第二章 一元二次函数、方程和不等式 微专题--利用基本不等式求最值常见方法 强化练 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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一元二次函数、方程和不等式 微专题--利用基本不等式求最值常见方法 强化练 2025--2026学年上学期高中数学
必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．设，，且，求的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若，则的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．64
3．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
4．若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
7．实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设，，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．若实数、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
11．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
12．若满足，则的最大值是 .
13．已知正实数x，y满足，则的最大值是 .
14．已知正实数满足，则的最小值为 .
15．已知，，，则的最大值为 ．
16．已知正数满足，则的最小值为 .
17．已知，，若，则的最小值为 .
三、解答题
18．已知x，y都是正数．
(1)若，求的最大值；
(2)若，且，求的最小值．
19．若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B B C A C C
题号 11
答案 A
1．A
由基本不等式即可求出最小值.
因为，，且，
所以，，
，当且仅当，即时取等号，
故选：A.
2．B
利用基本不等式计算可得.
解：因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号；
故选：B
3．D
根据均值不等式得到，计算得到答案.
因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.
故选：D
4．C
根据基本不等式凑乘积为定值即可得函数最小值.
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：C.
5．B
将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：B.
6．B
由基本不等式，且为正实数可得，代入即可得解.
由为正实数，所以：
，
当且仅当，即时取等号，
故选：B
7．C
运用代入法将代数式 转换为只含有x的一元代数式，运用基本不等式求解.
，所以，当且仅当取等号；
故选：C.
8．A
利用消元法，整理函数，根据基本不等式，可得答案.
由，则，即，
由，则，即，
故，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A.
9．C
令，，则，，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
令，，则，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
故选：C.
10．C
设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
11．A
将视为一个整体，利用基本不等式构造关于的一个二次不等式，解出的范围.
，
化简得：，解得，当且仅当，即
时取等号，故的最大值为.
故选：A.
12．2
利用均值不等式求解即可.
由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，所以，故的最大值是.
故答案为：
13．/
由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案.
由可得：，
则.
当且仅当，即时取等.
故答案为：.
14．/
由，得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
因为正实数满足，
所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
15．/
将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
由已知，，，
则，
而，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故答案为： .
16．
换元后可得，再由及“1”的技巧化简，利用均值不等式求解.
令，则，
即，
，
当且仅当，即时，解得时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
17．3
先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
18．(1)
(2)
(1)直接利用基本不等式即可求得最值；
(2)利用，展开后直接利用基本不等式求出结果.
（1）因为x，y都是正数，则，即，
解得：，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
（2）由x，y都是正数，且，由可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19．(1)
(2)证明见解析
（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
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