专题强化练1 等差数列的综合应用-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题强化练1　等差数列的综合应用
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S2=3,若不等式2Sn+18≥kan对任意的n∈N*恒成立,则(　　)
A.k≤　　　　B.k≤20
C.k≤6+1　　　　D.k≤
2.已知各项都不为零的无穷数列{an}满足:an+1an+an+1-an=0,若a8为该数列的最小项,则a1的取值范围是(　　)
A.
C.
3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
4.已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,若满足ak+ak+1+…+ak+19=m的整数k恰有2个,则m的可能取值有(　　)
A.3个　　　　B.2个　　　　C.1个　　　　D.0个
5.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则以下说法正确的是(　　)
A.若a5=0,则S9=0
B.若S6-S9=a10,且a2>a1,则a8<0且a9>0
C.若S16=64,且在{an}的前16项中,偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1,则{an}的公差为2
D.若(n+1)Sn>nSn+1,且,则S3和S4均是{Sn}的最大项
6.已知等差数列{an}满足=1,则数列{an}的前9项和的最大值是　　　　.
7.在平面直角坐标系Oxy中,我们把点(x,y),x,y∈N*称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(x,y)进行赋值,记为P(x,y),例如P(2,3)=8,P(4,2)=14,P(2,5)=17.
(1)求P(x,1);
(2)求证:2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);
(3)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 024,求P(x,y)的值.
答案与分层梯度式解析
1.A　由a2=2,S2=a1+a2=3,得a1=1,故{an}的公差为a2-a1=1,从而an=n,Sn=,
所以不等式2Sn+18≥kan对任意的n∈N*恒成立即n(n+1)+18≥kn,即k≤+1对任意的n∈N*恒成立,由对勾函数的性质可知,当n=3时,n++1取最小值,
又n∈N*,且当n=4时,n++1=9.5,当n=5时,n++1=9.6,所以,所以k≤.故选A.
2.A　由an+1an+an+1-an=0得an+1an=an-an+1,
因为an≠0,
所以=1,
故是公差为1的等差数列,则+n-1,
因为a8为数列{an}中的最小项,
所以<…<<…,
所以a1<0,且+8,解得-.
故选A.
3.C　设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12,n∈N*),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+157,其图象开口向上,对称轴为直线n=,
又∵n∈N*,∴S在n=9时取最小值.故选C.
4.A　当k≥13时,ak+ak+1+…+ak+19=(k-13)+(k-12)+…+(k+6)=20k-70=m,
解得k=,此时对于保证等式成立的每个m值,只有一个k值,不符合题意.
当0若整数k恰有2个,则49-4(112-m)>0,解得m>,
设该方程的两个整数根分别为k1,k2,则k1+k2=7,k1k2=112-m,
若k1=1,k2=6,则112-m=6,解得m=106,满足m>,符合题意;
若k1=2,k2=5,则112-m=10,解得m=102,满足m>,符合题意;
若k1=3,k2=4,则112-m=12,解得m=100,满足m>,符合题意.
综上,m=106或m=102或m=100,即m的可能取值有3个.故选A.
5.ABD　设等差数列{an}的公差为d.对于A,因为{an}是等差数列,a5=0,所以S9==9a5=0,故A正确;
对于B,因为a2>a1,所以d=a2-a1>0,即{an}是递增数列,由S6-S9=a10,得S9-S6=-a10,所以a9+a8+a7=-a10,即a10+a9+a8+a7=0,则a8+a9=0,所以a8<0且a9>0,故B正确;
对于C,因为S16=64,所以=64,则a1+a16=8,则a8+a9=8,
又a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=8a9,a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a8,
所以8a9=3×8a8,即a9=3a8,故4a8=8,得a8=2,所以a9=6,所以d=a9-a8=4,故C错误;
对于D,由(n+1)Sn>nSn+1,得,
即,整理得d<0,
因为,所以(a6+a2)(a6-a2)=0,
又因为a6-a2=4d≠0,所以a6+a2=0,
故2a4=0,即a4=0,
因为d<0,所以{an}是递减数列,则a3>0,a5<0,
所以S3>S2>S1,S3=S4>S5>S6>…,
故S3和S4均是{Sn}的最大项,故D正确.故选ABD.
6.答案　45
解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
由=1,得(a5-4d)2+(a5-3d)2=1,
整理得25d2-14a5d+2-1=0,该等式可看作关于d的一元二次方程,
所以Δ=(-14a5)2-100(2-1)≥0,解得-5≤a5≤5,
所以S9==9a5≤45.
所以数列{an}的前9项和的最大值为45.
7.解析　(1)根据题图可知P(x,1)=1+2+3+…+x=.
(2)证明:由题图可得P(x,y+1)-P(x,y)=x+y-1,
所以P(x,y+1)-P(x,1)=[P(x,2)-P(x,1)]+[P(x,3)-P(x,2)]+[P(x,4)-P(x,3)]+…+[P(x,y+1)-P(x,y)]=(x+1-1)+(x+2-1)+(x+3-1)+…+(x+y-1)=1+2+…+y+y(x-1)=+y(x-1),
由(1)知P(x,1)=,所以P(x,y+1)=,
所以P(x,y)=P(x,y+1)-(x+y-1)=+(x-1)(y-1),
所以P(x-1,y)=+(x-2)(y-1),
所以P(x-1,y)+P(x,y+1)==x2+y2+2xy-3y-x+2,又P(x,y)=(x2+y2+2xy-3y-x+2),
所以2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1).
(3)结合题图知P(x+1,y-1)=P(x,y)+1,
所以P(x,y)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 023,
又由(2)知P(x,y)+P(x+1,y+1)=2P(x+1,y),
所以P(x,y+1)+3P(x+1,y)=2 023,
即[(x+1)(x+2)+(y-1)(y+2x)]=2 023,
化简得(x+y-1)(x+y)+2x=1 010,
易知当x+y增大时,(x+y-1)(x+y)也增大,
又当x+y=31时,(x+y-1)(x+y)+2x<992<1 010,
当x+y=33时,(x+y-1)(x+y)+2x>1 056>1 010,
所以当x+y=32时,(x+y-1)(x+y)+2x=1 010,所以x=9,y=23,所以P(x,y)=P(9,23)=+8×22=474.
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