第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
基础过关练
题组一 平均速度与瞬时速度
1.某质点沿直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=t2+2t,则该质点在1≤t≤4这段时间内的平均速度为( )
A.6 m/s B.7 m/s C.8 m/s D.9 m/s
2.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-2,则t=2 s时的瞬时速度为( )
A.16 m/s B.14 m/s C.13 m/s D.12 m/s
3.物体甲、乙在0≤t≤t1这段时间内的路程的变化情况如图所示,则在t0≤t≤t1这段时间内,甲的平均速度 乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”).
4.已知某质点的运动方程为s(t)=3t2+2t+1(位移s的单位为m,时间t的单位为s).
(1)求该质点在2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度;
(2)在(1)中,若Δt=0.1,则平均速度是多少
(3)求该质点在t=2 s时的瞬时速度.
题组二 抛物线的割线、切线的斜率
5.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3)),D(4, f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k36.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
7.曲线y=3x2在点(1,3)处的切线方程为( )
A.3x-y+3=0 B.6x-y+3=0
C.6x-y-3=0 D.x-6y-3=0
8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是 ;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是 .
9.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2, f(2)),B(2+Δx, f(2+Δx))(Δx>0).
(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;
(2)求曲线f(x)在点A(2, f(2))处的切线方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 该质点在1≤t≤4这段时间内的平均速度为=7(m/s),
故选B.
2.A 由s(t)=4t2-2,得=4Δt+16,
所以(4Δt+16)=16,
所以t=2 s时的瞬时速度为16 m/s.
故选A.
3.答案 大于
解析 在t0≤t≤t1这段时间内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以,则在t0≤t≤t1这段时间内,甲的平均速度大于乙的平均速度.
4.解析 (1)质点在2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度为=(3Δt+14)m/s.
(2)当Δt=0.1时,所求平均速度为3×0.1+14=14.3 m/s.
(3)∵(3Δt+14)=14,
∴该质点在t=2 s时的瞬时速度为14 m/s.
5.A k1==16-9=7,
∴k16.A 由题意可知曲线在点(0,b)处的切线的斜率k=(Δx+a)=a,
又曲线在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,
所以a=1,
由点(0,b)在切线上,可得0-b+1=0,即b=1.
故选A.
7.C 设f(x)=3x2,
则(3Δx+6)=6,
所以曲线y=3x2在点(1,3)处的切线方程为y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.故选C.
8.答案 5;4.1
解析 由已知得割线AB的斜率为=Δx+4,当Δx=1时,割线AB的斜率为1+4=5;
当Δx=0.1时,割线AB的斜率为0.1+4=4.1.
9.解析 (1)由题意得,割线AB的斜率为
==-3-Δx,
由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,
又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).
(2)由(1)可得函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2, f(2))处的切线的斜率为(-3-Δx)=-3,
又f(2)=-22+2=-2,所以所求切线方程为y-(-2)=-3(x-2),
即3x+y-4=0.
2(共10张PPT)
5.1 导数的概念及其意义
知识点 1 物理中的变化率问题
5.1.1 变化率问题
必备知识 清单破
1.平均速度
设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为 = .
2.瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
(2)一般地,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数v,我们就说当Δt趋近于0时, 的极限
是v,这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度,即瞬时速度v= = .
1.抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x),则抛物线上过点P0(x0, f(x0)),P(x0+Δx, f(x0+Δx))的割线的斜率为 =
.
2.抛物线切线的斜率
一般地,在二次函数y=f(x)中,当Δx无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数k,我们就说当
Δx趋近于0时, 的极限是k,这时k就是抛物线在点P0(x0, f(x0))处切线的斜率,即切线的斜率k=
= .
知识点 2 几何中的变化率问题
3.割线的斜率与切线的斜率的区别与联系
割线的斜率 切线的斜率
区别 经过曲线上两点连线的斜率 以曲线上一点为切点且与曲
线相切的直线的斜率
联系 切线的斜率是割线的斜率的极限值 知识辨析
1.Δx无限趋近于0可以理解为Δx=0吗
2.瞬时速度是刻画某函数值在区间上变化快慢的物理量,是平均速度在某一时刻的极限值,这
种说法正确吗
3.抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是-3吗
一语破的
1.不可以.Δx无限趋近于0是一种极限思想,是无限逼近于0,但不等于0.
2.正确.当Δt无限趋近于0时, v= = .
3.是.易得切线的斜率为 = = (4+Δx)=4,
∴抛物线y=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3,
∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.
关键能力 定点破
定点 1 求瞬时速度
求运动物体瞬时速度的步骤
(1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
(2)求平均速度 = ;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近的常数v即为瞬时速度,即v= .
典例 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动,其路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关
系为s(t)= at2,如果枪弹的加速度a=5×105 m/s2,且当t=1.6×10-3 s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射
出枪口时的瞬时速度.
解析 易得Δs= a(t+Δt)2- at2=atΔt+ a(Δt)2,∴ =at+ aΔt,∴ =at=5×105×1.6×10-3=80
0,即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
方法技巧 求瞬时速度的关键是求“极限”,解题时把Δt作为一个数来参与运算,将含有Δt
的式子化到最简形式,然后令Δt=0,代入式子可得到极限值.
求抛物线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程的步骤
(1)求切线的斜率k= = ;
(2)利用点斜式求出切线方程.
定点 2 求抛物线的切线方程
典例 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直
线l2的方程.
解析 由题意得Δy=(1+Δx)2+(1+Δx)-2-0=3Δx+(Δx)2,∴ =3+Δx,
因此切线l1的斜率为 =3.
设l2与该曲线的切点坐标为P(x0,y0),
则Δy=(x0+Δx)2+(x0+Δx)-2-( +x0-2)=(2x0+1)Δx+(Δx)2,∴ =2x0+1+Δx,
因此切线l2的斜率为 =2x0+1.
由l1⊥l2得切线l2的斜率为- ,
即2x0+1=- ,解得x0=- ,∴y0= - -2=- ,因此切点P ,
∴直线l2的方程为y+ =- ,即3x+9y+22=0.
解题模板 解决曲线的切线问题,应当从切点入手,当Δx无限趋近于0时,割线的斜率就是切
线的斜率,因此先求函数值之差,进而求出割线的斜率,再由Δx无限趋近于0得到切线的斜率,
最后解决与切线相关的问题.
