第四章 数列
4.1 数列的概念
基础过关练
题组一 数列的概念及分类
1.下列说法中,正确的是( )
A.数列2,4,6,8可表示为集合{2,4,6,8}
B.数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列
C.数列{n2+n}的第k(k∈N*)项为k2+k
D.数列0,1,2,3,4,…可记为{n}(n∈N*)
2.(多选题)下面四个结论中,错误的是( )
A.数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B.数列的项数一定是无限的
C.数列的通项公式的形式是唯一的
D.每个数列都有通项公式
题组二 数列的通项公式及其应用
3.数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=( )
A.(-1)n+1(3n-1) B.(-1)n(3n-1)
C.(-1)n+1(n2+1) D.(-1)n(n2+1)
4.(多选题)下列有关数列的说法正确的是( )
A.已知数列,…,按照这个规律,这个数列的第211项为
B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项
C.在数列1,,…中,第8项是2
D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1
5.如图,观察并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多为( )
2条直线相交, 3条直线相交, 4条直线相交,
最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点
A.40 B.45 C.50 D.55
6.写出下列各数列的一个通项公式:
(1),…;
(2)-1,,…;
(3)2,,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,….
题组三 数列的递推公式及简单应用
7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则这个数列的第19项与第20项的和为( )
A.364 B.380
C.384 D.396
8.已知数列{an}满足an+1=,若a1=2,则a2 024=( )
A.2 B.-1
C. D.-2
9.已知数列{an}满足a2=0,a2n+1=a2n+(n∈N*),则数列{an}的第2 024项为( )
A.
C.
10.已知数列{an}满足an+1=an,且a1=1,则an=( )
A.
C.
11.(多选题)已知正项数列{an}满足an+1=则下列结论正确的是( )
A.若a1=10,则a2 023=2
B.若a3=16,则a1的值有3种情况
C.若数列{an}满足an+2=an,则a1=3
D.若an为奇数,则an-1=2an(n≥2)
题组四 数列的前n项和及简单应用
12.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2,则下列说法正确的是( )
A.{an}是递减数列
B.a10=-14
C.当n>5时,an<0
D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,若bn=,则数列{bn}的前(n+1)项和Tn+1=( )
A.
B.
C.
D.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2×3n-3,则an= .
15.设数列{bn}满足+…+=2n-1,则{bn}的通项公式为 .
16.已知数列{an}满足a1=3,an+1=则a7= ,数列{an}的前99项和为 .
能力提升练
题组一 数列的通项公式及其应用
1.(多选题)已知数列{an}的前5项依次为2,0,2,0,2,则下列可以作为数列{an}的通项公式的有( )
A.an= B.an=(-1)n+1
C.an=2
2.已知an=-n2+2λn,则“λ≤1”是“{an}是递减数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
3.已知数列{an}是递增数列,且an=则a的取值范围是( )
A.
4.已知数列{an}的通项公式为an=n×,则数列{an}中的最大项的项数为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.4
5.已知数列{an}的通项公式为an=,给出下列四个结论:
①数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立;
②数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立;
③数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立;
④数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题组二 数列的递推公式及其应用
6.在计算机语言中,函数y=INT(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),其中INT(x)表示不超过x的最大整数,如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知an=INT,b1=a1,bn=an-10an-1(n为正整数且n≥2),则b2 024等于( )
A.8 B.7 C.5 D.2
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=(n+1)·
cos(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2 023=( )
A.-1 011 B.-1 012
C.2 022 D.2 023
8.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是( )
A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1
9.蜜蜂是母系社会生物,蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂,若不能受精则孵化为雄蜂,即雄蜂是“有母无父”的,雌蜂是“有父有母”的,下图是某只雄蜂的家系图,规定:其“父母”为上溯第1代祖辈,其“祖父母”为上溯第2代祖辈,以此类推,记Fn表示该雄蜂上溯第n代祖辈的数量,例如F1=1.则下列结论中正确的是( )
A.F7+F9>F10 B.F8+F10>2F9 C.F8+F9>F7+F10 D.4F5+F9>F10
题组三 数列的前n项和及其应用
10.如图,第1个图案的总点数记为a1,第2个图案的总点数记为a2,第3个图案的总点数记为a3,……,依此类推,第n个图案的总点数记为an,则+…+=( )
…
A.
11.已知数列{an}满足an=,则|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|的值为( )
A.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法错误的是( )
A.若an=则S50=-1 275
B.若a1=1,=n-1(n≥2),则a4=6
C.若an=(-1)n-1·,则S100=
D.若a1=1,a2=2,且anan+1an+2=an+an+1+an+2,则S36=72
13.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )
A.数列{an}有最小项,没有最大项
B.使an∈Z的项共有6项
C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有7个
D.使Sn取得最小值的n为7
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<1.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(3n+2)an+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C 对于A,由数列的定义易知A错误;
对于B,两个数列排列次序不同,是不同的数列,故B错误;
对于C,数列{n2+n}的第k(k∈N*)项为k2+k,故C正确;
对于D,因为0∈N,所以n∈N,这与n∈N*矛盾,故D错误.
故选C.
2.BCD 结合数列的定义与函数的概念可知,A中结论正确;有穷数列的项数就是有限的,B中结论错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,C中结论错误;并不是所有的数列都有通项公式,如根据精确度,π的不同近似值可形成一个数列:3,3.1,3.14,3.141,…,但它没有通项公式,D中结论错误.故选BCD.
3.C 对于A,当n=3时,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,舍去;
对于B,当n=1时,(-1)n(3n-1)=-2≠2,舍去;
对于D,当n=1时,(-1)n(n2+1)=-2≠2,舍去;
对于C,经检验,数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(n2+1).故选C.
4.ACD 对于A,由题意得该数列的一个通项公式为an=,则a211=,故A正确;
对于B,令n(n+1)=120,则n2+n-120=0,显然11不是方程的解,故B错误;
对于C,数列1,,…可改写为,…,所以数列的一个通项公式为an=,所以第8项是,故C正确;
对于D,数列3,5,9,17,33,…可改写为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以该数列的一个通项公式为an=2n+1,故D正确.
故选ACD.
5.B 由题图可得,交点个数的最大值构成数列1,3,6,…,即,…,由此猜想该数列的一个通项公式为an=,易知10条直线相交的交点个数的最大值为该数列的第9项,∴a9==45,故选B.
6.解析 (1)数列中每一项的分子比分母小1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(2)数列的奇数项为负,偶数项为正.把-1看成-,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1,分子依次为3,8,15,24,…,可化为1×3,2×4,3×5,4×6,…,可写成n(n+2),所以数列的一个通项公式为an=(-1)n·.
(3)数列可写成,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以数列的一个通项公式为an=n+.
7.B 观察数列的前10项可发现偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项的通项公式为a2n-1=a2n-2n=2n2-2n,
则这个数列的第20项为a20=2×102=200,
第19项为a19=a20-20=180,
所以这个数列的第19项与第20项的和为380.
8.B 由an+1=,a1=2,可得a2=-1,a3=,a4=2,……,
所以数列{an}是周期为3的周期数列,
因为2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=-1.
故选B.
规律总结 周期数列的常见结论:若an+1=,则数列{an}的周期为3;若an+1=1-,则数列{an}的周期为3;若an+1=,则数列{an}的周期为4;若an+2=an+1-an,则数列{an}的周期为6.
9.C 由已知得a2n+2=a2n+1-(n∈N*),
所以a2 024=a2 022+,
a2 022=a2 020+,
a2 020=a2 018+,
……
a6=a4+,
a4=a2+1-,
累加得a2 024=a2+1-+…+=0+1-.
故选C.
规律总结 若an+1-an=f(n),则通常用累加法求{an}的通项公式,若利用累加得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合.
10.B 由an+1=an,得,
所以,……,(n≥2),
所以×…×,所以,
因为a1=1,所以an=,
经检验a1=1满足上式,所以an=,故选B.
规律总结 若=f(n)或=f(n),则通常用累乘法求{an}的通项公式,若利用累乘得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合.
11.BD 对于A,由a1=10及题意得该数列为10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…,
则a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A错误.
对于B,若a2为偶数,则a2=2a3=32,于是a1=64或a1=29;
若a2为奇数,则a2=a3-3=13,于是a1=26,因此a1的值会出现3种情况,B正确.
对于C,由数列{an}满足an+2=an,得数列{an}是周期为2的周期数列,所以a3=a1,
当a1为偶数时,a2=,则a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去);
当a1为奇数时,a2=a1+3,则a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C错误.
对于D,若an-1为奇数,则an=an-1+3,为偶数,与an为奇数矛盾,因此an-1为偶数,所以an=,则an-1=2an(n≥2),D正确.故选BD.
12.ACD 由Sn=9n-n2可得,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+10,
又a1=S1=8=-2×1+10,适合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=-2n+10.
对于A,由an+1-an=-2<0,得an+1
对于B,a10=-2×10+10=-10,所以B错误;
对于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正确;
对于D,因为Sn=9n-n2=-,n∈N*,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,所以D正确.故选ACD.
13.C 由题意得Sn=n2+2n,当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1,
又a1=S1=3满足上式,∴an=2n+1,n∈N*,
∴bn=,
∴Tn+1=b1+b2+…+bn+1=+…+.故选C.
规律总结 裂项求和的常见类型:
接龙型:an=;
隔项型:an=;
三项型:an=;
指数型:an=;
根式型:an=).
14.答案
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-3-2×3n-1+3=4×3n-1,
当n=1时,a1=S1=2×3-3=3不满足上式易错点,
所以an=
15.答案 bn=
解析 设Tn=+…+,
当n=1时,T1==2×1-1=1,即b1=2,
当n≥2时,Tn-Tn-1==2n-1-[2(n-1)-1]=2,故bn=2n+1,
经检验b1=2不符合bn=2n+1,所以bn=
16.答案 3;
解析 由a1=3,an+1=
得a2=1-a1=-2,a3==3,a8=1-a7=-2,……,
所以数列{an}是以6为周期的周期数列,
所以数列{an}的前99项和为16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3=.
能力提升练
1.AC 对于A,C,易得a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合题意;
对于B,a1=0,不符合题意;对于D,a2=2,不符合题意.故选AC.
2.A 因为数列{an}是递减数列,所以λ<
易错点.因为{λ|λ≤1} ,所以“λ≤1”是“{an}是递减数列”的充分不必要条件.故选A.
3.D 因为数列{an}是递增数列,且an=
所以则a的取值范围是.故选D.
易错警示 本题中的数列{an}是分段数列并且为递增数列,需要每段上分别单调递增,且数列的每一项都小于它的后一项,即分段端点满足后一项大于前一项,而函数f(x)=在R上单调递增,还需满足(2a-1)×5+4≤(4-a)5-4+15.二者不同,解题时需要注意.
4.C 由题意得a1=1×当n≥4时,an+1-an=(n+1)·-n·<0,所以an+1所以数列{an}中的最大项的项数为2或3.
故选C.
5.B 因为an=,所以an+1=,
所以an+1-an=<0,
所以{an}为递减数列,故①③错误.
由an=,
可知当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+,所以an∈,
当m≤-2时,an>m恒成立;
当-≤m<0时,an≤m恒成立,故②④正确.故选B.
6.A 由已知得b1=a1=INT=2,
a2=INT=28,所以b2=a2-10a1=28-20=8,
同理可得,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,b8=8,……,
所以{bn}是周期为6的周期数列,由2 024=6×337+2,得b2 024=b2=8.故选A.
7.B 由an+1+an=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),得a2+a3=(2+1)×cos=5,
a6+a7=(6+1)×cos=-7,
a8+a9=(8+1)×cos=9,
a10+a11=(10+1)×cos=-11,
……
a2 020+a2 021=(2 020+1)×cos=2 021,
a2 022+a2 023=(2 022+1)×cos=-2 023,
∴S2 023-a1=a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+…+a2 020+a2 021+a2 022+a2 023=-3+5-7+9-11+…+2 021-2 023=2×-2 023=-1 013,
∴S2 023=-1 013+a1=-1 012.故选B.
8.D ∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}为递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故选D.
9.B 由题意得F1=1,F2=2,当n≥3时,Fn=Fn-1+Fn-2.
对于A,F10=F9+F8>F7+F9,A错误;
对于B,F8+F10=F8+F8+F9>F7+F8+F9=F9+F9=2F9,B正确;
对于C,F7+F10=F7+F8+F9>F8+F9,C错误;
对于D,F10-F9-4F5=F8-4F5=F7+F6-4F5=F6+F4-2F5=F4+F4-F5=F4-F3>0,故4F5+F9故选B.
10.A 由题图得,a1=1,a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),……,
∴当n>1,n∈N*时,an=3(n-1)=3n-3,
当n>1,n∈N*时,,
∴+…++…+.故选A.
11.A 由已知得an+1-an=,
当n=1时,a2-a1>0;
当n≥2时,an+1-an<0,
所以|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|
=a2-a1+a2-a3+a3-a4+…+a9-a10=2a2-a1-a10
=2-(-1)-.
故选A.
12.C 对于A,由已知得S50=12-22+32-42+…+492-502=-3-7-11-…-99=-1 275,故A中说法正确;
对于B,a4=×a1=3×2×1×1=6,故B中说法正确;
对于C,因为an=(-1)n-1·,
所以S100=-…-,故C中说法错误;
对于D,当n=1时,可得a3=3,当n=2时,可得a4=1,依次可求得a5=2,依此类推,可知该数列的周期为3,故S36=12×(1+2+3)=72,故D中说法正确.
故选C.
13.BD 对于A,an=,
易知{an}在[1,7]和[8,+∞)上均单调递减,当n∈[1,7]时,an<1,当n∈[8,+∞)时,an>1,所以an的最大值为a8=10,最小值为a7=-8,
故数列{an}有最小项,也有最大项,故A错误.
对于B,易知当an∈Z时,2n-15应为9的约数,故2n-15的值为±1,±3,±9,
结合n为正整数,得n=3,6,7,8,9,12,故B正确.
对于C,当1≤n≤2或n≥8时,an>0,当4≤n≤7时,an<0,当n=3时,an=0,
故当n=1,2,3,4,5,7时,满足anan+1an+2≤0,共有6个这样的n,故C错误.
对于D,由已知得{an}从第8项起均为正数,故{Sn}的最小项为S7,故D正确.故选BD.
14.解析 (1)由a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*)①,可得当n=1时,a1=2,
当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=2n-2②,
①-②可得(2n-1)an=2,即an=,
当n=1时,a1=2满足上式,
所以an=(n∈N*).
(2)证明:由(1)可得bn=,
所以Tn=+…+,
因为Tn=1-随着正整数n的增大而增大,且>0,所以T1≤Tn<1,即≤Tn<1,得证.
15.解析 (1)由6Sn=(3n+2)an+2得当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,
当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,
所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,
所以,……,,
累乘得×…×,所以an=3n-1(n≥2),
当n=1时,a1=2满足上式,所以an=3n-1.
(2)由(1)得bn=,
所以T100=+…+.
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4.1 数列的概念
知识点 1 数列的概念
必备知识 清单破
1.概念
按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的
第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,也叫做首项.
2.表示
{an}表示一个数列,an表示数列中的第n项,其中n∈N*.
3.数列的分类
(1)按项数可分为有穷数列、无穷数列.
(2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1an,有些项满足 an+14.数列与函数的关系
数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当
自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1), f(2),…, f(n),…就是数列{an}.
反过来,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1), f(2),…, f(n),…构成了一个数列{f(n)}.
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
1.通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个
式子叫做这个数列的通项公式,通项公式反映了项与序号之间的关系.
2.递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做
这个数列的递推公式.递推公式反映了项与项之间的关系.
知识点 2 数列的通项公式与递推公式
注意 (1)不是所有的数列都有通项公式和递推公式.
(2)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
1.数列的前n项和
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
2.数列中an与Sn的关系
当n=1时,S1=a1,当n≥2时,Sn-1=a1+a2+…+an-1,则有an=
知识点 3 数列的前n项和
知识辨析
1.符号an和{an}表示的意思相同吗
2.1,1,1,1,1是数列吗
3.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗
4.S2n是表示数列{an}中所有偶数项的和吗
5.已知数列{an},{bn},{cn}满足an= bn= ,cn= ,其中n∈N*,那么这三个数
列是同一个数列吗
一语破的
1.不相同.an表示数列{an}中的第n项或通项,而{an}表示整个数列.
2.是.这是一个常数列.
3.不是.数列中的数是有序的,当顺序不同时,便不是同一个数列.
4.不是.S2n表示数列{an}中前2n项的和,即S2n=a1+a2+…+a2n.
5.是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,故这三个数列是同一个数列.
定点 1 求数列的通项公式
关键能力 定点破
根据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤
(1)从下面4个角度观察数列的前几项:
①各项的符号特征;
②各项能否拆分,以及拆分后的特征;
③分式的分子、分母的特征;
④相邻项的变化规律.
(2)寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:
①统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都
化成分数、根式等;
②分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号之间的函数解析式;
③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n+1或(-1)n来表
示;
④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出
的各项统一化成某种形式.
典例 根据下列数列的前几项写出它的一个通项公式.
(1) ,2, ,8,…;
(2)1 ,2 ,3 ,4 ,…;
(3)1,0, ,0, ,0,…;
(4)5,55,555,5 555,…;
(5)- , ,- , ,….
解析 (1)将数列中的各项都统一成分数的形式,为 , , , ,…,所以它的一个通项公式为an
= ,n∈N*.
(2)将数列的前4项拆分为1+ ,2+ ,3+ ,4+ ,观察可得数列的一个通项公式为an=n+ ,n∈N*.
(3)数列的偶数项为0,奇数项为 ,因此数列的一个通项公式为an= n∈N*.
(4)数列中的各项可化成 ×9, ×99, ×999, ×9 999,…,即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),…,所以数列的一个通项公式为an= ×(10n-1),n∈N*.
(5)将数列中的各项变形得- , ,- , ,…,观察可得数列的一个通项公式为an= ,
n∈N*.
1.判断数列单调性的方法
(1)转化为函数,利用函数的性质求解;
(2)作差法:判断任意相邻两项的差an+1-an与0的大小关系;
(3)作商法:当数列各项非零且同号时,判断任意相邻两项的商 与1的大小关系.
2.求数列中的最大(或最小)项的方法
(1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项.
(2)利用 (n≥2,n∈N*)求数列中的最大项an;利用 (n≥2,n∈N*)求数列中的最
小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可.
定点 2 数列与函数的关系
典例 在数列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.
(1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性;
(2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围.
思路点拨 (1)思路一:运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断数列{an}的单调性.思路二:利
用二次函数的性质求解.
(2)由a7是最小项列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围.
解析 (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
当1≤n≤3,n∈N*时,an+1-an≤0,即an+1≤an,{an}单调递减;
当n≥4,n∈N*时,an+1-an>0,即an+1>an,{an}单调递增.
解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - .
易知函数f(x)= - 的图象的对称轴为直线x= ,
所以由二次函数的性质可知,
当1≤n≤3,n∈N*时,{an}单调递减;当n≥4,n∈N*时,{an}单调递增.
(2)由题意得
即
解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13].
易错警示 在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N*(或其有限子集).
1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项时,首先要弄清公式中各部分之间
的关系,然后依次代入计算即可.
2.求数列的某一项时,对于通项公式,可以通过将序号代入直接求解,而对于递推公式,则必须
通过逐项计算求出该项.
3.由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),宜采用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),宜采用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
定点 3 利用数列的递推关系解决相关数列问题
利用累加法或累乘法求通项公式时,需检验a1的值是否符合通项公式.
典例1 已知数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,则a2 022的值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.-4
思路点拨 先利用递推公式求出数列{an}的前几项,再找规律求a2 022的值.
解析 因为数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,所以2a3=4+a2a3,2a4=4+a3a4,
所以a2=-2,a4=4,又2a2=4+a1a2,2a5=4+a4a5,所以a1=4,a5=-2,
又2a6=4+a5a6,所以a6=1,所以a1=4,a2=-2,a3=1,a4=4,a5=-2,a6=1,……,
所以数列{an}是周期为3的周期数列,
所以a2 022=a674×3=a3=1.故选A.
A
典例2 在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,则an= ( )
A. B. C. D.
B
解析 解法一(归纳法):由已知得a2=1+1- = ,a3= + - = ,a4= + - = ,a5= + - = ,…
…,观察可得数列的一个通项公式为an= (n∈N*).
解法二(迭代法):由已知得a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),则an=a1+1- + -
+…+ - =2- = (n≥2).又a1=1也符合上式,所以an= (n∈N*).
解法三(累加法):由已知得an+1-an= - ,则a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1= -
(n≥2),以上各式相加得an-a1=1- + - + - +…+ - =1- = (n≥2).
又a1=1,所以an= (n∈N*).
规律总结 用累加法求数列{an}的通项公式时,当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求{an}的通项公式.
典例3 在数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.
解析 因为a1=1,an= an-1(n≥2),
所以 = ,则an= · · ·…· · ·a1= · · ·…· · ·1= .又a1=1也符合上
式,所以an= .
规律总结 用累乘法求数列{an}的通项公式时,当 =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=
· · ·…· ·a1来求{an}的通项公式.
已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式的步骤:
(1)当n=1时,由a1=S1求出数列的首项;
(2)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求出当n≥2时{an}的通项公式;
(3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1,否则数列{an}
的通项公式要表示为an=
定点 4 利用Sn与an的关系求数列的通项公式
典例 若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,求数列{an}的通项公式.
解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,
显然a1=2不满足上式,故数列{an}的通项公式为an=