2.1 等式与不等式易错知识点 强化练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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2.1 等式与不等式易错知识点 强化练
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．在等式两边同除以，可得
B．在等式两边同除以2，可得
C．在等式两边同除以，可得
D．在等式两边同除以，可得
3．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列式子中变形错误的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若且则； D．若， 则
7．若R，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．
三、填空题
13．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
14．已知，且，则的取值范围是 ．
15．比较大小： （用“”或“”符号填空）．
四、解答题
16．（1）设，比较与的大小；
（2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小．
17．已知，求的取值范围．
18．比较下列各组M，N的大小.
(1)；
(2)
19．某种商品计划提价，现有四种方案：
方案（1）先提价，再提价；
方案（2）先提价，再提价；
方案（3）分两次提价，每次提价；
方案（4）一次性提价.
已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B A D B C D C
题号 11 12
答案 ACD BD
1．D
根据不等式的性质即可求解.
由可得，
故，
故选：D
2．D
利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解.
对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误；
对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误；
对于C，若，则不一定相等，故C错误；
对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确.
故选：D.
3．A
根据不等式的性质进行判断即可.
因为，且，
所以，，故CD错误；
因为，，所以即恒成立，故A正确；
取，，则，但此时，故B未必成立.
故选：A
4．B
根据等式的性质，逐项验证即可.
对于选项，两边同时减，得到，故正确；
对于选项，没有说明，故不正确；
对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；
对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；
故选：.
5．A
设，求出和，再根据不等式的性质求解即可.
设，
则，解得，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以的取值范围是.
故选：A.
6．D
利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断.
对于A；由，可知，所以，故A正确；
对于B；由可得：，因为，所以，故B正确；
对于C；由可得：，又因为所以，故C正确；
对于D；取，则故D错误；
故选：D.
7．B
A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立
对于A，当时，不成立，A错误
对于B，，，
， ，，即，B正确
对于C，，，，C错误
对于D，当时，，D错误
故选：B
8．C
通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项.
对于A，当时，不等式不成立，所以A错误．
对于B，当时，满足，但，所以B错误．
对于C，因为，所以，则，所以C正确．
对于D，当时，，不符合，所以D错误．
故选：C.
9．D
利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
设，则，
所以，，解得，即，
，则，
因此，.
故选：D.
10．C
先利用待定系数法将用、加以表示，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
设，其中、，
则，
所以，，解得，
所以，，
因为，，
所以，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是.
故选：C.
11．ACD
可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.
选项A，由，可得，故选项A正确；
选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；
选项C，由，可得，故选项C正确；
选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
12．BD
根据不等式的性质可逐项判断.
对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正，
例如：，故A错误；
对于B，，，则，即，故B正确；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，则，所以，故D正确；
故选：BD.
13．
根据题意列式即可.
由题意得，即.
故答案为：.
14．
先将用和线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得.
设，
则,解得，
即.
又，，
故，，
则，
即的取值范围是．
故答案为：.
15．
∵（+）2=3+5+2 =8+2 ，（+）2=2+6+2 =8+2 ，
又∵＜，+＞0，+＞0，
∴＜+，
故答案为＞．
16．（1）；（2）.
利用作差法比较数的大小可得结论；
（1）
因为，所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，所以，所以，
（2），
因为，所以，，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即.
17．
由即可求解.
因为，
所以，
所以
18．(1)
(2)
（1）利用作差法结合因式分解比大小即可；
（2）利用分子有理化比较即可.
（1）由题意知
，
而，所以，则
（2）易知，且，
又，所以.
19．方案（3）
设单价为，计算四种提价方案后的价格，比较大小后可得出结论.
依题意，设单价为，那么方案（1）提价后的价格是，
方案（2）提价后的价格是，
方案（3）提价后的价格是，
方案（4）提价后的价格是，
所以，提价最少的是方案（4），方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的，
只需比较与的大小即可，
因为，则，
所以，，
所以， ，
因此，方案（3）提价最多.
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