江苏省常州市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷(含答案)

江苏省 常州市2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
一、单选题
1．若式子有意义，则的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A．了解长江中现有鱼的种类
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
C．了解一批灯泡的使用寿命
D．了解全班每位同学所穿鞋子的尺码
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．购买一张福利彩票，中奖
C．任意画一个三角形，其内角和为
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
5．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为，顶点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
8．小亮结合一次函数、反比例函数的学习经验，尝试探究函数的图像与性质，得到的结论中正确的是（ ）
A．它的自变量取值范围是全体实数
B．它的图像在第一、三象限
C．在自变量的取值范围内，随的增大而减小
D．它的图像是轴对称图形，对称轴是轴
二、填空题
9．若分式的值为零，则 ．
10．若某城市人口万人，绿地面积1000万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为 ．
11．计算，则中的数是 ．
12．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率在附近摆动，则可估计这个袋中黑球的个数约为 ．
13．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ．
14．已知y是x的反比例函数，x与y的部分对应值如下表所示．若，则c d(填“” “”或“” )．
x 1 2
y a b c d
15．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是
16．将和按图1方式摆放，点与点重合，点与点重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，连接，如图2．在平移过程中，当四边形是轴对称图形时，的长是 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．解方程：．
下面是小丽同学解这个方程的部分过程：
解： 第一步
……
(1)小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）；
①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③因式分解．
(2)请将解方程的过程补充完整．
20．我市今年“全民阅读日”的主题是“爱读书，读好书，善读书”．为了解学生每天的23．读书情况，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：；；；，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有__________人，扇形统计图中的值是__________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)如果该校有1500名学生，请你估计该校每天读书时长不少于15分钟的学生大约有多少人？
21．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天
22．已知：如图，在四边形中，，是对角线的中点，过点的直线分别交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若__________，求证：_____．现有以下三个信息：①；②；③．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程．
23．如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）．
(1)在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形；
(2)在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形；
(3)在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心．
24．如图，是反比例函数图像上的两个动点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接．设点的横坐标分别为，其中，．
(1)若．
①__________；
②连接，求的面积（用含的代数式表示）；
(2)点、到直线的距离相等吗？请说明理由．
25．综合与实践
【问题情境】
类比三角形中位线的概念，连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线．如图1，在四边形中，E、F分别是边的中点，连接，则是四边形的中位线．现探究中位线与边之间的数量关系．
【特例研究】
在四边形中，， E、F分别是边的中点．
（1）如图2，若，则中位线与边有怎样的数量关系？请说明理由：
（2）如图3，若与不平行，则中位线与边有怎样的数量关系？小明与小丽的思路如下：
小明的思路 小丽的思路
如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据∶ )． ∴． ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． 如图5，连接并延长，交的延长线于点 P．
①在横线上填写相应的内容，完成小明的证明过程；
②接着小丽的思路，请将她的证明过程补充完整．
【迁移提升】
（3）在四边形中， E、F分别是边的中点． 若， 则中位线的最大值是 (用含m、n的代数式表示)．
参考答案
1．D
解：式子有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
2．D
解：A．了解长江中现有鱼的种类，适合使用抽样调查，故选项A不符合题意；
B．了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C．了解一批灯泡的使用寿命，由于实验具有破坏性，不适合采用普查，应采取抽查，故选项C不符合题意；
D．了解全班每位同学所穿鞋子的尺码，由于全班每位同学的学生人数较少，适合使用普查，故选项D符合题意；
故选：D．
3．C
A. =3，故不是最简二次根式；
B. =，故不是最简二次根式；
C. ，是最简二次根式；
D. =，故不是最简二次根式；
故选C.
4．C
解：A．抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能背面朝上，它是随机事件，因此选项A不符合题意；
B．购买一张福利彩票会中奖是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，所以选项C符合题意；
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．D
解：A、，故错误，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，无法直接相加，，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
6．B
解：过点作轴于点G，
∵点、的坐标分别为，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故选：B．
8．D
解：A：函数中，分母在时为0，无意义，故自变量取值范围是，而非全体实数，故不符合题意；
B：当时，，位于第一象限；
当时，，图像位于第二象限，
因此图像在第一、二象限，而非第一、三象限，故不符合题意；
C：分情况讨论：
当时，，增大则减小，
当时，，增大（趋近于0）时，减小，增大，故不符合题意；
D：将替换为，得，函数值不变，故图像关于轴对称；
故选：D．
9．
根据题意得且，
解得，
故答案为：．
10．
解：由题意得，，
故答案为：．
11．
解：∵，
∴中的数是，
故答案为：．
12．
解：∵，
∴估计这个袋中黑球的个数约为个，
故答案为：个．
13．/
解：由数轴得，，，
∴
，
故答案为：．
14．
解：∵，
∴在每一个象限内，随着的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
15．
解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当时，最小，也最小，则，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
16．6或
解：∵，，，
∴，
∴，
由平移的性质得，点A，F，C，D共线，
∴，
∴四边形始终是平行四边形，
∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形．
①当四边形是菱形时，此时点重合，如图
∴．
②当四边形是矩形时，如图
∴，
设，
∵，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
∴
故答案为：6或．
17．(1)6
(2)0
（1）解∶

；
（2）解∶

．
18．(1)
(2)
（1）解∶ 原式

．
（2）解∶ 原式

19．(1)①
(2)见解析
（1）解：该同学解法中第一步的依据是：等式的基本性质；
故答案为：①；
（2）解：方程两边同乘以得
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
20．(1)，20．
(2)见解析
(3)
（1）解：人，
∴这次被调查的学生共有人，
，
∴．
故答案为：，20．
（2）由（1）得C等级的人数为人，
补全统计图如下所示：
（3）人，
∴该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有人．
21．天
解：设规定时间为天，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：规定时间是天．
22．(1)证明见解析
(2)①，③或③，①，证明见解析
（1）证明： ∵，
∴，
∵点是的中点，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：若①，求证：③．
证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形 ，
∴，
故答案为：①，③；
若③，求证：①．
证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形 ，
∴，
∴，
故答案为：③，①．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：作图如图
该平行四边形为中心对称图形，面积为．
（2）作图如图，有
，
，
∴四边形是菱形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
（3）如图3，可得为一组对应点的垂直平分线，平分，，
∴是的垂直平分线，
∴点旋转中心．
如图，可得是的垂直平分线，，，
∴是的垂直平分线，
∴的交点，即为．
24．(1)①2；②
(2)相等，理由见解析
（1）解：①∵，
∴点N的横坐标为，
把代入得：，
∴点N的坐标为，
∴；
故答案为：2
②
．
（2）解：相等，理由如下：
连接、．
，
，
，
，
又∵、有公共底边，
∴点 P、Q到直线的距离相等．
25．（1）， 理由见解析；（2）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，；②见解析；（3）
解：（1），理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵E、F分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（2）①如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴点B、C、P共线．
∵，
∴．
∵E是边的中点，，
∴．
∴四边形是平行四边形 (依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴．
∴，
∴ (用等式表示与边之间的数量关系)．
②如图5，连接并延长，交的延长线于点 P．
∵E、F分别是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴；
（3）由（1）（2）可知：当时，；
当与不平行时，如图：
作，交的延长线与点，连接，
同（2）法可得：，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴；
故中位线的最大值是．