本章复习提升-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略数列与一般函数的区别致错
1.对于数列{an},定义Yn=为数列{an}的“美值”,已知数列{an}的“美值”Yn=2n+1,记数列{an-tn}的前n项和为Sn,若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是(　　)
A.
C.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0,公差d<0,若对任意的正整数n,总存在正整数k,使S2k-1=(2k-1)Sn,则k-4n的最小值为(　　)
A.-74　　　　B.-8　　　　
C.-53　　　　D.-13
易错点2　忽略分类讨论致错
3.若a,b是函数f(x)=x2-mx+n(m>0,n>0)的两个不同的零点,且a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列,也可适当排序后成等差数列,则关于x的不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|x≤2或x≥5}　　　　B.{x|x<2或x≥5}
C.
4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2n-1(n∈N*),记cn=3n-2×(-1)nλan,若数列{cn}为递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)
A.　　　　B.(-2,1)　　　　C.(-1,1)　　　　D.(0,1)
5.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q(q≠0)的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn.
易错点3　没有掌握数列求和方法的关键致错
6.已知函数f(x)=,在正项等比数列{an}中,a1 012=1,则f(ai)=(　　)
A.　　　　B.1 012　　　　
C.2 023　　　　D.2 024
7.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,若S2 024∈(k-1,k),则正整数k的值为(　　)
A.2 024　　　　B.2 023　　　　C.2 022　　　　D.2 021
8.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=.
(1)证明是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n(2n+1)anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求S2n.
9.已知数列{an}为递增的等差数列,a5=10,a4为a2和a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列的前n项和Sn.
思想方法练
一、函数思想在数列中的应用
1.数列{an}满足a1=8,an+1=(n∈N*),bn=,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是(　　)
A.
C.
2.已知数列{an}的首项为a1,前n项和为Sn,且2Sn=(a1+an)n.
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)若数列{an}的公差为+…+,则当n为何值时,取最小值
3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-,求Tn的最大值与最小值.
二、方程思想在数列中的应用
4.设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a5=,则公比q=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.-
5.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a2=3a1≠0,{}是等差数列,则an=(　　)
A.n　　　　B.n+1
C.(n+1)
三、分类讨论思想在数列中的应用
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=-3an+1+an+3,若对任意正整数n,Sn+an>(-1)na,则实数a的取值范围是(　　)
A.C.　　　　D.(-2,3)
7.在等差数列{an}中,已知a1=10,a5=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
四、转化与化归思想在数列中的应用
8.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,那么感染人数由1(初始感染者)增加到3 333大约需要多少天 (初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据:lg 2≈0.301 0)
9.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6=6,求8S3+S9的最小值.
答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.C　由Yn==2n+1可得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,①
当n=1时,a1=4,
当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)2n,②
①-②得2n-1an=n·2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n(n≥2),
所以an=2n+2(n≥2),当n=1时,a1=4满足该式,
所以an=2n+2,n∈N*,
所以an-tn=(2-t)n+2,因为an+1-t(n+1)-(an-tn)=(2-t)(n+1)+2-[(2-t)n+2]=2-t,所以数列{an-tn}是等差数列.
解法一:Sn=n,
因为Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,
所以<0,且9.5≤-≤10.5
易错点,
解得≤t≤,所以实数t的取值范围是.
解法二:因为Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,
所以a10-10t≥0且a11-11t≤0,
即(2-t)×10+2≥0且(2-t)×11+2≤0,
解得≤t≤,所以实数t的取值范围是.
故选C.
易错警示　利用函数思想解决数列问题时,应注意数列的特性,即n为正整数.
2.D　由题意得=(2k-1)Sn,
则=(2k-1)Sn,即ak=Sn,
令n=2,得ak=S2,即a1+(k-1)d=2a1+d,
即k-2=,①
∵a1>0,d<0,∴k-2=<0,即k<2,
∵k∈N*,∴k=1,代入①,得d=-a1,
又ak=Sn,∴a1-(k-1)a1=na1-,
∴k=,
∴当n=5或n=6时,k-4n取得最小值,为-13.
故选D.
3.C　由a,b是函数f(x)=x2-mx+n(m>0,n>0)的两个不同的零点,
可知a,b是一元二次方程x2-mx+n=0的两个不同的根,
根据根与系数的关系,可得a+b=m,ab=n,
因为m>0,n>0,所以a>0,b>0,
又因为a,b,-1这三个数可适当排序后成等比数列,
所以只有-1为该等比数列的等比中项才满足题意,
即ab=(-1)2=1,所以b=,n=1.
因为a,b,-1这三个数可适当排序后成等差数列,
所以只有-1不能为该等差数列的等差中项,
①当a为等差中项时,有2a=b-1=-1,
又a>0,所以a=;
②当b为等差中项时,有=2b=a-1,
又a>0,所以a=2,b=.
综合①②,可得m=.
所以不等式≥0即≥0,解得x<1或x≥.
故选C.
4.A　由an+1=3an-2n-1,得,即,
又=0,所以=0,即an=2n-1,所以cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ,
由数列{cn}为递增数列,得对任意的n∈N*,cn+1>cn恒成立,
则 n∈N*,3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ,即3n-1>(-2)n-1λ恒成立.
当n为奇数时,λ<恒成立,易知数列单调递增,所以=1,则λ<1;
当n为偶数时,λ>-恒成立,易知数列单调递减,所以-的最大值为-,则λ>-.
综上,实数λ的取值范围为.故选A.
易错警示　若数列的递推公式中含有(-1)n,则数列的奇数项、偶数项的符号不同,在解不等式时,需注意不等号的方向是否发生变化;求数列的通项公式或前n项和时,要分别求奇数项、偶数项的通项公式或前n项和.
5.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,则由题意可得
所以an=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2.
(2)由题意得an+bn=qn-1(q≠0),所以bn=3n-2+qn-1.
当q=1时,bn=3n-1,
则Sn=.
当q≠1且q≠0时,Sn=b1+b2+…+bn
=[1+4+…+(3n-2)]+(1+q+…+qn-1)
=.
综上,Sn=
易错警示　应用等比数列的前n项和公式时,需要注意q是否等于1.
6.A　由题意得f(x)+f =1,
由等比数列的性质得a1a2 023=a2a2 022=…=ana2 024-n=(a1 012)2=1,
所以an=,则f(an)+f(a2 024-n)=1,
所以f(ai)=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a1 011)+f(a1 013)]+f(a1 012)=1 011+(解题关键:利用自变量和函数值之间的关系,合理分组进行求和).
故选A.
7.B　由an+1=,即,
又-1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列,
所以,所以an=1-,
故Sn=n-,
令M=+…+,
当n≥3时,易知,此时M>+…+,
易知,则M<+…+,
所以当n≥3时,n-2+,所以2 022+若S2 024∈(k-1,k),则正整数k的值为2 023.
故选B.
8.解析　(1)由题意知an≠0,因为an+1=,
所以,即,
故数列为公差的等差数列.
因为a1=2,所以,
所以,即an=.
(2)bn=(-1)n(2n+1)anan+1=(-1)n,
则S2n=4,
=4.
易错警示　利用裂项相消法求和时要把握好两个关键点:如何裂项和如何相消.裂项时,一般是按照分母进行裂项,裂为分母倒数的和或者差,若两边不相等,则应注意配凑系数;相消时要注意最后所剩余的项,可以多写几项观察相消的规律,一般是前面剩几项,后面就剩几项.
9.解析　(1)解法一:设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0,
因为a5=10,a4为a2和a8的等比中项,
所以
即解得a1=d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n.
解法二:设递增等差数列{an}的公差为d,则d>0,
因为a4为a2和a8的等比中项,所以=a2a8,即(a5-d)2=(a5-3d)(a5+3d),
即5d=a5=10,可得d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a5+(n-5)d=2n.
(2)由(1)知an=2n,故bn==2n,
设cn=,则cn=,
可得Sn=c1+c2+c3+…+cn=+…+,
则+…+,
两式相减可得+…+
=,则Sn=4-.
易错警示　利用错位相减法求和时,应注意等式两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,为避免出错,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面多出一项,两式相减后,一般除第一项和最后一项外,剩下的(n-1)项构成一个等比数列.
思想方法练
1.D　易知an≠0,由an+1=,即=n,
所以=2,……,=n-1,
由累加法可得,=1+2+…+(n-1)=(n≥2),
因为a1=8,所以(n≥2),
当n=1时,,符合上式,
所以,
所以bn=,
因为数列{bn}是递减数列,
所以bn整理可得λ>,
y=是关于n的二次函数,故可用二次函数的知识求解,要注意n为正整数
因为,n≥2,n∈N*,
所以当n=2或n=3时,,故λ∈.故选D.
2.解析　(1)证明:由2Sn=(a1+an)n,可得当n≥2时,2Sn-1=(a1+an-1)(n-1),
两式相减,得(n-2)an=(n-1)an-1-a1,①
递推可得(n-1)an+1=nan-a1,②
②-①,得(n-1)an+1+(n-1)an-1=2(n-1)an,
所以an+1-an=an-an-1,
所以an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,
所以{an}为等差数列.
(2)因为{an}的公差为,所以,
故+…+=3+…+
=3=3,
整理得+3a1-18=0,解得a1=3或a1=-6(舍去),
所以Sn=3n+,则,
y=n+是关于n的对勾函数,利用对勾函数的性质,判断数列的单调性
由对勾函数的性质可知,当n≤7时,数列单调递减,当n≥8时,数列单调递增,
当n=7时,,当n=8时,,
因为,所以当n=8时,取最小值.
3.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,
即4a5=a3,于是q2=.
又{an}不是递减数列,且a1=>0,
所以q=-,
故等比数列{an}的通项公式为an==(-1)n-1·.
(2)由(1)得,Sn=n∈N*.
设f(x)=(x∈R),由指数函数的性质可知, f(x)=为减函数.
(将Sn视为关于n的指数型函数,结合指数函数的单调性确定其最大(小)值,解题时要注意n是正整数)
所以当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1故0当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,
所以=S2≤Sn<1,
故0>Sn-≥S2-.
综上,-≤Sn-,且Sn-≠0,
所以Tn的最大值为,最小值为-.
思想方法　数列本身就是一种特殊的函数,在解决数列中的最大(小)值、单调性等问题时常需要构造函数,利用求函数最值的方法解决问题(注意数列中n为正整数的条件).
4.C　易知q≠1.
由a1a5=,得a3=±,由S3=得S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=,
(由已知条件结合等比数列的性质列出关于a1和q的方程组,进而求解)
当a3==a1q2时,由化简得2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去);
当a3=-=a1q2时,由化简得4q2+q+1=0,因为Δ=1-16=-15<0,所以该方程无解.
综上,q=-.故选C.
5.D　设等差数列{an}的公差为d.由2a2=3a1≠0得a1=2d≠0,则Sn+1=na1+dn+1,
因为{}是等差数列,所以n+1可化为完全平方式,则对于-2d=0,解得d=或d=0(舍去),
(根据已知条件,转化为关于n的一元二次方程有两个相等的实数根,利用根的判别式求解)
故a1=,则an=+(n-1)·(n+1).故选D.
思想方法　利用等差(等比)数列的通项公式与前n项和公式或其性质,列方程(组)求出基本量是一种最基本的解题方法,这种方法正是方程思想在数列中的具体体现.
6.C　因为Sn+1=-3an+1+an+3①,a1=1,
所以当n=1时,S2=-3a2+a1+3,解得a2=,
当n≥2时,Sn=-3an+an-1+3②,
①-②得an+1=-3an+1+4an-an-1,
即2an+1-an=(2an-an-1),又2a2-a1=,
所以{2an+1-an}是首项为,公比为的等比数列,
所以2an+1-an=,则2n+1an+1-2nan=1,又2a1=2,
所以{2nan}是首项为2,公差为1的等差数列,
则2nan=n+1,则an=,
所以Sn+1+an+1=-2·,所以Sn+an=3-(n≥2),又S1+a1=2=3-,满足上式,
所以Sn+an=3-(n∈N*),又Sn+an>(-1)na,
所以3->(-1)na,
当n为奇数时,3->-a,又3-≥2,所以2>-a,解得a>-2;
当n为偶数时,3->a,又3-,所以a<.
综上所述,实数a的取值范围为.故选C.
7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=10,a5=2,得d==-2,
因此an=a1+(n-1)d=10-2(n-1)=12-2n.
(2)(去绝对值要考虑符号,需要分类讨论)
由(1)知an=12-2n,
所以当n<6时,an>0;
当n=6时,an=0;当n>6时,an<0.
因此,当n<6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an==11n-n2;
当n≥6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=a1+a2+a3+…+a6-a7-…-an
=2(a1+a2+a3+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an)
=2×=n2-11n+60.
综上,Sn=
思想方法　在数列问题中,若通项公式或前n项和公式中含有(-1)n、绝对值等,则需要依据题意进行分类讨论.
8.解析　设第n轮感染的人数为an,由题意得数列{an}是首项为4,公比为4的等比数列,设{an}的前n项和为Sn.
由题意可得1+Sn=1+≥3 333,
即4n+1≥10 000,
(将实际问题转化为与数列有关的不等式问题进行求解)
两边取对数得(2n+2)lg 2≥4,
所以n+1≥≈6.64,即n≥5.64,又n∈N*,所以n=6,故需要的天数约为6×7=42.
9.解析　设正项等比数列{an}的公比为q,则q>0,
S6=a1(1+q+q2+q3+q4+q5)=a1(1+q+q2)(1+q3)=S3(1+q3)=6,所以S3=,
则S9=a1(1+q+q2+…+q8)=a1(1+q+q2)(1+q3+q6)=S3(1+q3+q6)=,
所以8S3+S9=
=6+
=6+
=6(1+q3)+-6≥2-6=36-6=30,
(将8S3+S9转化为关于q的式子,利用基本不等式求最值)
当且仅当6(1+q3)=(q>0),即q=时,等号成立,因此,8S3+S9的最小值为30.
思想方法　转化与化归思想在数列中的应用:将一般数列转化为等差、等比数列,已知与未知的相互转化,“项”与“和”的相互转化等.
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