专题强化练2 等比数列的综合应用-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题强化练2　等比数列的综合应用
1.0.618是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图,△ABC是顶角为A的第一个黄金三角形,且BC=2,△B1CA是顶角为B1的第二个黄金三角形,△C1B1C是顶角为C1的第三个黄金三角形,△B2CC1是顶角为B2的第四个黄金三角形,……,那么依次类推,第2 023个黄金三角形的周长大约为(　　)
A.2.236×0.6182 021　　　　B.2.236×0.6182 022
C.4.472×0.6182 021　　　　D.4.472×0.6182 022
2.已知数列{an}的首项a1=,且an+1=+…+<2 025,则满足条件的最大正整数n=(　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.2 024　　　　D.2 025
3.已知等比数列{an}的公比为-,其前n项和为Sn,且a1,,a3成等差数列,若对任意的n∈N*,均有A≤Sn-≤B成立,则B-A的最小值为(　　)
A.2　　　　B.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1A.{an}为递减数列　　　　B.{an}为递增数列
C.数列{Sn}有最小项　　　　D.数列{Sn}有最大项
5.(多选题)已知数列{an}中,a1=1,anan+1=22n-1(n∈N*),{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列结论正确的是(　　)
A.a3=2　　　　B.=4(n≥2)
C.Sn=2n-1　　　　D.T2n=2n(2n-1)
6.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,则下列选项正确的是(　　)
A.数列{an+1}是等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-1
C.Sn=2n-n D.Tn<1
7.在1,3中间插入二者的乘积,得到1,3,3,称数列1,3,3为数列1,3的第一次扩展数列,数列1,3,3,9,3为数列1,3的第二次扩展数列,重复上述规则,可得1,x1,x2,…,,3为数列1,3的第n次扩展数列,令an=log3(1·x1·x2·…··3),则数列{an}的通项公式为　　　　.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a2=6,2Sn=4Sn-1-n2+3n+4(n≥2).
(1)证明{an-n}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)n·an,求{bn}的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
1.D　由BC=2,及得AB=-1=AC,
记第n个黄金三角形的底边长为an,当n≥2时,第(n-1)个黄金三角形的底边长为an-1,腰长为an-1,
又第n个黄金三角形的底边长an为第(n-1)个黄金三角形的腰长,所以an=an-1,
因此,各个黄金三角形的底边长依次构成首项为2,公比为的等比数列{an},
故第n个黄金三角形的底边长an=2×,腰长为,
周长为an+2×
≈(2+4×0.618)×0.618n-1=4.472×0.618n-1,
所以第2 023个黄金三角形的周长大约为4.472×0.6182 022.故选D.
2.C　因为an+1=,所以,
所以,所以数列是等比数列,首项为,公比为,所以,即+1,设数列的前n项和为Sn,
则Sn=+…+=2×+…++n=2×,n∈N*,
易知{Sn}单调递增,又因为S2 024=2 025-<2 025,且S2 025=2 026->2 025,所以满足条件的最大正整数n=2 024.故选C.
3.B　因为a1,,a3成等差数列,且等比数列{an}的公比为-,所以2×a1,解得a1=2,
所以Sn=.
当n为奇数时,Sn=,易得{Sn}单调递减,故Sn≤S1==2,又,所以当n为偶数时,Sn=,易得{Sn}单调递增,故Sn≥,又,所以≤Sn<.
所以Sn的最大值与最小值分别为2,.
易知函数y=t-在(0,+∞)上单调递增,所以=1,因为 n∈N*,均有A≤Sn-≤B成立,所以A≤-,B≥1,所以B-A的最小值为1-.故选B.
4.C　设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
由-a10,又a2又-a1-1,
故-1当-1当0易得Sn=(1-qn),且>0,
当-1故S1=a1>S3>S5>…>,当n为偶数时,Sn+2-Sn>0,故>…>S6>S4>S2=a1+a2>0,
所以数列{Sn}的最小项为S2,最大项为S1;
当00,
故数列{Sn}为递增数列,最小项为S1,无最大项,故C正确,D不正确.故选C.
5.BCD　由题意得,当n≥2时,=4,即=4,B正确;
∵a1=1,a1a2=22×1-1=2,∴a2=2,则数列{an}的奇数项是首项为1,公比为4的等比数列,偶数项是首项为2,公比为4的等比数列,当n为奇数时,an==2n-1,当n为偶数时,an=2×=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,故数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
则a3=22=4,A错误;Sn==2n-1,C正确;
T2n=20·21·22·…·22n-1=20+1+2+…+(2n-1)==2n(2n-1),D正确.故选BCD.
6.ABD　由Sn+1=Sn+2an+1,可得an+1=2an+1,
两边同时加1,可得an+1+1=2an+1+1=2(an+1),
∵a1+1=1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1,n∈N*,故A、B正确;
Sn=a1+a2+…+an=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2,故C错误;
∵
破题关键,
∴Tn=+…+
=+…+
=<1,故D正确.故选ABD.
7.答案　an=
解析　因为an=log3(1·x1·x2·…··3),
所以an+1=log3[1·(1·x1)x1(x1x2)x2…·3)·3]=log3(12··32)=3an-1,
所以an+1-,
又a1=log3(1×3×3)=2,所以a1-,
所以为首项,3为公比的等比数列,
所以an-,所以an=.
8.解析　(1)将Sn-1=Sn-an代入2Sn=4Sn-1-n2+3n+4(n≥2)得,2Sn=4an+n2-3n-4(n≥2)①,
令n=2,可得2S2=4a2-6,即2a1+2a2=4a2-6,
因为a2=6,所以a1=3.
当n≥3时,由①得2Sn-1=4an-1+(n-1)2-3(n-1)-4②,
①-②并化简得an=2an-1-n+2(n≥3),
则an-n=2[an-1-(n-1)](n≥3).
又a2-2=2(a1-1),
所以{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an-n=2n,即an=2n+n.
(2)由(1)知,bn=(-2)n+n·(-1)n,
所以Tn=+[1×(-1)1+2×(-1)2+…+n×(-1)n],
设Pn=1×(-1)1+2×(-1)2+…+n×(-1)n,
则-Pn=1×(-1)2+2×(-1)3+…+n×(-1)n+1,
所以2Pn=(-1)1+(-1)2+…+(-1)n-n×(-1)n+1
=-n·(-1)n+1
=,
所以Pn=-,
所以Tn=-(-1)n+1.
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