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4.2 等差数列
知识点 1 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
必备知识 清单破
文字语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示
数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差
递推公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
a,A,b成等差数列 2A=a+b A= ,这时A叫做a与b的等差中项.
知识点 2 等差中项
1.如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
2.等差数列通项公式的变形及应用
(1)变形
an=am+(n-m)d(m,n∈N*);
(2)应用
①d= (m,n∈N*,m≠n);
②n= +1(n∈N*,d≠0).
知识点 3 等差数列的通项公式
1.由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1
-d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,
f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b,……构成一个首项为(k+b),公差为k的等差数列{nk+b}.
2.等差数列的通项公式与一次函数的异同点
知识点 4 等差数列的通项公式与一次函数的关系
等差数列的通项公式 一次函数
解析式 an=kn+b(n∈N*) f(x)=kx+b(k≠0)
不同点 定义域为N*,图象是一系列孤立的点(在直线f(x)=kx+b上) 定义域为R,图象是一条直线
相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式,等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点
1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则
am+an=2ap.
2.等差数列{an}的公差为d,则d>0 {an}为递增数列;d<0 {an}为递减数列;d=0 {an}为常数列.
3.若等差数列{an},{bn}的公差分别为d,d',则有
知识点 5 等差数列的常用性质
数列 结论
{c+an}(c为任一常数) 公差为d的等差数列
{c·an}(c为任一常数) 公差为cd的等差数列
{pan+qbn}(p,q为常数) 公差为pd+qd'的等差数列
4.从等差数列中每隔一定的距离抽取一项组成的数列仍为等差数列.例如:若{an}是公差为d
的等差数列,则an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差数列,且公差为kd,k∈N*.
知识辨析
1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列吗
2.若三个数a,b,c满足a+c=2b,则a,b,c一定是等差数列吗
3.若数列{an}的通项公式为an=kn+b(k,b为常数),则{an}一定是公差为k的等差数列吗
4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式一定是关于n的一次函数吗
5.等差数列中必有a2+a3=a5吗
一语破的
1.不一定.差是同一个常数时才是等差数列,在这里强调同一个常数.
2.一定是等差数列.由a+c=2b,可得b-a=c-b,由等差数列的定义知a,b,c一定是等差数列.
3.一定是.若an=kn+b,则an+1=k(n+1)+b=kn+b+k,所以an+1-an=k(k为常数),所以{an}一定是公差为k
的等差数列.
4.不一定.当公差不为零时,通项公式是关于n的一次函数;当公差为零时,等差数列{an}为常数
列,其通项公式不是关于n的一次函数.
5.不是.在使用等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq时,要注意等式两边项
的个数必须相同,一般情况下,a2+a3=a1+a4≠a5.
关键能力 定点破
定点 1 等差数列的判定(证明)
判定一个数列是等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列.
其中,定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据,通项公式法只能在小题
中应用,不能作为解答题中判定等差数列的依据.
典例1 已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),证明数列{an}为等差数列.
思路点拨 先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明.
证明 由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
两式相减并整理,得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).
由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,
因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列.
典例2 已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)是否存在实数t,使得bn= (an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列 若存在,求出t的值;若不存在,请
说明理由.
思路点拨 (1)利用递推关系逐项求解.(2)思路一:利用等差数列的定义计算bn-bn-1(n≥2),若存
在实数t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列,否则不存在.思路二:假设存在实数t,使得{bn}为等
差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值验证即可.
解析 (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5.
(2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N*),
∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- .
要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=- ,
∴存在t=- ,使得{bn}为等差数列.
解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,①
由(1)及题意知,a1=5,a2=23,a3=95,
∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t),
代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t),
解得t=- ,此时bn= .
检验:bn+1-bn= -
= -
= an+1- × - an+ × =1,是常数,
故存在t=- ,使得{bn}是以1为公差的等差数列.
1.求等差数列通项公式的一般思路
(1)方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可得出等差数列的通项公式.
(2)利用等差数列通项公式的变形:已知等差数列中的两项时,可利用d= (n,m∈N*,m≠n)
求出公差d,即可得出等差数列的通项公式.
2.设等差数列中项的方法
(1)通项公式法,即an=a1+(n-1)d.
(2)对称设法.若所给等差数列有2n(n∈N*)项,则可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-
1)d,数列的公差为2d;若所给等差数列有(2n+1)(n∈N*)项,则可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,
a+(n-1)d,a+nd,数列的公差为d.
定点 2 等差数列通项公式的求解及应用
典例1 已知等差数列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求数列{an}的通项公式.
解析 解法一:由题意得
解得 或
∵d>0,∴a1=-8,d=2,
∴数列{an}的通项公式为an=-8+(n-1)×2=2n-10.
解法二:由题意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,则
解得 或
∵d>0,∴a2=-6,a6=2,故d= =2,
∴数列{an}的通项公式为an=-6+(n-2)×2=2n-10.
解法三:由解法二知a4=-2,
则a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.
∵d>0,∴d=2,∴数列{an}的通项公式为an=-2+(n-4)×2=2n-10.
典例2 成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.
思路点拨 已知四个数成等差数列,常常设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,再结合题意列方程
组求解.
解析 设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
解得 或
∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
当已知数列{an}不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列,利用等差数列的通项公式
求出包含an的关系式,进而求出an.将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下:
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.
(2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
定点 3 构造等差数列求数列的通项公式
典例 已知各项均不为零的数列{an}满足 = an+1(n∈N*),a1=1.证明:数列 为等差数
列,并求数列{an}的通项公式.
思路点拨 观察式子的结构特征,等式两边取倒数构造等差数列,进而求通项公式.
解析 由 = an+1两边取倒数得 = ,∴ + = ,即 - = ,
∴ 是首项为 =1,公差为 的等差数列,
∴ =1+(n-1)× = ,∴an= .
名师点睛 构造等差数列求通项公式时,需要认真观察给定式子的结构,记住常见的构造类
型,做到熟能生巧,如本题中所给递推公式为分式形式,则考虑用取倒数的方法构造等差数列.
运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但使用时要注意性
质的限制条件,若不能用性质,则化基本量求解.
定点 4 等差数列性质的应用
典例 在公差为d的等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=16,a14+a15+a16≥53,则d的取值范围为 .
思路点拨 由等差数列的性质对式子进行变形,求得a2,a15,进而求出d的取值范围.
解析 因为a1+a2+a3=3a2=16,a14+a15+a16=3a15≥53,所以a2= ,a15≥ ,
所以d= = ≥ .
故d的取值范围为 .4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
基础过关练
题组一 等差数列的概念及其应用
1.下列数列中,不是等差数列的是( )
A.2,5,8,11 B.1.1,1.01,1.001,1.000 1
C.a,a,a,a D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000
2.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若数列{an}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是( )
A.{|an|} B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q为常数) D.{2an+n}
4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a= .
题组二 等差中项
5.设a,m是实数,则“m=5”是“m为a和10-a的等差中项”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若-2的等差中项,则d的值为( )
A.0 B. C.1 D.2
7.设a>0,b>0,若ln是ln 3a与ln 9b的等差中项,则的最小值为( )
A.6 B.8 C.9 D.12
题组三 等差数列的通项公式及其应用
8.已知{an}是等差数列,a6=8,a8=6,则a14=( )
A.-14 B.-6 C.0 D.14
9.已知数列{an}满足loan+1(n∈N*),若a5=3,则a1=( )
A.48 B.24 C.16 D.12
10.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”,则在1,2,3,…,2 024这2 024个数中,“幸运数”的个数是( )
A.251 B.252 C.253 D.254
11.某同学研究下列数表时,发现其特点是每行每列都成等差数列,在表中,数41出现的次数为( )
2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 …
4 7 10 13 16 …
5 9 13 17 21 …
… … … … … …
A.8 B.9 C.10 D.11
12.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则a100=( )
A. B.1 C.10 D.100
13.已知等差数列{an}单调递增,且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是( )
A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞)
14.在等差数列{an}中,若a3+a9=26,则a3+3a7= .
15.已知函数f(x)满足:对任意x∈R,都有2f(x)=f(x+1)+f(x-1),若f(1)=,f(3)=-3,则f(2 023)= .
16.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组四 等差数列的性质及其应用
17.在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为( )
A.21 B.24 C.27 D.30
18.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则a2+a8=( )
A.16 B.17 C.18 D.19
19.在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=( )
A.24 B.48 C.20 D.16
20.已知数列{an}为等差数列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=6,则a8=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
21.已知{an}是等差数列.
(1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求{an}的公差.
能力提升练
题组一 等差数列的通项公式及其应用
1.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为( )
A.166 B.168 C.169 D.170
2.在等差数列{an}中,p,q∈N*,且p≠q,若ap=q2,aq=p2,则ap+q=( )
A.-(p+q) B.-(p+q) C.-pq D.-pq
3.如图1,一座斜拉索大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,如图2,已知拉索上端相邻两个针Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个针Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)满足AiAi+1=18 m,最短拉索的针P1,A1满足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.± C.±
4.已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),则的最小值为( )
A. C.16 D.18
5.已知数列{an}满足(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3(n≥2,n∈N*),a1=1,则an=( )
A.2n-2 B.2n2-n C.2n-1 D.(2n-1)2
6.在数列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),则an=( )
A.-
7.已知数列{an}满足a1=,且(n≥2),设bn=.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)a1a2是不是数列{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
题组二 等差数列的性质及其应用
8.已知{an}是各项均为正数的等差数列,且a6+2a7+a10=20,则a7·a8的最大值为( )
A.10 B.20 C.25 D.50
9.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若 a,b∈R,都有f[f(a)+f(b)],则f(2 023)=( )
A.5 B.9 C.4 023 D.4 049
10.已知等差数列{an}为递增数列,若=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d为 .
题组三 等差数列的综合应用
11.《九章算术》是我国古代的数学名著,第六章《均输》中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,问五人各得多少钱 ”(注:“均输”即按比例分配,此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列;“钱”是古代的一种重量单位)关于这个问题,下列说法不正确的是( )
A.戊所得钱数是甲所得钱数的一半
B.乙比丁多得钱
C.甲、丙所得钱数的和是乙所得钱数的2倍
D.丁、戊所得钱数的和比甲所得钱数多钱
12.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”,现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( )
A.99 B.131 C.139 D.141
13.若数列{cn}满足cn+1=,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且a1>0,a1≠1,则( )
A.{lg an}是等差数列B.{lg an+1-lg an}是等差数列
C.{anan+1}是“平方递推数列”D.{an+1+an}是“平方递推数列”
14.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,则( )
A.对任意的d,均存在以a1,a2,a3为三边长的三角形
B.对任意的d,均不存在以a1,a2,a3为三边长的三角形
C.对任意的d,均存在以a2,a3,a4为三边长的三角形
D.对任意的d,均不存在以a2,a3,a4为三边长的三角形
15.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},以下说法正确的是( )
A.an=8n-6
B.当k=3时,bn=2n
C.当k=3时,b29不是数列{an}中的项
D.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为7
16.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2,n∈N*),a1=,则下列结论正确的是( )
A.Sn=
C.{an}为递增数列 D.为递增数列
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 由等差数列的定义,可知A中数列是等差数列,B中数列不是等差数列;C中数列是常数列,是等差数列;D中数列可表示为lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,是等差数列.故选B.
2.A 设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;
反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增.
故“{an}单调递增”是“a2>a1”的充要条件.故选A.
3.A 设等差数列{an}的公差为d.
对于A,若an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2,
此时数列{|an|}不是等差数列,所以A符合题意;
对于B,易得an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列,
所以数列{an+1-an}一定是等差数列,所以B不符合题意;
对于C,数列{pan+q}中,可得(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd(常数),
所以数列{pan+q}一定是等差数列,所以C不符合题意;
对于D,数列{2an+n}中,可得(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,
所以数列{2an+n}一定是等差数列,所以D不符合题意.故选A.
4.答案 0
解析 ∵{an}是等差数列,∴an+1-an为常数,
即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1为常数,
∴2a=0,∴a=0.
5.C m为a和10-a的等差中项 m==5,
因此,“m=5”是“m为a和10-a的等差中项”的充要条件.故选C.
6.C 由-2的等差中项,得2-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,而d≥0,所以d=1.故选C.
7.B 因为ln是ln 3a与ln 9b的等差中项,
所以2ln=ln 3a+ln 9b,
即ln 3=ln(3a×9b)=ln 3a+2b=(a+2b)ln 3,
∴a+2b=1,又a>0,b>0,
∴≥4+2=8,当且仅当且a+2b=1,即a=时等号成立,故的最小值为8.故选B.
8.C 设等差数列{an}的公差为d,则d==-1,
所以a14=a8+6d=6-6=0.故选C.
9.A 由loan+1得loan=1,
所以数列{loan}是公差为1的等差数列,
所以lo3,
所以lo48,
所以a1=48.故选A.
10.C 设两个连续奇数为2n-1,2n+1,n∈N*,
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n,故“幸运数”是能被8整除的数,
在1,2,3,…,2 024这2 024个数中,“幸运数”是首项为8,公差为8的等差数列,末项为2 024,
故“幸运数”的个数为+1=253.故选C.
11.A 设第i行第j列的数为aij,则{a1j}是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以a1j=2+(j-1)×1=1+j,所以{aij}是以j+1为首项,j为公差的等差数列,所以aij=j+1+(i-1)j=ij+1,
令ij+1=41,得ij=40=1×40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2=40×1,所以41共出现了8次.故选A.
12.C 由已知得OAn=,即O=1,
因为OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},所以=1(n≥2),
则数列{}是公差为1的等差数列,且首项=1,
所以=1+(n-1)×1=n,即an=,
所以a100=10.故选C.
13.C 设等差数列{an}的公差为d,
因为数列{an}单调递增,所以d>0,
所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,
则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C.
14.答案 52
解析 设等差数列{an}的公差为d,
则a3+a9=a1+2d+a1+8d=2(a1+5d)=26,
得a1+5d=13,
所以a3+3a7=a1+2d+3(a1+6d)=4a1+20d=4(a1+5d)=52.
15.答案 -
解析 由2f(x)=f(x+1)+f(x-1),
得2f(x+1)=f(x+2)+f(x),
当x取正整数n时,令an=f(n),则2an+1=an+2+an,
所以数列{an}是以a1=f(1)=为首项,为公差的等差数列,
故a2 023=+(2 023-1)×,
即f(2 023)=-.
16.解析 (1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-,则,
所以=1,
又S1=a1=,所以=2,
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
因为a1=不满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=
17.C 设插入的3个数依次为a1,a2,a3,则3,a1,a2,a3,15成等差数列,
因此2a2=3+15,解得a2=9,
所以插入的3个数之和为a1+a2+a3=3a2=27.
故选C.
18.C 由题意得a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=45,得a5=9,所以a2+a8=2a5=18.故选C.
19.A 由题意得a1+2a8+a15=4a8=96,所以a8=24,
所以2a9-a10=a8=24.故选A.
20.D 由等差数列的性质可知,
设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2=1,
所以a8=a2+6d=1+6=7.故选D.
21.解析 解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)设等差数列{an}的公差为d.由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
由
由d=得d=3或d=-3.
解法二:设等差数列{an}的公差为d.
(1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)由题意得
解得∴d=3或d=-3.
能力提升练
1.C 依题意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=(k-1)+,
因此k+1是3的正整数倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1,
设数列{an}、{bn}的公共项构成数列{cn},
则cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7,
由12n-7≤2 023,得n≤169,
所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169.故选C.
2.C 设等差数列{an}的公差为d,则ap=a1+(p-1)d=q2,aq=a1+(q-1)d=p2,
两式相减并整理得d=-(p+q),则ap+q=ap+qd=q2-q(p+q)=-pq,故选C.
3.B 由题意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的长度(单位:m)分别构成公差为4和18的等差数列,
所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m),
所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故,即最长拉索所在直线的斜率为±.故选B.
4.C 易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*),
∴=1,
∴数列=10为首项,1为公差的等差数列,
∴,
∴+10≥2+10=16,当且仅当n=,即n=3时取等号,故的最小值为16.故选C.
5.B 因为(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3=(2n-1)(2n-3),所以=1,
又=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列,
故=1+n-1=n,即an=n(2n-1)=2n2-n.
故选B.
6.A 由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0,
所以an+1=(n≥2),两边取倒数得+1,所以数列,公差为1的等差数列,所以,
所以an=.
故选A.
方法技巧 若{an}的递推关系是以an+1=(c≠0,ad-bc≠0)的形式给出的,则可用不动点的方法求{an}的通项公式.令x=,即cx2+(d-a)x-b=0,若有两个相等的根x0,则为等差数列.
7.解析 (1)证明:由,整理得=4,即bn-bn-1=4(n≥2),
又b1==5,
∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列.
(2)由(1)知bn=5+4×(n-1)=4n+1,
∴an=.
又a1=.
令an=,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的第11项.
8.C ∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20,
∴a7+a8=10,
由已知得a7>0,a8>0,
∴a7·a8≤=25,当且仅当a7=a8=5时等号成立,故a7·a8的最大值为25.故选C.
9.D 令a=n-1,b=n+1,n∈N*,由f [f(a)+f(b)]可得f ,
即2f(n)=f(n-1)+f(n+1),
所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5,f(3)=9,
所以公差为 =2,所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故选D.
10.答案 1
解析 由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10.
又a1+a10=a5+a6=11,a111.D 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
依题意得
解得因此甲得钱,乙得钱,丙得1钱,丁得钱,戊得钱.
戊所得钱数是甲所得钱数的一半,A中说法正确;
乙比丁多得钱,B中说法正确;
甲、丙所得钱数的和是乙所得钱数的=2倍,C中说法正确;
丁、戊所得钱数的和比甲所得钱数多钱,D中说法不正确.
故选D.
12.D 设该高阶等差数列的第8项为x,
根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得故选D.
13.C 对于A、B,因为{an}是“平方递推数列”,
所以an+1=.
又a1>0,所以an>0,则lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,
所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差数列,所以A、B不正确.
对于C,因为an+2an+1==(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方递推数列”,所以C正确.
对于D,因为an+2+an+1=≠(an+1+an)2,
所以{an+1+an}不是“平方递推数列”,所以D不正确.
故选C.
14.C 对于A,B,∵a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2,∵a1+a2-a3=a1-d不一定大于0,∴不一定存在以a1,a2,a3为三边长的三角形,故A,B不正确;
对于C,D,∵a3+a4>a2,a2+a4-a3=a3>0,a2+a3-a4=a1>0,∴对任意的d,均存在以a2,a3,a4为三边长的三角形,故C正确,D不正确.故选C.
15.ABD 对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正确;
对于B,数列{bn}的首项为2,公差为=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正确;
对于C,由B选项知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是数列{an}的第8项,C错误;
对于D,由已知得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……,
故等差数列{an}中的项在等差数列{bn}中对应项的下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,
于是an=b1+(n-1)(k+1),又b9是数列{an}中的项,∴1+(n-1)(k+1)=9,当k=7时,n=2,满足题意,D正确.故选ABD.
16.AD 由an=Sn-Sn-1,an+4Sn-1Sn=0,n≥2,n∈N*,
得Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn,n≥2,n∈N*,
又Sn≠0,∴=4(n≥2,n∈N*).
∵a1=是以4为首项,4为公差的等差数列,∴=4+4(n-1)=4n,n∈N*,
∴数列为递增数列,Sn=,故A、D正确.
当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=,
经检验,当n=1时,不符合上式,
∴an=故B、C错误.故选AD.
解题模板 解决项、和共存的递推关系问题,要么将和化为项,要么将项化为和,具体视递推公式的形式而定,如本题中将an+4Sn-1Sn=0化为Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn(n≥2),整理得到是一个等差数列,然后利用等差数列的知识解题.
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