第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合试题 2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）

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一元二次函数、方程和不等式 章末综合试题
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．已知，则对于下列不等式，正确命题的个数为（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
4．已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．1
5．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
7．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
10．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．且 B．
C． D．不等式的解集是
11．下列选项正确的有（ ）
A．若x>0，则x+有最小值1
B．若x∈R，则有最大值1
C．若x>y，则x3+2xy2>y3+2x2y
D．若x12．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若，，则实数的取值范围为 .
14．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在5015．已知关于的不等式的解集为，集合．若，则实数的取值范围为 ．
16．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是 ．(填上所有真命题的序号)
四、解答题
17．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
18．集合A＝{x|}，B＝{x|}；
（1）用区间表示集合A；
（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；
（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围.
19．已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
20．定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”．
(1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由；
(2)若是的“子函数”，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B C C A A BD ABD
题号 11 12
答案 BCD ABCD
1．A
根据不等式的性质以及举反例即可求解.
对（1），若，
则，（1）错误；
对（2），若，
则，（2）错误；
对（3），因为，所以，
且，所以，（3）正确；
对（4），若，
则，（4）错误；
故选：A.
2．C
求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可.
因为，为真命题，则或，解得，
对于A， ，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C， ，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D， ，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
3．C
根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
4．B
先分析的正负情况，得到的取值情况；再结合题设不等式可得到正负时的取值情况，从而得到，由此得到的关系式，从而利用基本不等式即可求得的最小值.
设，
因为，所以当时，，当时，，
由可知，
当时，，即当时，，
当时，，即当时，，
所以对于，必有，即，得，
所以当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
5．C
设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.
设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
6．C
化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
7．A
设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
8．A
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．BD
对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以,当且仅当时，等号成立，可得，
时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
10．ABD
根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.
因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，
又因为，所以；
A．，故正确；
B．因为，所以，故正确；
C．因为解集为，所以，故错误；
D．因为即为，即，解得，故正确；
故选：ABD.
11．BCD
根据基本不等式可判断A、D的正误，根据不等式的性质可判断B、C的正误，从而可得正确的选项.
对于A，，因为，故，故等号不能成立，
故A错误.
对于B，当时，，当时，，
当且仅当时等号成立，故的最大值为1，故B正确.
对于C，,
因为，故，
而，因为，故不同时为零，
故，故，
所以即，故C正确.
对于D，，因为，故即，
所以.
故选：BCD.
本题考查基本不等式在求最值中的应用以及不等式性质的应用，前者注意“一正、二定、三相等”的要求，在考虑不等式是否成立时，可以作差法或作商法来比较大小，本题属于中档题.
12．ABCD
首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集.
对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为 ，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为 ；
若，不等式的解集为 ，
若，不等式的解集为，
综上，都成立，
故选：
本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于中档题型，本题的关键是讨论的取值范围时，要讨论全面.
13．
利用基本不等式的最小值，由此可得出实数的取值范围.
，，则，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.
14．60
根据已知写出利润函数，换元后由基本不等式得最大值．
解析设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝＝≤＝2500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．
故答案为：60．
15．
先通过与的大小确定一元二次不等式的解集，然后根据子集关系列出满足的不等式，从而求解出的范围，注意分类讨论.
关于的不等式的解集为.
①当时,或,
∵,∴
联立，解得.
②当时,或,
满足，由，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为.
本题考查含参一元二次不等式解法和根据子集关系求解参数范围，难度一般.解答含参数的一元二次不等式的解集时，一定要注意分析是否需要对参数进行分类讨论.
16．①②
根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.
①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取 错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.
17．(1)8小时
(2)1.6
（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
18．（1）；（2）；（3），.
（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A B，对a分类讨论即求得范围
解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3
∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞)
（2）t＞2，
当且仅当t＝5时取等号，故
即为：且a＞0
∴，解得
故B＝{x| }
（3）b＜0，A∩B＝A，有A B，而
可得：
a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A B，舍去
a＞0时，解得：或但不满足A B，舍去
a＜0时，解得或
∵A B
∴，解得
∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0).
【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19．(1)；
(2)答案见解析；
(3).
（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；
（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集
（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
（1）根据题意，当，即时，，不合题意；
当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
即，故时，或.
故 ．
（2），即，
即，
当，即时，解集为；
当，即时，，
，
解集为或；
当，即时，，
，
解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为或.
（3），即，
恒成立，
，
设则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
．
20．(1)是为的“子函数”；理由见解析
(2)
（1）先求出和的值域，根据子函数定义判断的值域是否是值域的子集即可．
（2）先求出的值域，再根据轴动区间定讨论的值域，利用子函数的定义建立关于的不等式关系，即可求出的范围．
（1）由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可，
因为开口向上，对称轴为，
所以当时，，
又，，故，
所以的值域为，
因为在上单调递增，且，，
所以的值域为，
显然，所以是的“子函数”；
（2）因为，
所以当时，，易得；
当时，，由得，即，
综上：的值域为，
因为，开口向上，对称轴为，
所以当时，在上单调递增，故，即，
根据子函数的定义及数轴法得，即，故；
当时，在上单调递减，故，即，
所以，即，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，
所以，解得，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故，
所以，解得，故；
综上：，即.
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