中小学教育资源及组卷应用平台
（北师大2024版）
七年级下册数学《第四章 三角形》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2025 沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2
【分析】根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果．
【解答】解：A、4+2＝6，故6、4、2不能组成三角形，不符合题意；
B、3+2＜6，故6、3、2不能组成三角形，不符合题意；
C、3+2＜7，故7、3、2不能组成三角形，不符合题意；
D、2+5＞5，故5、5、2能组成三角形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握组成三角形的条件是解题的关键．
2．（2024秋 汕头期末）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AED的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【分析】直接运用三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵图中是一副三角尺，
∴∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠AED＝105°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是180°是解题的关键．
3．（2024秋 社旗县期末）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断．
【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴AEAB，AFAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴△AED≌△AFD的依据是SSS．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．
4．（2024秋 长沙期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°．进而判断即可．
【解答】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，
∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．掌握定义是解题的关键．
5．（2024秋 博兴县期末）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DC＝EC＝4cm，AC＝6cm，则BD的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据“ASA”证明△ACD≌△BCE得BC＝AC，从而可求出BD．
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴BC＝AC＝6cm，
∵DC＝EC＝4cm，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣4＝2（cm），
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
6．（2024秋 广州期末）在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
【分析】根据三角形的中线的定义得到AD＝CF，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CF，
∵△ABD的周长为41，AB＝18，
∴18+AD+BD＝41，
∴AD+BD＝23，
∴CD+BD＝23，
∵BC＝16，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝16+23＝39，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．（2024秋 东台市期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝AE D．BC＝ED
【分析】先根据∠1＝∠2得∠CAB＝∠DAE，当添加选项A中的条件时，则可以依据“ASA”判定△ABC≌△AED，由此可对该选项进行判断；当添加选项B中的条件时，则可以依据“AAS”判定△ABC≌△AED，由此可对该选项进行判断；当添加选项C中的条件时，则可以依据“SAS”判定△ABC≌△AED，由此可对该选项进行判断；当添加选项D中的条件时，则不能判定△ABC≌△AED，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
对于选项A，∠C＝∠D，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
故选项A不符合题意；
对于选项B，∠B＝∠E，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故选项B不符合题意；
对于选项C，AB＝AE，则能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故选项C不符合题意；
对于选项D，BC＝ED，则不能判定△ABC≌△AED，理由如下：
在△ABC和△AED中，
BC＝ED，AC＝AD，∠CAB＝∠DAE，不符合全等三角形的判定，
∴添加选项D中的条件，不能判定△ABC≌△AED，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
8．（2025 郑州模拟）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据三角形内角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根据三角形的内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可．
【解答】解：在△ABC和△CGF中，
∵∠ACB＝∠GCF，
∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；
在△ABC和△ANM中，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；
在△ABC和△BDE中，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，
∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N
＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）
＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）
＝2×180°
＝360°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，解答此题的关键是要明确：三角形内角和是180°．
9．（2024秋 宜兴市期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，若DC＝1，则DE的长是（ ）
A． B．1 C．1 D．
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD．
∴DE＝EC﹣CD1
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
10．（2024秋 仁寿县期末）如图，在△ABC中，高AD与角平分线CF交于点G，作∠CAD的平分线分别交BC，CF于点E，M，连接BM交AD于H，若BM⊥AE．下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMC＝135° B．△AMH≌△BME C．BC＝BH+2MH D．AH+CE＝AC
【分析】延长BM交AC于N，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理得∠2+∠3＝45°，从而可得∠AMC的度数，由此可对选项A进行判断；先求出∠AMC＝∠BMC＝135°，进而可判定△AMC和△BMC全等，则AM＝BM，AC＝BC，再证明∠5＝∠2＝∠1，从而可依据“ASA”判定△AMH和△BME全等，由此可对选项B进行判断；先证明△AMH和△AMN全等得MH＝MN，则BH+2MH＝BM，但是根据已知条件无法判定BN＝BC，由此可对选项C进行判断；根据△AMH和△BME全等得AH＝BE，则AH+CE＝BC，再根据AC＝BC即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：延长BM交AC于N，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∵AE平分∠CAD，CF平分∠ACB，
∴∠1＝∠2∠DAC，∠3＝∠4∠DCA，
∴∠2+∠3（∠DAC+∠DCA）＝1/2×90°＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣（∠1+∠3）＝135°，
故选项A正确，不符合题意；
∵∠AMF＝∠2+∠3＝45°，BM⊥AE，
∴∠BMF＝90°﹣∠AMF＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣∠BMF＝135°，
∴∠AMC＝∠BMC＝135°，
在△AMC和△BMC中，
，
∴△AMC≌△BMC（SAS），
∴AM＝BM，AC＝BC，
∵∠BMF＝∠5+∠4＝45°，∠AMF＝∠2+∠3＝45°，∠3＝∠4，
∵∠5＝∠2＝∠1，
∵BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠BME＝90°，
在△AMH和△BME中，
，
∴△AMH≌△BME（ASA），
故选项B正确，不符合题意；
∵BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠AMN＝90°，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（ASA），
∴MH＝MN，
∴HN＝2MH，
∴BH+2MH＝BH+HN＝BM，
根据已知条件无法判定BN＝BC，
故选项C不正确，符合题意；
∵△AMH≌△BME，
∴AH＝BE，
∴AH+CE＝BE+CE＝BC，
又∵AC＝BC，
∴AH+CE＝AC，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，c为偶数，则c＝ ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c为偶数求出c的值．
【解答】解：∵|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣8＝0，
解得a＝1，b＝8，
根据三角形的三边关系，得8﹣1＜c＜8+1，即：7＜c＜9，
又∵c为偶数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
12．（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，已知AC＝5，BC＝2，则AD的长为 ．
【分析】首先根据三角形全等的性质，得出BD＝AC＝5，进而得出CD＝3，根据线段的和差即可得到AD，解答即可．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴BD＝AC＝5，
∴BD﹣BC＝AC﹣BC＝5﹣2＝3，
即CD＝3，
∴AD＝AC+CD＝5+3＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差关系，掌握全等三角形的性质是解
13．（2024秋 凉州区期末）如图，△ABC中，BE为AC边上的高，CD平分∠ACB，CD、BE相交于点F．若∠A＝70°，∠ABC＝60°，则∠BFC＝ ．
【分析】根据三角形的内角和定理可求解∠ACB的度数，利用高线及角平分线的定义可得∠CBF，∠FCB的度数，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠A＝70°，
∴∠ACB＝50°，
∵BE为AC边上的高，
∴∠CBF＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCB∠ACB＝25°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠FCB）＝180°﹣（40°+25°）＝115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活利用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键．
14．（2024 鞍山开学）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.8m，点A到地面的距离AE＝1.8m，当他从A处摆动到A′处时，若A′B⊥AB，A′到BD的距离是 ．
【分析】过点A′作A′F⊥BD于点F，证明△A′BF≌△BAC，然后根据FA′＝BC＝BD﹣CD求解即可．
【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F，
由题意可得：
∴∠DBA′+∠FBA＝∠FBA+∠CAB＝90°，
∴∠DBA′＝∠CAB，
在△A′BF和△BAC中，
，
∴△A′BF≌△BAC（AAS），
∴FA′＝BC，
∵∠ACD＝∠CDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴CD＝AE＝1.8m，
∴FA′＝BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2m．
故答案为：1.2m．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握三角形全等的判定和性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
15．（2025春 青浦区校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
【分析】由△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2AC或AC＝2BC或AC＝2AB或BC＝2AB，分别求出AB，根据三角形的三边关系即可得答案．
【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3，
等腰△ABC是“倍长三角形”，
①当AB＝2AC，即x＝4，
∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意，
②当AC＝2BC，即x＝6，
∴△ABC三边分别是2，3，6，
∵2+3＜6，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
③当AC＝2AB＝2，即x＝1，
∴1+2＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5，
∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意，
综上所述，第三条边的长为是4或1.5，
故答案为：1.5或4．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系和分类讨论思想方法的应用．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则 BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣2t，
解得 t＝1，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点 Q 的运动速度为 2÷1＝2 （厘米/秒），
（2）当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴点Q的运动速度为6÷2＝3 （厘米/秒），
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024秋 桑植县期末）已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB＝BC．求证：△ABF≌△CBD．
【分析】由条件可求得∠A＝∠C，利用ASA可证明△ABF≌△CBD．
【解答】证明：
∵CB⊥AD，
∴∠ABC＝∠CBD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵AE⊥DC，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中
∴△ABF≌△CBD（ASA）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
18．（2024秋 东宝区校级期中）计算：
（1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长；
（2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数．
【分析】（1）根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出c的范围，再根据c为小于6的偶数可得c的值，再根据三角形周长计算公式求解即可；
（2）根据三角形内角和为180度进行求解即可．
【解答】解：（1）∵三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，
∴b﹣a＜c＜a+b，
∴6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10，
又∵c的长为小于6的偶数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长为a+b+c＝4+6+4＝14，即△ABC的周长为14．
（2）∵三角形三个内角的度数比为2：3：4，
∴这三个内角的度数分别为，，，
∴这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°．
答：这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
19．（8分）（2024秋 藁城区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，∠D＝40°，求∠AFB的度数．
【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△ADE，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠1＝∠D＝40°，再由（1）可知，∠B＝∠D＝40°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠D＝40°，
由（1）可知，∠B＝∠D＝40°，
∴∠AFB＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）（2024秋 深圳期末）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BCD＝∠EDC＝40°，∠ACB＝∠AED＝80°，进而得出∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝80°﹣40°＝40°，即可求证；
（2）先求出∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣80°﹣52°＝48°，再得出，则∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝116°．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC＝40°，
∴∠ACB＝∠AED＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝80°﹣40°＝40°．
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（2）解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣80°﹣52°＝48°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC∠ABC48°＝24°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣24°﹣40°＝116°，
所以∠BFC的度数为116°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，关键是平行线性质的熟练掌握．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，点E为CD延长线上一点，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）若CD＝DE，求证：AD＝DF；
（2）若∠ABC＝∠ECF＝24°，求∠CFE的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△FDE，可得CD＝DF；
（2）由三角形内角和定理可得∠A＝∠ACB＝78°，由角平分线定义和平行线的性质求得∠EFD＝78°，∠E＝39°，根据三角形内角和定理可求∠AFE的度数．
【解答】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠A＝∠EFD，∠ACD＝∠E，
在△ADC和△FDE中，
，
∴△ADC≌△FDE（AAS），
∴AD＝DF；
（2）解：∵∠A＝∠ACB，∠ABC＝∠ECF＝24°，
∴∠A＝∠ACB78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝39°，
∵EF∥AC，
∴∠ACD＝∠E＝39°，
∵∠ECF＝24°，
∴∠CFE＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣24°﹣39°＝117°．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
22．（9分）（2024秋 涡阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
【分析】（1）由∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，得∠AFC＝∠BEA，再推导出∠ACF＝∠BAE，而AC＝BA，即可根据“AAS”证明△ACF≌△BAE，则AF＝BE；
（2）由△ACF≌△BAE，得S△ACF＝S△BAE，由CD＝2BD，求得S△ABD＝6，S△ACD＝12，则S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝4.6，求得S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝7.4．
【解答】（1）证明：∵∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，
∴∠AFC＝∠BEA，
∵∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAC＝∠CAF+∠BAE，且∠2＝∠BAC，
∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAE，
∴∠ACF＝∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△ACF≌△BAE，
∴S△ACF＝S△BAE，
∵CD＝2BD，
∴S△ACD＝2S△ABD，
∴S△ABD+2S△ABD＝S△ABC＝18，
∴S△ABD＝6，S△ACD＝12，
∵S△BDE＝1.4，
∴S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝6﹣1.4＝4.6，
∴S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝12﹣4.6＝7.4，
∴△CFD的面积为7.4．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△ACF≌△BAE是解题的关键．
23．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 ；
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A＝∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′＝2∠A；
研究（2）：图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
研究（3）：图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，
∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
故答案为：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA′E，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明．
24．（12分）（2024秋 蒙城县期末）如图1，在Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点．∠EAD＝90°，且AE＝AD，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°．
①判断AF与DC的位置关系，并说明理由；
②当F是线段CE中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系： ．
【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形内角和定理可证BD⊥CE；
（2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠FDC＝45°，从而证出平行；
（3）连接DE．由∠EAD＝90°，且AE＝AD，推出∠AED＝∠ADE＝45°，由（1）BD⊥CE，F是线段CE中点，推出∠EDF＝∠CDF＝45°，从而得出∠ADB＝90°，即可证明AD⊥BD．
【解答】证明（1）如图1，设AC与BF交于O点，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
又∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）AF∥CD，
理由如下：
如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE，
∴AG＝AH，
又∵AG⊥BF，AH⊥CE，
∴AF平分∠BFE，
又∵∠BFE＝90°，
∴∠AFD＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴AF∥CD．
（3）连接DE．
∵∠EAD＝90°，且AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∵∠BDC＝135°，
∴∠CDF＝45°，
由（1）BD⊥CE，
∵F是线段CE中点，
∴∠EDF＝∠CDF＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
（北师大2024版）
七年级下册数学《第四章 三角形》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2025 沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2
2．（2024秋 汕头期末）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AED的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
3．（2024秋 社旗县期末）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
4．（2024秋 长沙期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ）
A．BC＝2CD B．∠BAE∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
5．（2024秋 博兴县期末）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DC＝EC＝4cm，AC＝6cm，则BD的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．（2024秋 广州期末）在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
7．（2024秋 东台市期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件，不能肯定△ABC≌△AED的是（ ）
A．∠C＝∠D B．∠B＝∠E C．AB＝AE D．BC＝ED
8．（2025 郑州模拟）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
9．（2024秋 宜兴市期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，若DC＝1，则DE的长是（ ）
A． B．1 C．1 D．
10．（2024秋 仁寿县期末）如图，在△ABC中，高AD与角平分线CF交于点G，作∠CAD的平分线分别交BC，CF于点E，M，连接BM交AD于H，若BM⊥AE．下列结论中错误的是（ ）
A．∠AMC＝135° B．△AMH≌△BME C．BC＝BH+2MH D．AH+CE＝AC
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，c为偶数，则c＝ ．
12．（2024秋 乌鲁木齐期末）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，△ACE≌△DBF，已知AC＝5，BC＝2，则AD的长为 ．
13．（2024秋 凉州区期末）如图，△ABC中，BE为AC边上的高，CD平分∠ACB，CD、BE相交于点F．若∠A＝70°，∠ABC＝60°，则∠BFC＝ ．
14．（2024 鞍山开学）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.8m，点A到地面的距离AE＝1.8m，当他从A处摆动到A′处时，若A′B⊥AB，A′到BD的距离是 ．
15．（2025春 青浦区校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024秋 桑植县期末）已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB＝BC．求证：△ABF≌△CBD．
18．（2024秋 东宝区校级期中）计算：
（1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长；
（2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数．
19．（8分）（2024秋 藁城区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB∥DE，∠D＝40°，求∠AFB的度数．
20．（8分）（2024秋 深圳期末）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，点E为CD延长线上一点，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）若CD＝DE，求证：AD＝DF；
（2）若∠ABC＝∠ECF＝24°，求∠CFE的度数．
22．（9分）（2024秋 涡阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
23．（10分）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是 ；
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．
24．（12分）（2024秋 蒙城县期末）如图1，在Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点．∠EAD＝90°，且AE＝AD，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°．
①判断AF与DC的位置关系，并说明理由；
②当F是线段CE中点时，直接写出线段AD与线段BD的关系： ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
