5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
基础过关练
题组一 函数极值的概念及其求解
1.(多选题)下列关于函数极值的说法正确的是( )
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值可能大于它的极大值
C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f '(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极大值点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知函数f(x)=x(x-1)2,则( )
A.f(x)有极小值,无极大值
B.f(x)有极大值,无极小值
C.f(x)既有极小值又有极大值
D.f(x)无极小值也无极大值
4.一个矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为x cm,小盒子的容积为V cm3,则( )
A.当x=1时,V有极小值
B.当x=1时,V有极大值
C.当x=时,V有极小值
D.当x=时,V有极大值
5.求下列函数的极值:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=2x2-x4;
(3)f(x)=ex-ex;
(4)f(x)=(1-cos x)sin x,x∈[-π,π].
题组二 含参函数的极值问题
6.若函数f(x)=x3-2ax2+4x+a不存在极值,则a的取值范围是( )
A.[-)
C.[-2,2] D.(-2,2)
7.已知函数f(x)=x2+ax+bln x+a2在x=1处取得极小值21,则b=( )
A.4 B.3 C.-5 D.-6
8.已知函数f(x)的导函数f '(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
9.若函数f(x)=x2-ax+ln x在(0,2)上有极值,则实数a的取值范围是( )
A.
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
10.若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是( )
A.a<0 B.b<0 C.ab>-1 D.a+b>0
11.若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则实数a的取值范围为( )
A.[-2,+∞) B.[-e,+∞)
C.[-e2,+∞) D.[-1,+∞)
12.已知函数f(x)=ex-e1-x-ax有两个极值点x1与x2,若f(x1)+f(x2)=-4,则实数a= .
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=及x=1处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.
14.已知函数f(x)=eax+x2+x+b,且曲线y=f(x)在x=0处与x轴相切.
(1)求a,b的值;
(2)令g(x)=f '(x),证明函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(3)求f(x)的极值点个数.
能力提升练
题组一 函数极值的求解
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.如图,已知直线y=kx+m与函数y=f(x),x∈(0,+∞)的图象相切于两点,则函数F(x)=f(x)-kx有( )
A.2个极大值点,1个极小值点
B.3个极大值点,2个极小值点
C.2个极大值点,无极小值点
D.3个极大值点,无极小值点
3.定义域为R的函数f(x),g(x)的导数分别为f '(x),g'(x),且f '(x)=g(x), f(x)+g'(x)=0,则( )
A.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极大值点
B.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极小值点
C.f(x),g(x)可能有相同的零点
D.f(x),g(x)可能有相同的极值点
4.已知函数f(x)=axa+b的导函数为f '(x)=6x2,点P(t, f(t))为曲线f(x)上任意一点,则曲线f(x)在点P处的切线的一般式方程为 ,该切线在x,y轴上的截距之和的极大值为 .
题组二 含参函数的极值问题
5.已知函数f(x)的导函数f '(x)=(x-1)(x+ln x-a),若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[1,+∞)
6.若函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上无零点,但有2个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.
C.0
7.若x=2是函数f(x)=x2+2(a-2)x-4aln x的极大值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-2,2)
8.设函数f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f '(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
题组三 函数极值的综合应用
9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则( )
A.a>0,b>0,c<0 B.a>0,b<0,c<0
C.a>0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c>0
10.若函数f(x)=(x-1)2+aln x有两个极值点x1,x2,且x1A.
C.
11.若函数f(x)=ax3-ax+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数f(x)=ax-xln x与函数g(x)=ex-1的图象上恰有两对关于x轴对称的点,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1-e] B.
C.(-∞,1-e) D.
13.(多选题)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R),则下列说法正确的是( )
A.当a>e时, f(x)有两个零点
B.当a>0时, f(x)有极小值点
C.当a<0时, f(x)没有零点
D.无论a为何实数, f(x)总存在单调递增区间
14.(多选题)设函数f(x)=,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)的定义域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)时, f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)不存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有一个极值点
15.已知函数f(x)=ex-x2-2x+a.
(1)证明:f(x)有两个极值点,且分别在区间(-1,0)和()内;
(2)若f(x)有3个零点,求整数a的值.
参考数据:≈4.11,≈5.65,≈1.73,≈1.41.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.BD
2.A
3.C 由f(x)=x(x-1)2,可得f '(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=时,函数f(x)取得极大值;当x=1时,函数f(x)取得极小值.故选C.
4.B 由已知可得V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,
令V'=0,得x=1或x=(舍去),
当00,当1所以函数V=4x3-26x2+40x在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
所以当x=1时,V取得极大值,无极小值.故选B.
5.解析 (1)f(x)的定义域为R, f '(x)=.
令f '(x)=0,得x=±.列表如下:
x (-∞,-) - (-,) (,+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以函数f(x)的极大值为f(,极小值为f(-.
(2)f(x)的定义域为R, f '(x)=4x-4x3,令f '(x)=0,得x=0或x=-1或x=1.
所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)的极大值为f(-1)=f(1)=1,极小值为f(0)=0.
(3)f(x)的定义域为R, f '(x)=ex-e.
令f '(x)>0,解得x>1;令f '(x)<0,解得 x<1.
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)的极小值为f(1)=e-e=0,无极大值.
(4)f '(x)=sin x·sin x+(1-cos x)cos x=-2cos2x+cos x+1=(-cos x+1)(2cos x+1),x∈[-π,π].
易知当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以函数f(x)的极大值为f,极小值为f.
6.A 由f(x)=x3-2ax2+4x+a,得f '(x)=3x2-4ax+4,
因为函数f(x)不存在极值,所以f '(x)≥0在R上恒成立,则Δ=16a2-4×3×4≤0,得-≤a≤.
故选A.
7.D 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=2x+a+,
因为函数f(x)在x=1处取得极小值21,所以
当a=4,b=-6时, f(x)=x2+4x-6ln x+16,可得f '(x)=2x+4-,且x>0,
当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,为f(1)=21,符合题意.
当a=-5,b=3时, f(x)=x2-5x+3ln x+25,可得f '(x)=2x-5+,且x>0,
当x∈(0,1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意,舍去.
综上可得,a=4,b=-6.
导师点睛 在利用极值求参数时,若参数有两个解,需要代入原函数,进行检验;若参数只有一个解,一般不需要检验.
8.D 设h(x)=x2-3x+a.因为1不是函数f(x)的极值点,所以1是f '(x)的不变号零点,所以h(1)=0,即1-3+a=0 a=2,
当a=2时, f '(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时, f '(x)>0,当x<2时, f '(x)≤0,且仅在x=1处取等号,因此2是函数f(x)的极值点,1不是函数f(x)的极值点,故a=2满足题意.
故选D.
导师点睛 若x=a是导函数的零点,但不是原函数的极值点,则x=a是导函数的非变号零点.
9.D 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x-a+,
要使函数f(x)在(0,2)上有极值,
则需f '(x)在(0,2)上有零点,即a=x+在(0,2)上有解.
令g(x)=x+,x∈(0,2),
则g(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,结合对勾函数的性质可知g(x)∈[2,+∞),所以a≥2.
当a=2时, f '(x)=x+-2≥0,函数f(x)单调递增,故f(x)在(0,2)上没有极值,故a>2.故选D.
10.B 由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=,
因为函数f(x)既有极大值又有极小值,所以函数f '(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,
即方程ax2-4x-2b=0(a≠0)有两个不同的正实数根,
所以即ab>-2,a>0,b<0.
故选B.
11.D f '(x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex -1)·(3ex +1),
令f '(x)=0,得ex -1=0,解得x=0.
当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
结合f(x)的图象(图略)可知,
若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则必有f(0)=-a-1≤0,解得a≥-1,
即a的取值范围为[-1,+∞),
故选D.
12.答案 4
解析 易得f '(x)=ex+e1-x-a,因为f(x)有两个极值点x1与x2,所以f '(x)=0即e2x-aex+e=0的两根为x1,x2,所以-a=0,
=e,即x1+x2=1.
因为f(x1)+f(x2)=-4,所以()-a(x1+x2)=-4,所以a-()-a×1=-4,即=4,即a-=4,即2a-a=4,所以a=4.
13.解析 (1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f '(x)=3x2+2ax+b,
由已知得,1是3x2+2ax+b=0的两个根,
故
此时f(x)=x3-2x2+x+c,则f '(x)=3x2-4x+1,
令f '(x)<0,得0,得x<或x>1,
所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
可知x=和x=1均为极值点,符合题意,∴a=-2,b=1.
(2)由(1)得f(x)=x3-2x2+x+c,f '(x)=3x2-4x+1,结合(1)可知,f(x)的极小值为f(1)=c,极大值为f+c,
若方程f(x)=0有三个不同的实根,则
解得-14.解析 (1)f '(x)=aeax+x2-x+1,
由题意可知y=0是曲线y=f(x)在x=0处的切线方程,
所以f '(0)=a+1=0且f(0)=1+b=0,故a=-1,b=-1.
(2)证明:由(1)知a=-1,b=-1,
所以g(x)=f '(x)=-e-x+x2-x+1,
所以g'(x)=e-x+2x-1,
令h(x)=g'(x)=e-x+2x-1,则h'(x)=-e-x+2,
当x>-ln 2时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当x<-ln 2时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
因此g'(x)在(0,+∞)上单调递增,
故g'(x)>g'(0)=0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知,当x>-ln 2时,g'(x)单调递增,当x<-ln 2时,g'(x)单调递减,
所以当x=-ln 2时,g'(x)取最小值,且g'(0)=0,又g'(-2)=e2-5>0,g'(-1)=e-3<0,所以存在x0∈(-2,-1),使得g'(x0)=0,
因此当x>0和x0,g(x)单调递增,当x0由(2)知f '(x)=g(x),因此f '(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,0)上单调递减,
又f '(-3)=-e3+9+3+1=13-e3<13-2.73<0, f '(0)=0,
所以存在x0'∈(-3,0),使得f '(x0')=0,
故当xx0'时, f '(x)≥0(且仅在x=0处取等号), f(x)单调递增,
故f(x)在x=x0'时取极小值,故f(x)有1个极值点.
能力提升练
1.D 当x<-2时,1-x>0,(1-x)f '(x)>0,则f '(x)>0,函数f(x)单调递增;
当-20,(1-x)f '(x)<0,则f '(x)<0,函数f(x)单调递减;
当10,则f '(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>2时,1-x<0,(1-x)f '(x)<0,则f '(x)>0,函数f(x)单调递增,
故f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,故f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),故选D.
2.B 由F(x)=f(x)-kx得F'(x)=f '(x)-k,
作出与直线y=kx+m平行的曲线f(x)的所有切线,各切线与曲线f(x)的切点的横坐标依次为a,b,c,d,e,
则f(x)在a,b,c,d,e处的导数都等于k,
在(0,a),(b,c),(d,e)上, f '(x)>k,故F'(x)>0,F(x)单调递增,
在(a,b),(c,d),(e,+∞)上, f '(x)<0,故F'(x)<0,F(x)单调递减,
因此函数F(x)=f(x)-kx有三个极大值点,有两个极小值点.故选B.
3.C 对于A、B选项,因为f(x)+g'(x)=0,所以g'(x)=-f(x),若f(x0)=0,则g'(x0)=0,但x0不一定是g(x)的极值点,故A、B错误.
对于C选项,易知f(x)=0和f '(x)=0可以同时成立,即f(x)=0,g(x)=f '(x)=0同时成立,如f(x)=x2,所以两者可能有相同的零点,故C正确.
对于D选项,①若g(x)在x0处取得极大值,则g'(x0)=0,且在x0左右两侧无限小的区间内g'(x)先正后负,
若g(x0)>0,则在x0左右两侧无限小的区间内g(x)>0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0时,必有g(x)>0,即f '(x)>0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上单调递增,不符合题意;
若g(x0)<0,则在x0左右两侧无限小的区间内g(x)<0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0时,必有g(x)<0,即f '(x)<0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上单调递减,不符合题意;
若g(x0)=0,则在x0左右两侧无限小的区间内g(x)<0,
即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0时,必有g(x)≤0,即f '(x)≤0,
所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上单调递减,不符合题意.
②同理,若g(x)在x0处取得极小值,也可以得出不符合题意,故D错误.故选C.
4.答案 6t2x-y-4t3=0;
解析 由函数f(x)=axa+b,可得f '(x)=a(a+b)xa+b-1,又f '(x)=6x2,
所以所以f(x)=2x3,则f '(t)=6t2, f(t)=2t3,
所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-2t3=6t2(x-t),即6t2x-y-4t3=0.
令y=0,可得x=;令x=0,可得y=-4t3,则切线在x,y轴上的截距之和为-4t3.
设g(t)=-4t3+,则g'(t)=-12t2+,
令g'(t)=0,得-12t2+=0,解得t=±,
当t∈或t∈时,g'(t)<0,g(t)单调递减;
当t∈时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
所以当t=时,函数g(t)取得极大值,极大值为g,故该切线在x,y轴上的截距之和的极大值为.
5.B 令f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0,则x=1或x+ln x-a=0,
易知函数y=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,所以方程x+ln x-a=0必有根,设为t,t>0,则t+ln t-a=0,即a=t+ln t.
故f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0的根为x=1或x=t,
又x=1是函数f(x)的极大值点,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,
故t>1,所以a=t+ln t>1+ln 1=1,即a>1.故选B.
6.B 由题意得f(x)=ex-ax2=0在区间(0,+∞)上无解,
即a=在区间(0,+∞)上无解,
设g(x)=(x>0),则g'(x)=(x-2),
所以当x∈(0,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(2)=,显然当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→0+时,g(x)→+∞,所以a<.
又函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上有2个极值点,所以f '(x)=ex-2ax=0在区间(0,+∞)上有2个不同的解,
即2a=在区间(0,+∞)上有2个不同的解,
设h(x)=(x>0),则h'(x)=(x-1),
所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)≥h(1)=e,显然当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→0+时,h(x)→+∞,所以2a>e,则a>.
综上,实数a的取值范围是.故选B.
7.A 由题可得f '(x)=2x+2(a-2)-(x>0).
当a≥0时,令f '(x)>0,得x>2;令f '(x)<0,得0所以当x=2时, f(x)取得极小值,不满足题意.
当a<-2时,令f '(x)>0,得0-a;令f '(x)<0,得2所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增,
所以当x=2时, f(x)取得极大值,满足题意.
当-20,得02;令f '(x)<0,得-a所以f(x)在(0,-a)上单调递增,在(-a,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以当x=2时, f(x)取得极小值,不满足题意.
当a=-2时, f '(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立,且仅在x=2处取等号,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值.
综上,a的取值范围是(-∞,-2).故选A.
8.解析 (1)由已知得g(x)=f '(x)=ln x-2ax+2a,则g'(x)=-2a,x>0,
当a≤0时,g'(x)=-2a>-2a≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令g'(x)>0,得0,故g(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,g(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)得f '(1)=ln 1-2a+2a=0.
①当a=时,由(1)知f '(x)=g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f '(x)在x=1处取得极大值,为f '(1)=0,故f '(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,
故x=1不是f(x)的极值点,不满足条件;
②当0又0<1<,且f '(1)=0,所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0,当x∈时, f '(x)>0,
从而f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,故x=1是f(x)的极小值点,不满足条件;
③当a≤0时,由(1)知f '(x)=g(x)在(0,+∞)上单调递增,又f '(1)=0,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故x=1是f(x)的极小值点,不满足条件;
④当a>时,由(1)知f '(x)=g(x)在上单调递减,
因为0<<1,且f '(1)=0,所以当x∈时, f '(x)>0,当x∈(1,+∞)时, f '(x)<0,
从而f(x)在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故x=1是f(x)的极大值点,满足条件.
综上,a的取值范围是.
导师点睛 在第(2)问中,关键点在于x=1附近的单调性,从而在a>0的情况下,需要仔细比较1和的大小关系,也就是a和的大小关系,这是分类讨论的关键点.
9.B 由f(x)=ax3+bx2+cx+d得f '(x)=3ax2+2bx+c.由题图可知,函数f(x)有两个递增区间,一个递减区间,所以函数f '(x)的图象开口向上,且与x轴有两个交点,故a>0.
设方程f '(x)=3ax2+2bx+c=0的两根分别为x1,x2,因为函数f(x)的极大值点在y轴左侧,极小值点在y轴右侧,且极大值点离y轴较近,所以x1+x2>0,x1x2<0,
即-<0,又a>0,所以b<0,c<0.故选B.
10.A 易得f '(x)=2(x-1)+,x>0.
因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,
所以方程2x2-2x+a=0有两个实数根x1,x2,
所以x1+x2=1,2-2x2+a=0,又0所以f(x2)=(x2-1)2+aln x2
=(x2-1)2+(-2+2x2)ln x2,令g(x)=(x-1)2+(-2x2+2x)ln x,则g'(x)=(2-4x)ln x,因为0在上恒成立,
故g(x)在上单调递增,则g(x)∈,
即f(x2)的取值范围为,故选A.
11.C 当a=0时, f(x)=1,其图象经过第一、二象限,与题意不符,
故a≠0,此时f '(x)=ax2-a,令f '(x)=0,得x=±1.
若a>0,则当x<-1或x>1时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当-10,在x=1处取得极小值,为f(1)=-a+1,所以要想函数f(x)的图象经过四个象限,只需f(1)=-a+1<0,解得a>.
若a<0,则当x<-1或x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当-10, f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-1处取得极小值,为f(-1)=a+1,在x=1处取得极大值,为f(1)=-a+1,且-a+1>0,所以要想函数f(x)的图象经过四个象限,只需f(-1)=a+1<0,解得a<-.
综上,实数a的取值范围为.故选C.
12.C 因为函数f(x)与g(x)的图象上恰有两对关于x轴对称的点,
所以-f(x)=g(x),即-ax+xln x=ex-1有两个解,
所以a=有两个解,
令h(x)=,则h'(x)=,
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,函数h(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)在x=1处取得极大值,为h(1)=1-e,
且当x→0+时,h(x)→-∞,
当x→+∞时,h(x)→-∞,
因此当a=有两个解时,实数a的取值范围为(-∞,1-e).故选C.
解题模板 利用导数研究与函数零点个数(方程根的个数)相关的参数问题时,一般需要先分离参数,根据分离后的结果,构造新的函数,再利用导数研究函数的单调性,确定函数的极值,利用数形结合的方法求解.变量分离可以避免对参数的分类讨论.
13.ABD f '(x)=ex-a,当a≤0时, f '(x)>0, f(x)在R上单调递增,
当a>0时,令f '(x)>0,得x>ln a,令f '(x)<0,得x所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
所以ln a是f(x)的极小值点,故B正确;
无论a为何实数, f(x)总存在单调递增区间,故D正确;
f(x)=ex-ax的零点个数等价于y=ex的图象与y=ax的图象的交点个数,
设直线y=kx与曲线y=ex相切于点(x0,),
则所以直线y=ex与曲线y=ex相切,画出y=ex的图象与直线y=ax,如图,
由图可得,当a<0时, f(x)有一个零点,故C错误;
当a>e时, f(x)有两个零点,故A正确.故选ABD.
14.BD 由题意得,函数f(x)=解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;
由f(x)=可知,当x∈(0,1)时,ln x<0,ex>0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图象都在x轴下方,所以B正确;
f '(x)=,令g(x)=ln x-,则g'(x)=,
当x>1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(2)=ln 2->0,
当x>2时,g(x)>g(2)>0,此时f '(x)>0,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C不正确;
由以上分析可知,当x>0时,g'(x)=>0,函数g(x)单调递增,又g(1)=-1<0,g(2)=ln 2->0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即f '(x0)=0,
当x∈(0,1)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,x0)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以f(x)有且仅有一个极值点,所以D正确.故选BD.
15.解析 (1)证明:易得f '(x)=ex-2x-2.
令g(x)=f '(x)=ex-2x-2,则g'(x)=ex-2.
令g'(x)<0,得x0,得x>ln 2,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增.
∴g(x)在(-1,0)上单调递减,在()上单调递增,又g(-1)=-2≈-0.71<0,g(-2≈0.19>0,
∴g(x)在(-1,0)内有且仅有一个零点,在()内有且仅有一个零点.
综上,g(x)有两个零点,且分别在区间(-1,0)和()内.
设g(x)的两个零点分别为x1,x2,且x1∈(-1,0),x2∈(),
当x1x2时,g(x)>0,即f '(x)>0,
∴f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,∴f(x)有两个极值点,且分别在区间(-1,0)和()内.
(2)由(1)及题意得
且
∴
∵x1∈(-1,0),x2∈(
又a为整数,∴a=-1或a=0.
2(共35张PPT)
知识点 1 函数的极值
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
必备知识 清单破
1.函数的极值与极值点
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0,而
且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大, f'(b)=0,
而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y
=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
2.求函数y=f(x)极值的方法
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和
最小值.
知识点 2 函数的最大(小)值
特别提醒 (1)给定函数的区间必须是闭区间, f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值
和最小值.
常见的有以下几种情况:图①中f(x)在(a,b)上有最大值无最小值;图②中f(x)在(a,b)上有最小值
无最大值;图③中f(x)在(a,b)上既无最大值也无最小值;图④中f(x)在(a,b)上既有最大值也有最
小值.
① ② ③ ④
(2)函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断是f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值的充分不必要
条件.如函数f(x)= 的图象在[-1,1]上有间断点,但存在最大值和最小值.
2.一般地,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值.
3.函数极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言的,最值是对函数的整个定义域而言的.
(2)在函数的定义域内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个.
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处
取得.
知识辨析
1.导数为0的点一定是函数的极值点吗
2.函数的极大值一定大于极小值吗
3.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调,这种说法正确吗
4.在可导函数的极值点处,该函数图象的切线与x轴有什么位置关系
5.有极值的函数一定有最值吗
6.有最值的函数不一定有极值,这种说法对吗
一语破的
1.不一定.只有导数为0的点的两侧导数值异号时才是极值点,但极值点处导数值必定为0,所
以函数在一点处的导数为0是函数在这点处取得极值的必要不充分条件.
2.不一定.函数的极大值一定大于相邻的极小值,对于不相邻的极大值与极小值不能确定大小
关系.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)3.正确.根据极值的概念,极值点两边导数不同号,所以函数不单调.
4.平行或重合.可导函数在极值点处的导数值为0,即切线的斜率为0,故切线与x轴平行或重合.
5.不一定.开区间上的连续函数可以有极值,但极值不是最值时,函数无最值.
6.对.闭区间上的单调函数有最值,但无极值.
关键能力 定点破
定点 1 利用导数解决函数的极值问题
1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求函数的导函数f'(x).
(3)令f'(x)=0,求出全部的根.
(4)用f '(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据参数的范围
分类划分区间),列表给出f '(x)在各区间上的正负,及f(x)的单调性.
(5)得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
(由表格可清晰地看出极值的分布情况,对于初学者是首选,后期对求导比较熟练时也可以省
去列表格的环节)
2.有关含参函数的极值问题
(1)求含参数的函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑以下
几个方面:
①方程f'(x)=0有无实数根;
②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;
③方程f'(x)=0的实数根的大小.
进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,
极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数f'(x);
②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
典例 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值;
(2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数
m的取值范围.
思路点拨 (1)求f'(x) 由f(x)在极值点处的导数值为0和点(1,10)在曲线f(x)上建立关于a,b
的方程组 解方程组求出a,b的值并检验.
(2)求f '(x) 由f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,列不等式组 解不等式组
得m的取值范围.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得 整理得
解得 或
当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
而当a=4,b=-11时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以
解得m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞).
易错警示 解决利用极值求函数中的参数问题时,注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条
件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止多解.
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图
象,从直观上判断函数图象与x轴的交点情况,从而为研究方程根的个数提供了方便.
2.利用导数解决函数的问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考压轴题中
出现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处
理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.
定点 2 利用函数的极值解决函数的零点(方程根)问题
典例 已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:当x≥0时, f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)上有两个零点,求a的取值范围.
解析 (1)证明:当a=1时, f(x)=ex-x2,则f '(x)=ex-2x,
令g(x)=f '(x)=ex-2x,
则g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,得x=ln 2.
当x∈[0,ln 2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(ln 2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)在x=ln 2时取极小值,也是最小值,g(ln 2)=eln 2-
2ln 2=2-ln 4=ln >0,
所以g(x)>0,所以f '(x)>0,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=1.
(2)f(x)在(0,+∞)上有两个零点,即方程ex-ax2=0在(0,+∞)上有两个根,即a= 在(0,+∞)上有两
个根,即直线y=a与函数y= 的图象在(0,+∞)上有两个交点.
令G(x)= ,则G'(x)= ,
当x∈(0,2)时,G'(x)<0,G(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,G'(x)>0,G(x)单调递增,所以G(x)在x=2时
取得极小值,也是最小值,为G(2)= ,
当x→0时,G(x)→+∞,当x→+∞时,G(x)→+∞,
所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点时,a的取值范围是 .
1.求解函数在固定区间上的最大(小)值问题的步骤
(1)求f'(x),解方程f'(x)=0;
(2)列出关于x, f(x), f'(x)的变化表;
(3)求极值和区间端点处的函数值,确定最大(小)值.
注意:不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.
2.有关含参函数的最大(小)值问题,一般有两类
一类是求含有参数的函数的最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同会导致
函数的单调性变化,从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,在分类
讨论解决函数的单调性的基础上,比较极值与区间端点的函数值的大小求解.
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值问题的逆向
定点 3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数f'(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与区间端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变化影响
着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的关系式,求解即可.
典例1 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
解析 由题意得, f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).
令f'(x)=0,得x=- 或x=a.
①当a>0时, f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3;
②当a=0时, f'(x)=3x2≥0, f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0;
③当a<0时, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)min=f = a3.
综上所述,当a>0时, f(x)的最小值为-a3;
当a=0时, f(x)的最小值为0;
当a<0时, f(x)的最小值为 a3.
解题模板 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)与0的关系.若导函数f'(x)≥0或f'(x)≤0
恒成立,且等号不恒成立,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;否则需分类讨
论求出极值,再与区间端点的函数值比较后确定最大(小)值.
典例2 已知函数f(x)=ln x+ .
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是 ,求a的值.
解析 (1)由题意知函数f(x)=ln x+ 的定义域为(0,+∞), f'(x)= - = .
∵a<0,∴f'(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
(2)由(1)知f '(x)= .
①当a≤1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,与最小值是 矛盾;
②当1∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,令ln a+1= ,得a= ,满足题意;
③当a≥e时,函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+ ≥2,与最小值是 矛盾.
综上所述,a的值为 .
1.利用导数求函数的最值,可以处理有关函数图象、不等式等综合问题,特别是有关不等式恒
成立问题,是近几年来高考的重点、热点和难点.解决不等式恒成立问题一般有以下方法:
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结合解决有关
不等式恒成立问题.
(2)将主元与参数分离变量,将不等式恒成立转化为最大(小)值问题来解决.
在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)≤a成
立,转化为f(x)max≤a.
2.与不等式有关的证明问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的最大(小)
值加以证明.
定点 4 利用函数的最值解决与不等式恒成立有关的问题
典例 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+n,求实数n的取值范围.
解析 (1)由题意得f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴f(x)的最小值为f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)记g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),则g'(t)=-3t2+3,
令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去).
当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表所示.
t (0,1) 1 (1,2)
g'(t) + 0 -
g(t) ↗ 极大值 ↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m.
∵h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,
∴g(t)<0对任意t∈(0,2)恒成立,
∴1-m<0,∴m>1.
∴实数m的取值范围为(1,+∞).
(3)∵h(t)=-t3+t-1,∴h'(t)=-3t2+1,
令h'(t)=0,得t= 或t=- (舍去).
当00,当 令φ(t)=-2t+n,t∈(0,2),则φ(t)>n-4.
由题意可知 ≤n-4,解得n≥ .
∴实数n的取值范围为 .
1.实际生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
导数是解决生活中优化问题的有力工具.
利用导数解决生活中的优化问题的步骤如下:
定点 5 导数在解决实际问题中的应用
2.解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(2)一般地,可通过求函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值
点x0或函数f(x)在开区间上只有一个点x0使f '(x)=0,则只需根据实际意义判断f(x0)是最大值还
是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.
典例 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载
火箭,是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有效载荷整流罩外形是冯·
卡门外形(原始卵形)+圆柱形,由两个半罩组成,某学校航天兴趣小组制作整流罩模型,近似一
个由圆柱和圆锥组成的几何体,如图所示,若圆锥的母线长为6,且圆锥的高与圆柱的高的比为
1∶3,则该模型体积的最大值为( )
A.40 π B.80 π
C.160 π D.180 π
C
解析 设圆锥的高为h,则圆柱的高为3h,圆锥底面圆的半径r= ,则该模型的体积V=πr2·
3h+ πr2·h= h(36-h2)π= (36h-h3),0令f(x)=-x3+36x,0令f'(x)=0,得x=2 (负值舍去),
当00,当2 则f(x)在(0,2 )上单调递增,在(2 ,6)上单调递减,故f(x)在x=2 时取得极大值,也是最大值,
即当h=2 时,V取得最大值,且Vmax=160 π,故选C.
学科素养 情境破
素养 通过对导数及其应用的研究发展逻辑推理和数学运算的核心素养
素养解读
因为以函数和导数为命题背景的压轴题能够考查学生的“四基”及“四能”,有利于学
生数学核心素养、探究及创新能力的培养,所以此类试题备受命题专家的青睐.导数问题常
考题型有:不等式恒成立问题、不等式证明问题、函数零点问题等,这些问题虽然形式不同,
但实质是一样的,第一问通常是利用导数研究函数的单调性、极值或最值,有时含有参数,需
要结合分类讨论思想对参数进行讨论,学生通过掌握基本形式和规则,探索和表述解题过程,
理解命题体系,进而有逻辑地解答问题,主要是对学生“逻辑推理”核心素养的考查;第二或
第三问需要在第一问的基础上,综合运用单调性、极值、最值、零点等知识,必要时需要构
造函数,结合转化与化归思想、数形结合思想等,考查学生推理论证以及运算能力,学生通过
理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路最终求得运算结果,主要是对学生的“数学运
算”核心素养的考查.
典例呈现
例题 已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
主编点评 本题考查的是函数的零点问题,可转化为相应方程有两个不同的实数根,利用数
形结合思想进一步转化为两函数图象的交点个数问题,画函数图象时需要利用导数研究函数
的单调性,判断图象的大致趋势,此外,一些常见函数的求导公式要牢固掌握,这是解题的基础,
计算要认真、准确.
解题思路 (1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),则f'(x)=ex-1,令f'(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,所以f(x)
在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f(x)有两个零点,即方程ex-a(x+2)=0有两个实数根,显然x=-2不是方程的根,故a= 有两个
实数根,令h(x)= (x≠-2),则h'(x)= = ,
令h'(x)>0,解得x>-1,令h'(x)<0,解得x<-2或-2在(-1,+∞)上单调递增,
当x<-2时,h(x)<0,而x→-2+时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,画出h(x)= (x≠-2)的大致图
象,如图,
所以当a= 有两个实数根时,有a>h(-1)= ,所以a的取值范围是 .
思维升华
解决导数问题时,我们通常经过严谨的逻辑推理将问题转化为常见的函数类型,通过构造合
适的函数,利用导数研究函数的相关性质,进而求解,其中数学运算也是很关键的一步,同学们
在平时要勤下笔、勤反思,多计算、多思考.第2课时 函数的最大(小)值
基础过关练
题组一 函数最大(小)值的概念与求解
1.下列结论正确的是( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
2.函数f(x)=在[-3,3]上的最大值和最小值分别是( )
A.
3.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A. f(x)没有最小值,有最大值
B. f(x)有最小值,没有最大值
C. f(x)有最小值,也有最大值
D. f(x)没有最小值,也没有最大值
4.求函数f(x)=-x3-x2+3x-3在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
题组二 含参函数的最大(小)值问题
5.若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值,则m的取值范围是( )
A.m<-1 B.m>2
C.-12
6.当x=1时,函数f(x)=(x>0)取得最小值2e,则b-a=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
7.函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则m的取值范围是( )
A.(-1,) B.(-1,3]
C.(-1,] D.(-1,2]
8.(多选题)已知函数f(x)=xa-logbx(a>0,b>0,b≠1),若f(x)≥1恒成立,则a,b的可能取值为( )
A.a=1,b=e B.a=ln 2,b=e
C.a=,b=2 D.a=e,b=2
9.已知函数f(x)=ex-ax2,若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有>1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(0,1) D.(0,1]
10.已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=e-x-a, x1∈[-1,1], x2∈[0,2],使不等式f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=(x-k-1)ex(k∈R).
(1)当k=1时,求曲线f(x)在点(0,-2)处的切线方程;
(2)讨论f(x)在区间[0,3]上的最小值.
12.已知函数f(x)=.
(1)求曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)证明:当x∈[0,π]时, f(x)≤x.
题组三 利用导数解决优化问题
13.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕( )
A.7万斤 B.8万斤 C.9万斤 D.10万斤
14.现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,AC=8百米,建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k图象的一部分,线段BC为一次函数图象的一部分,若在此地块上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2),则图书馆占地面积(万平方米)的最大值为( )
A.2 B.
15.某口罩生产企业每月生产N95口罩的件数x(单位:万件)与利润P(单位:万元)满足函数关系P(x)=
(1)当0(2)当月产量为多少万件时,企业的月利润最大 请为企业生产经营提一些合理建议.
能力提升练
题组一 函数最大(小)值的求解
1.函数f(x)=在区间[2,3]上的最小值是( )
A. D.0
2.函数f(x)=e|x|+cos x+1在区间[-π,π]上的最大值、最小值分别为( )
A.+1,2 D.eπ,2
3.已知函数f(x)=e2x,g(x)=x-1,对任意x1∈R,存在x2∈(0,+∞),使f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为 ( )
A.1 B.
C.2+ln 2 D.ln 2
题组二 含参函数的最大(小)值问题
4.已知f(x)=x3-x在区间(m,6-m2)上有最小值,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,,1)
C.[-2,) D.[-2,1)
5.函数f(x)=x2+(a-1)x-3ln x在(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为( )
A.
6.已知定义在R上的函数f(x)=(2x2+4x+a+5)e-x,若存在m,使得对任意x,都有f(x)≥f(m),则a的取值范围是( )
A.a<-1 B.a≤0 C.a≤-2 D.a≤-3
7.已知函数f(x)=e2x-e-2x-ax,若 x≥0, f(x)≥0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,4]
C.(-∞,2e] D.[-4,4]
8.设函数f(x)=若f(x1)=f(x2)(x1A.
C.-
9.已知函数f(x)=2ln x-x2,g(x)=x+, f(x)与g(x)有相同的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)若 x1,x2∈,x1≠x2,不等式 ≤1恒成立,求实数k的取值范围.
题组三 利用导数解决优化问题
10.若圆锥SO的母线长为3,则圆锥SO体积的最大值为 .
11.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示,谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),当O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
题组四 函数最大(小)值的综合应用
12.若过点(a,b)可以作曲线y=ln x的两条切线,则( )
A.eb>0>a B.ln a>0>b C.eb>a>0 D.ln a>b>0
13.若对任意实数x≥0,恒有2(ex+2mx)+8≥x2+4m2成立,则实数m的取值范围是( )
A. C.
14.若不等式ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,e] C.[-1,1] D.[0,+∞)
15.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),4logab+logba=4,则的最小值为 .
16.若函数g(x)在区间D上有定义,且 a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)可作为一个三角形的三边长,则称g(x)在区间D上为“M函数”.已知函数f(x)=-ln x+k在区间上为“M函数”,则实数k的取值范围为 .
17.已知函数f(x)=ln x-(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)设an=,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,证明:Sn>2ln(n+1).
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,易知f(x)在[a,b]上连续时,一定存在最大值和最小值,所以A、B、C错误,D正确.故选D.
2.D 由已知得f '(x)=,x∈[-3,3],
令f '(x)>0,得-1令f '(x)<0,得-3≤x<-1或1又f(-3)=-, f(-1)=-, f(1)=, f(3)=,
所以函数f(x)在[-3,3]上的最大值为,最小值为-.故选D.
3.A 易知函数f(x)的定义域为R, f '(x)=,当x<1时, f '(x)>0,当x>1时, f '(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时, f(x)取得极大值,也是最大值, f(x)没有最小值.故选A.
4.解析 由f(x)=-x3-x2+3x-3,得f '(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
故当x∈(-1,1)时, f '(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,2)时, f '(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)在[-1,2]上的最大值为f(1)=-,
又f(-1)=, f(2)=-,故f(x)在[-1,2]上的最小值为f(-1)=-.
5.C f '(x)=(x-2)ex+x-2=(x-2)(ex+1),
则当x>2时, f '(x)>0,当x<2时, f '(x)<0,
即f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)在x=2处取得极小值,也是最小值,则有2m-2<2<3+m,解得-16.D 由已知得f '(x)=,因为函数f(x)=(x>0)在x=1处取得最小值2e,
所以
若a=2,b=0,则f(x)=(x>0), f '(x)=,
当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取到极小值,也是最小值,为f(1)==2e,满足要求,
所以a=2,b=0,故b-a=-2.故选D.
7.D 因为f(x)=x3-3x,所以f '(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1),
所以当x<-1或x>1时, f '(x)>0,当-1所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,
因为f(x)在(-2,m)上有最大值,
所以极大值点-1∈(-2,m),
易得f(-1)=2,令x3-3x=2,得(x+1)2(x-2)=0,所以x=2或x=-1,所以-18.AC 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)在定义域内连续可导,
易知f(1)=1,因此f(x)≥1恒成立,即f(x)≥f(1)恒成立,故f '(1)=0,
易得f '(x)=axa-1-,所以f '(1)=a-=0,
可得aln b=1,因此可以排除B,D选项;
对于选项A, f(x)=x-ln x,则f '(x)=1-,x>0,
令f '(x)<0,得00,得x>1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为f(1)=1,故f(x)≥1恒成立,故A正确;
对于选项C, f(x)=-log2x,则f '(x)=,易知f '(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f '(1)=0,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为f(1)=1,故f(x)≥1恒成立,故C正确.
故选AC.
9.B 不妨设x1>x2>0,因为>1,所以f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,
令g(x)=f(x)-x,由函数的单调性可知,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
则g'(x)=f '(x)-1=ex-ax-1≥0在(0,+∞)上恒成立.
解法一:由ex-ax-1≥0,得ex≥ax+1,x∈(0,+∞),
易知过点(0,1)且与曲线y=ex相切的切线方程为y=x+1,
由函数图象可知,只需a≤1即可.
解法二:由ex-ax-1≥0恒成立得(ex-ax-1)min≥0,x∈(0,+∞),
令h(x)=ex-ax-1,x∈(0,+∞),则h'(x)=ex-a,
若a≤1,则h'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)>h(0)=0,符合题意;
若a>1,令h'(x)<0,得x∈(0,ln a),所以h(x)在(0,ln a)上单调递减,所以当x∈(0,ln a)时,h(x)综上,a≤1.
解法三:由ex-ax-1≥0,得≥a,x∈(0,+∞),即≥a,x∈(0,+∞),
令s(x)=,x∈(0,+∞),
则s'(x)=,
令t(x)=ex(x-1)+1,x∈(0,+∞),则t'(x)=ex(x-1)+ex=xex>0,
所以t(x)在(0,+∞)上单调递增,则t(x)>t(0)=0,
则s'(x)>0,所以s(x)在(0,+∞)上单调递增,
由洛必达法则知=1,所以a≤1.故选B.
知识拓展 洛必达法则是在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.
一般情况下,若=L(定值),且g(x)=0(或g(x)=∞),则=L.
10.答案
解析 由题意,可得f(x)在[-1,1]上的最小值大于或等于g(x)在[0,2]上的最小值.
当-1≤x≤1时, f '(x)=,
由f '(x)<0,可得-1≤x<0,由f '(x)>0,可得0所以函数f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,
因为g(x)=-a,所以g(x)在[0,2]上单调递减,所以g(x)min=g(2)=-a,
所以0≥-a,解得a≥,所以实数a的取值范围是.
11.解析 (1)当k=1时, f(x)=(x-2)ex,则f '(x)=(x-1)ex,所以f '(0)=-1,
则曲线f(x)在点(0,-2)处的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)易得f '(x)=(x-k)ex,
当x>k时, f '(x)>0,此时f(x)单调递增;
当x当k>3时,函数f(x)在[0,3]上单调递减,故函数f(x)的最小值为f(3)=(2-k)e3;
当k<0时,函数f(x)在[0,3]上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=-1-k;
当0≤k≤3时,函数f(x)的最小值为f(k)=-ek.
综上,f(x)min=
12.解析 (1)易得f(0)=0, f '(x)=,所以切线的斜率为f '(0)==1,所以所求切线的方程为x-y=0.
(2)证明:要证f(x)≤x(x∈[0,π]),即证≤x(x∈[0,π]),即证xex-sin x≥0(x∈[0,π]).
令g(x)=xex-sin x,x∈[0,π],
则g'(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π].
令h(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π],则h'(x)=2ex+xex+sin x,易知h'(x)>0在x∈[0,π]上恒成立,
所以h(x)在[0,π]上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,即g'(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立,
所以g(x)在[0,π]上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即xex-sin x≥0(x∈[0,π]),
所以当x∈[0,π]时, f(x)≤x.
13.B 设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2-2,0由已知得-,解得a=2,
故g(x)=-x3+2x2-2,0令g'(x)>0,得0故要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.
故选B.
14.D 由已知得曲线AB是函数y=k(0≤x≤4)的图象,点B的坐标为(4,4),
所以4=k·,故k=2,所以y=2(0≤x≤4).
设线段BC对应的函数解析式为y=mx+n(4≤x≤8),
因为直线BC经过点(4,4),(8,0),
所以
所以y=-x+8(4≤x≤8),
设AD=t(0由2=-x+8可得x=8-2,
所以点F的坐标为(8-2),所以EF=8-2-t,
所以直角梯形CDEF的面积S=(0所以S'=-3,
令S'=0,可得t=,
当00,函数S=-2上单调递增,
当所以当t=时,函数S=-2取最大值,最大值为.故选D.
15.解析 (1)当0当x=5时,P(x)取到最大值9,即企业月利润的最大值为9.
(2)当x≥6时,P(x)=13-ln x-,
若6≤x≤e3,则P'(x)≥0,P(x)单调递增;若x>e3,则P'(x)<0,P(x)单调递减,
所以当x=e3时,P(x)取到最大值,为P(e3)=9.
由(1)知当x=5时,P(x)也取到最大值9,
综上,当月产量为5万件或e3万件时,企业的月利润最大.
建议:当月产量为5万件或e3万件时,利润最大,考虑到时间成本,建议月产量为5万件最合适.
能力提升练
1.A 由f(x)=得f '(x)=,x∈[2,3],
则当20, f(x)单调递增;当e易得f(2)=, f(3)=,由f(2)-f(3)=<0,可得f(2)故f(x)min=f(2)=.故选A.
2.B 易知函数f(x)为偶函数,故f(x)在区间[-π,π]上的最值也就是其在区间[0,π]上的最值.
当0≤x≤π时, f(x)=ex+cos x+1,则f '(x)=ex-sin x>0,所以f(x)在[0,π]上单调递增,
所以当x∈[-π,π]时, f(x)max=f(π)=eπ, f(x)min=f(0)=3,故选B.
3.D 令f(x1)=g(x2)=m,易知m>0,则=m,x2-1=m,
所以x1=ln m,x2=m+1,则x2-x1=m+1-ln m,
令h(m)=m+1-ln m(m>0),则h'(m)=1-,
令h'(m)=0,得m=,
所以当m∈时,h'(m)<0,h(m)单调递减;
当m∈时,h'(m)>0,h(m)单调递增,
所以当m=时,h(m)取得极小值,也是最小值,为ln 2,即x2-x1的最小值为ln 2.故选D.
4.D 由函数f(x)=x3-x,可得f '(x)=x2-1=(x+1)(x-1),
当x<-1时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当-1当x>1时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
要使得函数y=f(x)在区间(m,6-m2)上有最小值,
需满足
由m3-m≥-,可得m3-3m+2≥0,即(m-1)2(m+2)≥0,解得m≥-2,
所以-2≤m<1,即实数m的取值范围为[-2,1).
故选D.
5.A f '(x)=2x+(a-1)-,
设g(x)=2x2+(a-1)x-3,因为Δ=(a-1)2+24>0,所以g(x)=0有两个不同的实根,
又g(0)=-3<0,因此g(x)=0的两根一正一负,
由题意得正根在(1,2)内,
所以解得-故a的取值范围是.故选A.
6.D f(x)=(2x2+4x+a+5)e-x=,
f '(x)=,
当-a-1≤0,即a≥-1时, f '(x)≤0, f(x)在R上单调递减,没有最小值,不符合题意,所以a<-1,
令f '(x)=0,解得x=±,
令f '(x)>0,得-,令f '(x)<0,得x<-或x>,
所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,故f(x)在x=-处取得极小值.
若存在m,使得对任意x,都有f(x)≥f(m),则f(x)存在最小值,
又当x→-∞时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→0,且f(x)>0,故f≤0,即≥1,即-a-1≥2,即a≤-3.故选D.
7.B 由f(x)=e2x-e-2x-ax,得f '(x)=2e2x+2e-2x-a,
令g(x)=2e2x+2e-2x-a,则g'(x)=4e2x-4e-2x,
当x≥0时,g'(x)≥0,g(x)单调递增,即f '(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f '(x)min=f '(0)=4-a,
当a≤4时, f '(x)≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=0,即f(x)≥0,符合题意,
当a>4时, f '(x)min=f '(0)=4-a<0,当x→+∞时, f '(x)→+∞,
所以存在x0使得f '(x0)=0,
当x∈(0,x0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x0)所以实数a的取值范围是(-∞,4].故选B.
8.B 画出f(x)=的大致图象,如图,
令f(x1)=f(x2)=t,由图象可得t∈(-∞,-2a],
因为x1令g(t)=2et-t-2a,t≤-2a,
则g'(t)=2et-1,令g'(t)=0,解得t=-ln 2,
当-2a≤-ln 2,即a≥时,t≤-ln 2,则g'(t)≤0,g(t)单调递减,
则g(t)min=g(-2a)=2e-2a=ln 2,解得a=-,满足a≥.
当-2a>-ln 2,即a<时,
若t<-ln 2,则g'(t)<0;若-ln 20,
故g(t)在(-∞,-ln 2)上单调递减,在(-ln 2,-2a)上单调递增,则g(t)min=g(-ln 2)=1+ln 2-2a=ln 2,解得a=,与a<矛盾,故舍去.
综上,a=-.故选B.
方法技巧 解决双变量问题的常见方法是利用换元法将双变量转化为只有1个变量,注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
9.解析 (1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=,
令f '(x)>0,得01,
所以当x∈(0,1)时, f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时, f(x)单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,所以x=1也是g(x)的极值点.
易知g'(x)=1-,由g'(1)=1-a=0,得a=1,经检验,x=1是g(x)的极小值点,故a=1.
(2)由(1)知, f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又f, f(1)=-1, f(3)=2ln 3-9,所以当x∈时, f(x)min=2ln 3-9, f(x)max=-1.
由(1)知g(x)=x+,显然g(x)在上单调递减,在[1,3]上单调递增,
又g,
所以当x∈时,g(x)min=2,g(x)max=.
①当k-1>0,即k>1时,≤1恒成立等价于f(x1)-g(x2)≤k-1恒成立,所以k≥f(x1)-g(x2)+1恒成立,即k≥+1,
因为f(x1)-g(x2)+1≤-1-2+1=-2,所以k≥-2,所以k>1.
②当k-1<0,即k<1时,≤1恒成立等价于f(x1)-g(x2)≥k-1恒成立,所以k≤f(x1)-g(x2)+1恒成立,即k≤+1,
因为f(x1)-g(x2)+1≥2ln 3-9-+1=2ln 3-,
所以k≤2ln 3-.
综上,实数k的取值范围为∪(1,+∞).
10.答案 2π
解析 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高h=,0体积V=.
令t=r2,则t∈(0,9),令f(t)=(9-t)t2,t∈(0,9),则f '(t)=-3t2+18t=-3t(t-6),
当t∈(0,6)时, f '(t)>0, f(t)单调递增,当t∈(6,9)时, f '(t)<0, f(t)单调递减,
所以当t=6,即r=时, f(t)取得最大值,即V取得最大值,
此时Vmax=π.
11.解析 (1)设AA1,BB1都与MN垂直,A1,B1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120.
所以桥AB的长度为120米.
(2)以O为原点,OO'所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元,
则f(x)=k
=k(0f '(x)=kx(x-20),
令f '(x)=0,得x=20.
当x变化时, f '(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,20) 20 (20,40)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=20时, f(x)取得极小值,也是最小值.
故当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
12.C 设切点坐标为(t,ln t)(t>0),
由y=ln x得y'=,∴切线斜率k=,∴曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线方程为y=(x-t)+ln t=x+ln t-1.
∵切线过点(a,b),∴b=+ln t-1,
∵过点(a,b)可以作曲线y=ln x的两条切线,
∴令g(t)=+ln t-1,则直线y=b与g(t)的图象有两个不同的交点,
易得g'(t)=-(t>0),
当a≤0时,g'(t)>0,∴g(t)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
当a>0时,若t∈(0,a),则g'(t)<0,若t∈(a,+∞),则g'(t)>0,
∴g(t)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴g(t)min=g(a)=1+ln a-1=ln a,∴b>ln a,即eb>a,又a>0,∴eb>a>0.故选C.
13.C ∵2(ex+2mx)+8≥x2+4m2,
∴2ex+4mx-x2≥4m2-8(x≥0),
设f(x)=2ex+4mx-x2,则f '(x)=2ex+4m-2x,
设h(x)=2ex+4m-2x,则h'(x)=2ex-2=2(ex-1),易知h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴f '(x)在[0,+∞)上单调递增,且f '(0)=2+4m,
当m≥-时, f '(0)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=f(0)=2,∴2≥4m2-8,即m2≤,得-≤m≤.
当m<-时, f '(0)<0,易知当x→+∞时, f '(x)→+∞,故存在x0使f '(x0)=0,即2+4m-2x0=0,即2m=x0-,
当x∈(0,x0)时, f '(x)<0,当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,
∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=f(x0)=2,
∴2≥4m2-8=(x0-)2-8 2(1-x0)≥-8 -8≤0,即(+2)≤0,∴≤4,即x0≤ln 4,
设g(x)=x-ex,则g'(x)=1-ex,易知g'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,
∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴2m=x0-≥ln 4-4,∴ln 2-2≤m<-.
综上可得,ln 2-2≤m≤.故选C.
14.A 由ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,得xex-a(ln x+x+1)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
当a=0时,上式显然成立.
当a≠0时,令f(x)=xex-a(ln x+x+1),x∈(0,+∞),
则f '(x)=ex+xex-a,
当a<0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x→0+时, f(x)→-∞,不合题意.
当a>0时,由f '(x)=0,得ex=,
画出y=ex和y=的图象,如图所示,
由图象可知,存在x0,使得,所以,得x0+ln x0=ln a,
当0x0时, f '(x)>0,
所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
所以当x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值,
所以f(x)min=f(x0)=x0-a(ln x0+x0+1)
=a-a(ln a+1)=-aln a,
由-aln a≥0,得ln a≤0,得0综上,0≤a≤1.故选A.
15.答案 ln 2+1
解析 ∵4logab+logba=4,a,b∈(0,1)∪(1,+∞),
∴4logab+,即a=b2,
所以=ln b+,
令f(x)=ln x+,x∈(0,+∞),
则f '(x)=,
所以当02时, f '(x)>0,
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=ln 2+1,
所以的最小值为ln 2+1.
16.答案 (2e-4,+∞)
解析 根据题意可知,若g(x)在区间D上为“M函数”,则2g(x)min>g(x)max,且g(x)min>0.
因为f(x)在区间上为“M函数”,
所以2f(x)min>f(x)max,且f(x)min>0.
因为f(x)=-ln x+k=1--ln x+k,所以f '(x)=,
令f '(x)<0,得10,得≤x<1,
所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=k.
易知f+k=2+k-e, f(e)=1--ln e+k=k-,
则f<0,即f所以解得k>2e-4,所以实数k的取值范围为(2e-4,+∞).
17.解析 (1)a=1时, f(x)=ln x-(x>0),
则f '(x)=,
当00, f(x)单调递增;
当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以当x=1时, f(x)取得极大值,也是最大值,为f(1)=0.
(2)证明:由(1)知,a=1时, f(x)=ln x-在(1,+∞)上单调递减,
当x>1时, f(x)令x=,n∈N*,则ln<0,
即-1>2ln(n+1)-2ln n,所以>2ln(n+1)-2ln n,
令bn=2ln(n+1)-2ln n,n∈N*,则an>bn,
所以a1+a2+…+an>b1+b2+…+bn,
即Sn>2ln 2-2ln 1+2ln 3-2ln 2+…+2ln(n+1)-2ln n=2ln(n+1).
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