4.4* 数学归纳法
基础过关练
题组一 用数学归纳法证明等式
1.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是( )
A.2k+1 B.
C. D.2(2k+1)
2.用数学归纳法证明1-+…++…+(n∈N*)时,第一步应验证的等式是 .
3.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*).
题组二 用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明不等式:+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需要增加的项为( )
A.
C.
5.用数学归纳法证明:f(n)=1++…+(n∈N*)的过程中,从n=k到n=k+1,f(k+1)比f(k)共增加了( )
A.1项 B.(2k-1)项
C.2k+1项 D.2k项
6.用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立,则k的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明:(n∈N*).
题组三 用数学归纳法解决整除问题
8.用数学归纳法证明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除时,从n=k(k∈N*)到n=k+1添加的项数为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
9.用数学归纳法证明:n3+5n(n∈N*)能被6整除.
题组四 用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
10.观察下列式子:1+,……,则可归纳出1++…+(n∈N*)小于( )
A.
11.正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N*,则a2 023的值是( )
A.
C.
12.已知数列{an}满足a1=-(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法给出证明.
13.(2024在数列{an}中,a1=.
(1)求出a2,a3,猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想;
(2)令bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1).
故选D.
2.答案 1-
解析 由于n∈N*,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故答案为1-.
3.证明 当n=2时,左边=1-,右边=,
左边=右边,所以当n=2时,等式成立.
假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,
即,
那么当n=k+1时,,即当n=k+1时,等式成立.
故对任意n≥2,n∈N*等式恒成立.
4.D 当n=k时,不等式的左边为+…+,
当n=k+1时,不等式的左边为+…+,
故从n=k到n=k+1,左边增加的项为.故选D.
5.D 因为f(n)=1++…+,所以f(k)=1++…+,共2k项,
则f(k+1)=1++…++…+,共2k+1项,所以f(k+1)比f(k)共增加了2k+1-2k=2k项.
故选D.
6.C 当n=1时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立;
当n=2时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立;
当n=3时,左边=,右边=,
此时左边>右边,不等式成立;
易得n≥3时,不等式恒成立,
∴用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立时,k的最小值为3.
故选C.
7.解析 (1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,上式也成立,所以an=2n-1.
(2)证明:当n=1时,,所以成立;
假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即,
则当n=k+1时,
=,因为>2k+3,
所以,
所以,
即当n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,(n∈N*).
8.C 设f(n)=1+2+22+…+25n-1,
则f(k+1)-f(k)=1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,
所以从n=k到n=k+1添加的项数为5.故选C.
9.证明 ①当n=1时,13+5=6,显然能被6整除;
②假设n=k(k∈N*)时,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除,
则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6,
因为k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除,
又k3+5k能被6整除,所以当n=k+1时,n3+5n能被6整除.
由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除.
10.C 由已知式子可知所猜测的分式的分母为n+1,分子为分母的2倍再减1,即2n+1,
∴可归纳得1++…+.故选C.
11.C ∵a1+a2+a3+…+an=,
∴当n=1时,a1=,
又{an}为正项数列,∴a1=1,
当n=2时,1+a2=-1,
同理可得a3=,……,
猜想an=.
证明:当n=1时,显然成立;
假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=,
则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1=+ak+1,
∴ ak+1=.
故当n=k+1时,猜想也成立.
故an=,∴a2 023=.
故选C.
12.解析 (1)a2=-.
(2)猜想数列{an}的通项公式为an=-,证明如下:
当n=1时,a1=-,所以an=-成立;
假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=-,
则当n=k+1时,ak+1=- ,∴n=k+1时,猜想也成立.
综上,an=-(n∈N*).
13.解析 (1)∵a1=,
∴a2=,
因此可猜想:an=(n∈N*).
证明:当n=1时,a1=,猜想成立,
假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=,
则当n=k+1时,ak+1=,
即当n=k+1时,猜想也成立.
综上所述,对任意n∈N*,an=.
(2)bn==(n+5)3n-1,
则Tn=6×30+7×31+8×32+…+(n+5)×3n-1①,
3Tn=6×31+7×32+…+(n+4)×3n-1+(n+5)×3n②,
①-②得-2Tn=5+1+31+32+…+3n-1-(n+5)×3n
=.
2(共11张PPT)
4.4* 数学归纳法
知识点 数学归纳法
必备知识 清单破
1.数学归纳法的概念
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法
称为数学归纳法.
2.数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:
条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.
结论:P(n)为真.
知识辨析
1.用数学归纳法证明问题时,第一步一定是验证当n=1时结论成立吗
2.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,是不是也可以不用归纳假设
3.证明与正整数n有关的命题时,是不是只需使n取前几个值时命题正确即可
4.用数学归纳法证明等式(不等式)时,从n=k(k∈N*)到n=k+1,等式(不等式)的左边(或右边)一
定只增加了一项吗
一语破的
1.不一定.只要验证要证明的命题成立范围内最小的正整数即可,不一定都是1,如证明凸n边
形的内角和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立.
2.不可以.数学归纳法的证明过程必须利用归纳假设.
3.不是.由n取前几个值时命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确,是不完全归纳法.
4.不一定.在证明1+ + +…+ 1)时,从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是
2k.
关键能力 定点破
定点 1 利用数学归纳法证明等式
利用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式问题时,关键是看清等式两边的项,弄清项
的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N*)时的假设.
用数学归纳法证明等式的步骤:
第一步:弄清n取第一个值n0时等式两边项的情况,验证两边相等;
第二步:弄清从n=k到n=k+1时等式两边的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少了哪些
项,利用这些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1时证明目标的表达式
进行变形,证明n=k+1时结论也成立.
典例 已知n∈N*,求证:1×22-2×32+…+(2n-1)×(2n)2-2n×(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).
证明 (1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3),
则当n=k+1时,1×22-2×32+…+(2k-1)×(2k)2-2k×(2k+1)2+(2k+1)×(2k+2)2-(2k+2)×(2k+3)2
=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]
=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)
=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],
即当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对任意n∈N*都成立.
1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式和证明与正整数有关的等式的方法类似.
2.用数学归纳法证明不等式时需注意:在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要
将表达式作适当放缩变形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论.
定点 2 利用数学归纳法证明不等式
典例 用数学归纳法证明:1+ + +…+ <2 (n∈N*).
证明 (1)当n=1时,不等式的左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时,不等式成立,即1+ + +…+ <2 ,
则当n=k+1时,
1+ + +…+ + <2 +
= <
= =2 ,
所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
规律总结 当用数学归纳法证明不等式或恒等式时,若方向不明确,则可先用分析法找到推
证的方向,再用综合法、比较法等其他方法证明.
“归纳—猜想—证明”的解题步骤
定点 3 归纳—猜想—证明,解决与数列有关的问题
典例 已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an= 且a1= .
(1)求a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
解析 (1)由题意,可得a2= = ,即a2= a1= ,
a3= = ,
可得14a3=a1+a2= ,可得a3= .
(2)由a1= ,a2= ,a3= ,……,
猜想:an= ,
证明:当n=1时,由(1)可知等式成立;
假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,
即ak= ,
则当n=k+1时,
由题可得ak= ,
ak+1= ,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)· = ,
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
又ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1- ,
所以k(2k+3)ak+1= ,
所以ak+1=
= ,
即当n=k+1时,猜想也成立.
综上可得,猜想an= 对任意n∈N*都成立.
