2.3???二次函数与一元二次方程、不等式易错知识点 强化练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式易错知识点 强化练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
12．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
14．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
15．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
16．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题
17．设函数.
(1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值；
(2)若，解关于的不等式.
18．已知二次函数．
(1)若的解集为，求ab的值；
(2)解关于x的不等式．
19．已知关于x的二次方程.
（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围；
（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围.
20．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C C A A B D
题号 11 12
答案 D B
1．B
根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可.
因为，所以.
所以，所以或.
所以不等式的解集为.
故选：B.
2．A
根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；
当，由不等式的解集为，
则，，解得，
即的取值范围为．
故选：A．
3．B
当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
4．C
根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解.
由，得到，整理得到，
等价于且，解得，
故选：C.
5．C
将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解.
依题意，令，
则，其图象开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，则，
因为存在，使得成立，
所以，即，
即，解得，
所以的取值范围是，
故选：C.
6．C
考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C
7．A
根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果.
不等式可化为，通分整理得，
解得.
故选：A.
8．A
对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果.
①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在上恒成立，
函数的对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：A.
9．B
分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围.
若，则原不等式可化为，在上恒成立；
若，因为不等式的解集为，
所以.
综上可得：.
故选：B
10．D
根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论.
因为是一元二次不等式，所以．
因为对一切实数都成立，
所以，解得．
故选：D.
11．D
解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误.
已知，化简得或，
解得，
则使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集，
则只有符合题意.
故选：D.
12．B
根据分式不等式的性质，将分式不等式转化为整式不等式组来求解.
，则不等式解集为.
故选：B
13．
问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得.
由时，恒成立，即恒成立，
对于，有，当且仅当时取等号，
又在上单调递减，在上单调递增，且，，
，故的取值范围是.
故答案为：
14．或
依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案．
由关于的不等式的解是，
则和是方程的两个实根，
由根与系数的关系得，整理得，
则当时，关于的不等式转化为，解得；
当时，关于的不等式转化为，解得．
综上关于的不等式的解为或．
故答案为：或．
15．
判断出二次函数开口的方向，根据函数的图象与的交点即可得结果.
二次函数的开口向下，
由于二次函数的图象与轴的两个交点为和，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16．
分和两种情况讨论，结合题可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
当时，可得或.
①当时，可得，合乎题意；
②当时，可得，解得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)；
(2)答案见解析.
（1）由根的性质列方程求参数值即可；
（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.
（1）由已知得，解得.
（2）由已知得，
由整理得：，
的两根为.
当时，，解得；
当时，不等式为，的解集为；
当时，，解得.
综上，
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为
18．(1)3
(2)答案见解析
（1）若的解集为，则1，b是方程的根，
由，解得：，由解得：，
所以；
（2）由二次函数知，
不等式整理得，即，
由得
①当时，不等式等价于：，
若，即时，解集为；
若，即时，解集为：；
若，即时，解集为；
②当时，不等式等价于：，解集为
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19．（1）；（2）.
解：（1）由题设知抛物线与x轴的交点分别在区间和内，画出二次函数的示意图如图所示.得
，故.
（2）如图1-2所示，抛物线与x轴交点落在区间内，对称轴在区间图内通过（千万不能遗漏），可列出不等式组
，
于是有.
20．(1)最多150人
(2)存在，
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
，，
，解得，
∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
（2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得.
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.
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