．
23．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
，
∴
四边形为正方形，
，
在中，当时，，当时，，
∴．
．
在和中．
，
．
（2）解：∵，
∴，
解得或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由（1）（2）得，
设直线解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为
同理可得直线解析式为；直线解析式为；
设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，
∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；
①当与交于与交于，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴
，
解得，
∴．
②当与交于，与交于，
同理可得
，
解得，
∴．
综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或．
24．（1）解：对于，
当时，，
∴，
∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，
∴，又点的横坐标与纵坐标相等，
∴，
∴，
将代入得，
整理得，
∴或，
当时，，，此时和重合，不符合题意；
∴，
∵抛物线经过点，
∴，即，
解得，
∴，，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：的值不变，且，理由如下，
如图，
∵直线与与线段交于点（不与点、重合），
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：设平移后的解析式为，
∵点在上，点在轴上，
∴设，，
∵四边形是菱形，
∴其对角线和相互平分，且，
∵，，
∴的中点为，
的中点为，
∴，，
解得，
将代入，
并整理得，
∴，
由两点之间的距离公式得，
，
∵，
∴，
∴，即，
当时，，
则，
∴，
∴；
当时，
，
则，
∴，
∴；
综上，新抛物线的解析式为或．