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知识点 1 函数在某点处的导数
5.1.2 导数的概念及其几何意义
必备知识 清单破
1.函数的平均变化率
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值 ,即 = 叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率)
如果当Δx→0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0
处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y' ,
即f'(x0)= = .
特别提醒 (1)函数f(x)在x=x0处的导数f '(x0)只与x0有关,与Δx无关,函数在某点处的导数是一
个定值,是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限,不是变量.
(2)若极限 不存在,则称函数y=f(x)在x=x0处不可导.
1.切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0 (x0,
f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处
的切线.
2.函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f'(x0).这
就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
知识点 2 函数在某点处的导数的几何意义
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时, f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,
当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也
记作y',即f'(x)=y'= .
知识点 3 导函数的定义
知识辨析
1.在平均变化率中,Δx,Δy均为正值吗
2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变化,对吗
3.f'(x)与f'(x0)表达的意思相同吗
4.若直线l与曲线C有唯一公共点,则直线l一定是曲线C的切线吗
5.若过点P作曲线C的切线,则切线一定只有一条吗
6.若直线l与曲线C有不止一个公共点,则直线l一定不是曲线C的切线吗
一语破的
1.不是.Δx可正、可负,但不能为0;Δy可正、可负、可为0(当f(x)为常数函数时,Δy=0).
2.不对.只能说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在区间[x1,x2]上可能有变化.
3.不相同. f '(x)表示函数f(x)的导函数,是一个变量,而f '(x0)表示f '(x)在x=x0处的函数值,是确定
的值.
4.不一定.当直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线C的切线,如图①.
图①
5.不一定.切线条数与切点个数有关.
6.不一定.当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图②.
图②
函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比,其
作用是刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.它的几何意义是指P1(a, f(a)),P2(b, f(b))两点割
线的斜率.
关键能力 定点破
定点 1 函数的平均变化率
典例 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速
度分别为 , , ,则三者的大小关系为 (用“>”连接).
> >
解析 由题意得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由题图知 > > .
1.函数y=f(x)在x=x0处可导,必须满足两个条件
(1)f(x)在x0处及其附近有定义;
(2)当Δx→0时, 的极限存在.
2.导数定义的等价形式
y'= = = (n≠0).
定点 2 导数概念的理解
典例 设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =1,求f'(x0).
解析 ∵
=
=-3f'(x0)=1,∴f'(x0)=- .
方法技巧 利用导数的定义解题时,要注意增量Δx的形式是多种多样的,但无论Δx是哪种形
式,Δy必须是与之对应的形式.解决这类问题的关键就是等价变形,使问题得到转化.
1.利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 = ;
(3)求极限 .
2.求函数在某一点处的导数,还可以先求出函数的导数,再计算这点的导数值.
定点 3 求函数在某点处的导数
典例 (1)求函数f(x)=x+ 在x=1处的导数;
(2)已知f(x)=ax3+3x2+2,若f '(-1)=4,求a的值.
解析 (1)解法一:由题意得Δy=(1+Δx)+ -(1+1)=Δx-1+ = = ,
∴ = ,当Δx→0时, →0,∴f'(1)=0.
故函数f(x)=x+ 在x=1处的导数为0.
解法二: =
= =1- ,
当Δx无限趋近于0时,1- 无限趋近于1- ,即f'(x)=1- ,故f'(1)=0.
故函数f(x)=x+ 在x=1处的导数为0.
(2)由题意得Δy=f(x+Δx)-f(x)=a(x+Δx)3+3(x+Δx)2+2-(ax3+3x2+2)
=3ax2·Δx+3ax(Δx)2+a(Δx)3+6x·Δx+3(Δx)2,
所以 =3ax2+3ax·Δx+a(Δx)2+6x+3Δx,
所以 =3ax2+6x,即f '(x)=3ax2+6x,
所以f '(-1)=3a-6=4,解得a= .
1.求切线方程时,不仅要检验已知点是否在曲线上,还要注意对“在”和“过”的理解.
(1)若“在”,则该点为切点.
(2)若“过”,则该点不一定是切点;若“过”曲线外的一点,则该点一定不是切点.
2.求曲线f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程的步骤
(1)求出切线斜率k=f'(x0);
(2)利用点斜式求出切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
3.求曲线f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程的步骤
(1)设出切点(x1, f(x1));
(2)求出函数y=f(x)在点(x1, f(x1))处的导数f'(x1),即切线的斜率;
(3)利用点斜式写出切线方程:y-f(x1)=f '(x1)(x-x1);
定点 4 由导数的几何意义求切线方程
(4)根据已知点(x0, f(x0))在切线上,将(x0, f(x0))代入切线方程,求得x1;
(5)化简切线方程.
典例 已知曲线y= x3+ .
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
思路点拨 (1)在点P处,则P为切点,先求导,再将x=2代入,求出切线斜率,最后求出切线方程.
(2)过点P,先设出切点,求出切点坐标,再求切线方程.
解析 (1)y'=
=
= =x2,
∴曲线在点P(2,4)处的切线斜率为y' x=2=22=4,
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y= x3+ 与过点P(2,4)的切线相切于点A ,则切线的斜率为y' = ,
∴切线方程为y- = (x-x0),
即y= ·x- + .
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2 - + ,
即 -3 +4=0,
∴ + -4 +4=0,
即 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
即(x0+1)(x0-2)2=0,
∴x0=-1或x0=2,
∴切点为(-1,1)或(2,4),
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.5.1.2 导数的概念及其几何意义
基础过关练
题组一 平均变化率的求解
1.已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为( )
A.2Δx+3 B.4Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx D.2(Δx)2-Δx+1
2.函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论正确的是( )
A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3 D.m13.函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1,7]上的平均变化率为 .
4.函数f(x)=x4在区间[a,2a]上的平均变化率为15,则实数a的值为 .
题组二 导数的概念及其应用
5.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为( )
A.f '(x0)=
B.f '(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f '(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f '(x0)=
6.已知直线l:y=x+1与曲线y=f(x)切于点A(2,3),则的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.设f(x)是可导函数,若=3,则f '(1)=( )
A. C.-1 D.-3
8.设函数f(x)的导函数为f '(x),若f '(x0)=a,则= .
9.已知函数f(x)=x-.
(1)用定义求f '(x);
(2)求f(x)的图象在其与x轴交点处的切线方程.
题组三 导数的几何意义及其应用
10.已知曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,则f '(2)+f(2)=( )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
11.已知=2,f(3)=3,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为( )
A.2x+y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x-y-9=0 D.2x-y+9=0
12.已知函数y=f(x)的图象如图所示, f '(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是( )
A.0B.0C.0D.013.曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
14.(多选题)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)·(x0+4)(x-x0),则下列结论正确的有( )
A. f '(1)=-5
B.函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D.曲线f(x)在x=4处的切线与直线x+16y-1=0垂直
15.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f '(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C. f
D. f
16.已知函数g(x)与f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称,将g(x)的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度得到h(x)的图象,若P,Q分别为函数f(x),h(x)图象上的点,则这两点间距离的最小值为 .
17.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
18.已知函数f(x)=x3.
(1)求曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程;
(2)求过点(-1,-1)且与曲线f(x)相切的直线方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.
所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为=2Δx+3.故选A.
2.A m1==1-0=1,
m2==12-0=1,
m3==13-0=1,
故m1=m2=m3,故选A.
3.答案
解析 f(x)在区间[1,7]上的平均变化率为.
4.答案 1
解析 由题意可知2a>a,即a>0,
由 =15a3=15,解得a=1.
5.A
6.C 由直线l:y=x+1与曲线y=f(x)切于点A(2,3),
知f '(2)=1.
由导数的定义知,=f '(2)=1.
故选C.
7.C =-3f '(1)=3,则f '(1)=-1.
故选C.
8.答案 2a
解析 因为f '(x0)=a,所以=2f '(x0)=2a.
9.解析 (1)由导数的定义可得,
f '(x)=.
(2)令x-=0,得x=±1,故函数f(x)=x-的图象与x轴有两个交点,且交点坐标分别为(1,0),(-1,0),
结合(1)得f '(1)=2, f '(-1)=2,
∴所求切线方程为y=2(x-1)和y=2(x+1),即2x-y-2=0和2x-y+2=0.
10.A 因为曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.故选A.
11.B 令Δx=x-2,则=-f'(3)=2,∴f '(3)=-2,
∴曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.故选B.
12.B f '(1)表示曲线f(x)在x=1处切线的斜率, f '(3)表示曲线f(x)在x=3处切线的斜率,
表示割线AB的斜率,
由题图可知0故选B.
13.C 设P(x0,y0),则曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'
=<1,即k<1.
故选C.
14.ABD 由题意可得f '(x)=(x-2)(x+4).
对于A, f '(1)=(1-2)×(1+4)=-5,故A正确;
对于B, f '(2)=0,故函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴,故B正确;
对于C, f '(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,故C错误;
对于D, f '(4)=(4-2)×(4+4)=16,直线x+16y-1=0的斜率为-=-1,故D正确.
故选ABD.
15.AD 由题图可知,导函数f '(x)的图象在x轴下方,即f '(x)<0,且随着x的增大,|f '(x)|越来越小,因此函数f(x)图象上任一点处的切线的斜率为负,并且随着x的增大,切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率 为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率 为正,故B不正确;f 表示x=对应的函数值,即图中点B的纵坐标,表示x=x1和x=x2所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f ,故C不正确,D正确.故选AD.
16.答案
解析 由已知得,将直线y=x先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴,即直线y=x-1-1,即y=x-2,
所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的最小值的2倍,易知当点P到直线y=x-2的距离最小时, f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y=x-2,设P(x0,y0),
则 =Δx+2x0,当Δx→0时,→2x0,故函数f(x)=x2的图象在点P处的切线斜率为2x0,故2x0=1,解得x0=,则y0=,所以点P到直线y=x-2距离的最小值为,
所以P,Q两点之间距离的最小值为2×.
方法技巧 曲线上的点到直线距离的最小值即为曲线上与该直线平行的切线的切点到该直线的距离.
17.解析 设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
则
=
=
=3+3x0Δx+(Δx)2-4x0-2Δx,
当Δx→0时,→3-4x0,
由导数的几何意义知3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,所以切点的坐标为或(2,3).
当切点为时,有+a,解得a=;
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5.
综上,当a=时,切点坐标为;当a=-5时,切点坐标为(2,3).
18.解析 (1) f '(x)=[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2.
当x=1时, f '(1)=3,所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.
(2)设切点坐标为(x0,),
由(1)知切线的斜率为f '(x0)=3,故切线方程为y-(x-x0).
因为切线过点(-1,-1),所以-1-(-1-x0),即(x0+1)2(2x0-1)=0,所以x0=-1或x0=,
故过点(-1,-1)且与曲线f(x)相切的直线有两条,其方程分别是y+1=3(x+1)和y-,即3x-y+2=0和3x-4y-1=0.
2
