本章复习提升-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　对导数的定义理解不够准确致错
1.设函数f(x)=aex-2x2.若存在x0∈(0,1),使得>0成立,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错
2.已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线l1的方程为　　　　　;若曲线y=f(x)的某一切线l2与直线l3:y=-x+1垂直,则切点坐标为　　　　　　　　.
3.过点P(1,-3)作曲线f(x)=2x3-3x的切线,请写出切线的方程:　　　　　　　　　　.
易错点3　对复合函数的求导法则理解不透致错
4.已知函数f(x)在R上可导,F(x)=f(x3-1)+f(1-x3),则F'(1)=　　　　.
5.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为　　　　.
易错点4　条件的等价转换不准确致错
6.已知函数f(x)=x3-x2+ax+1在区间[0,2]上单调递增,则实数a的最小值为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
7.(多选题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是(　　)
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点
D.f(x)的单调递增区间是∪[1,+∞)
易错点5　利用导数研究函数时忽视定义域致错
8.已知函数f(x)=ln x-x2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.
思想方法练
一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用
1.已知函数f(x)=(2-a)ln x++2ax(a≠0,a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a<0时,讨论函数f(x)的极值.
二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用
2.若关于x的不等式ax(eax+2)≥(x+2)ln x对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值为(　　)
A.
3.已知函数f(x)=ax-1-ln x,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)与函数g(x)=ex-ax-1有相同的最小值,求a的值;
(3)证明:对于任意正整数n,三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用
4.已知函数f(x)的导函数为f '(x),且对任意的实数x都有f '(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-e,0)　　　　　B.[-e2,0) C.(-e,0]　　　　　D.(-e2,0]
5.已知函数f(x)=x2+(a-m-1)x-axln x.
(1)若m=-1, f(x)在其定义域内不单调,求a的取值范围;
(2)若a=2,m<0,函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1答案与分层梯度式解析
易混易错练
1.答案　(1,+∞)
解析　由>0得>0,
即-1>0,即f '(x0)-1>0,
由f(x)=aex-2x2得f '(x)=aex-4x,
若存在x0∈(0,1),使得f '(x0)-1>0成立,
即存在x0∈(0,1),使得a-4x0-1>0成立,
即存在x0∈(0,1),使得a>成立,
设h(x)=,x∈(0,1),则h'(x)=,
令h'(x)==0,解得x=,
当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
又h(0)=1,h(1)=,
所以h(x)∈(1,4],则a∈(1,+∞).
易错警示　利用导数的定义求函数的导数时,要注意定义的形式,Δy是函数值的差,Δx是相应自变量的差,要保证Δx,Δy中变量的对应.
2.答案　y=2x-8;(1,-5)或(-1,-11)
解析　由题意得f'(x)=3x2+2,当x=0时,f'(0)=2,所以切线l1的斜率k=2,故切线l1的方程为y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8.
由直线l3的斜率为-,得切线l2的斜率为5,令f'(x)=3x2+2=5,解得x=±1,易求得f(1)=-5, f(-1)=-11,故切点坐标为(1,-5)或(-1,-11).
3.答案　3x+y=0或21x-2y-27=0
解析　由题意得f '(x)=6x2-3,设切点坐标为(a,2a3-3a),
则切线的斜率为f '(a)=6a2-3,故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a),
因为切线过点(1,-3),
所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a),
所以a=0或a=,则切点坐标为(0,0)或,
故切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0.
易错警示　求曲线的切线方程时,要看清是求“曲线在某点处的切线方程”,还是求“过某点的曲线的切线方程”,前者所求得的切线有且只有一条,此点恰好为切点,而后者所求得的切线有一条或多条,此点可能是切点,也可能不是切点,因此需要设出切点坐标进行求解.
4.答案　0
解析　由已知得F(x)=f(x3-1)+f(1-x3)在R上可导,
所以F'(x)=3x2f '(x3-1)-3x2f '(1-x3),
则F'(1)=3f '(0)-3f '(0)=0.
易错警示　求复合函数的导数时,要注意看函数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合函数的求导法则进行计算.
5.答案　
解析　依题意得y'=e-2x×(-2)=-2e-2x,
当x=0时,y'=-2e-2×0=-2,
故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.
在平面直角坐标系中画出直线y=-2x+2和y=x,如图所示,
易知直线y=-2x+2与y=x的交点A的坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点B的坐标是(1,0),
故直线y=0,y=x和y=-2x+2所围成的三角形AOB的面积等于.
6.B　因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f '(x)=x2-2x+a≥0在区间[0,2]上恒成立,
即-a≤x2-2x=(x-1)2-1恒成立,
设g(x)=(x-1)2-1,x∈[0,2],
当x=1时,g(x)min=-1,所以-a≤-1,则a≥1,
所以实数a的最小值为1.故选B.
易错警示　设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导:(1)若f '(x)>0,则f(x)在此区间内单调递增,若函数f(x)在此区间内单调递增,则f '(x)≥0;(2)若f '(x)<0,则f(x)在此区间内单调递减,若函数f(x)在此区间内单调递减,则f '(x)≤0.
7.BC　由题意得f '(x)=3x2+2ax+b,
∵f(x)在x=1处取得极值10,
∴
当a=4,b=-11时, f '(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),
则当x∈∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈时, f '(x)<0,
∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
∴x=1是f(x)的极小值点,满足题意;
当a=-3,b=3时, f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
则f(x)在R上单调递增,不符合题意.
综上所述,a=4,b=-11.
对于A,B,a+b=4-11=-7,A错误,B正确;
对于C,x=-和x=1分别为f(x)的极大值点和极小值点,C正确;
对于D,当a=4,b=-11时, f(x)=x3+4x2-11x+16,
∵f(-4)=-64+64+44+16=60, f(1)=1+4-11+16=10,
∴f(-4)>f(1),即f(x)不满足在∪[1,+∞)上单调递增,
f(x)的单调递增区间应为和[1,+∞),D错误.
故选BC.
易错警示　若f'(x0)存在,则“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.可导函数的极值点一定是导数为零的点,而在某点处导数为零仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是该点两侧附近的导数异号.
8.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=(x>0),
令f '(x)>0,得1-2x2>0,所以0令f '(x)<0,得1-2x2<0,所以x>,则f(x)的单调递减区间为.
(2) f(x)≤(a-2)x恒成立等价于a-2≥恒成立,设h(x)=,则h'(x)=,
设m(x)=1-x2-ln x,则m'(x)=-2x-(x>0),易知m'(x)<0,
∴m(x)在(0,+∞)上单调递减,
又∵m(1)=0,∴当x∈(0,1)时,m(x)>0,即h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,m(x)<0,即h'(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,
∴h(x)≤h(1)=-1,∴a-2≥-1,∴a≥1,
故a的取值范围是[1,+∞).
易错警示　利用导数求函数f(x)的单调区间,要先求函数的定义域D,再求导数f '(x),进而解不等式f '(x)>0(或f '(x)<0)得到解集P,定义域与不等式解集的交集D∩P才是函数的单调递增(减)区间.
思想方法练
1.解析　(1)由题意得f '(x)=(a≠0,a∈R,x>0),
令f '(x)=0,得x=或x=-.
(方程f '(x)=0的解含有参数,应考虑解是否在函数的定义域内,需要对解与0的大小关系进行分类讨论,还需要比较两个解的大小关系)
①当-<0,即a>0时,
令f '(x)>0,得x>,函数f(x)单调递增,
令f '(x)<0,得0②当0<-,即a<-2时,
令f '(x)>0,得-,函数f(x)单调递增,
令f '(x)<0,得0,函数f(x)单调递减;
③当-,即-2令f '(x)>0,得,函数f(x)单调递增,
令f '(x)<0,得0-,函数f(x)单调递减;
④当-,即a=-2时, f '(x)≤0恒成立,函数f(x)单调递减.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减;
当a<-2时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减;
当-2当a=-2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(2)若a<0,由(1)得
(根据第(1)问,利用函数的单调性讨论函数的极值)
当a<-2时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)的极小值为f=(a-2)ln(-a)-a-2,
极大值为f+2+a=(a-2)ln 2+2+a;
当-2所以f(x)的极小值为f=(a-2)ln 2+2+a,
极大值为f=(a-2)ln(-a)-a-2;
当a=-2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值.
2.B　令f(x)=(x+2)ln x,则f '(x)=ln x++ln x+1.
令g(x)=+ln x+1,则g'(x)=(x>0),
令g'(x)=0,可得x=2,
当0当x>2时,g'(x)>0,所以g(x)在(2,+∞)上单调递增.
所以g(x)在x=2处取得唯一极小值,也是最小值,且g(2)=ln 2+2>0,
所以g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f '(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由ax(eax+2)≥(x+2)ln x可知, f(eax)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
所以eax≥x对任意的x∈(0,+∞)恒成立.
(通过变形,利用同构,将不等式恒成立问题进行转化)
两边同时取对数,可得ax≥ln x对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
即a≥对任意的x∈(0,+∞)恒成立,只需a≥即可.
(将不等式两边同时取对数,然后参变分离,转化为求函数的单调性和最值问题)
令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=,
令h'(x)=0,可得x=e,
当00,所以h(x)在(0,e)上单调递增;
当x>e时,h'(x)<0,所以h(x)在(e,+∞)上单调递减.
所以h(x)在x=e处取得唯一极大值,也是最大值,且h(e)=,
所以a≥,故a的最小值为.
故选B.
3.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=a-,
①当a≤0时, f '(x)<0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当a>0时,令f '(x)=0,则x=,
当x∈时, f '(x)<0,
∴f(x)在上单调递减,
当x∈时, f '(x)>0,
∴f(x)在上单调递增.
综上,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)结合(1)得a>0,且f(x)min=f=ln a,
g'(x)=ex-a,令g'(x)=0,则x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
当x∈(ln a,+∞)时,g'(x)>0,
∴g(x)在(ln a,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(ln a)=a-aln a-1.
∵函数f(x)与函数g(x)有相同的最小值,
∴ln a=a-aln a-1,即ln a-=0,
令h(x)=ln x-,则h'(x)=(x>0),
(将已知条件转化为方程问题,进一步转化为研究函数的单调性,证明解的唯一性)
∴h'(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵h(1)=0,∴a=1.
(3)证明:要证即证ln=ln+…+ln<1.
结合(1)得,当a=1时,f(x)min=f(1)=0,∴ln x≤x-1,
令x=1+,则ln,
∵,
∴ln,
∴ln+…+ln+…+,
(将要证明的不等式两边同时取对数,然后将不等式的左边变形为裂项相消的形式)
又1-+…+ln=ln<1,
故思想方法　转化与化归思想在用导数解决函数问题中常见的运用:将含参问题转化为不含参问题,将函数的单调性问题转化为不等式恒(能)成立问题,将不等式恒(能)成立及方程问题转化为函数的最值问题等.
4.C　由f '(x)=-f(x),得ex[f '(x)+f(x)]=2x+3,得[exf(x)]'=2x+3,
所以exf(x)=x2+3x+c(c为常数),所以f(x)=.
因为f(0)=1,所以f(0)==c=1,所以f(x)=,
所以f '(x)=.
令f '(x)>0,得-2令f '(x)<0,得x<-2或x>1,此时f(x)单调递减,
所以当x=1时, f(x)取得极大值,为f(1)=,
当x=-2时, f(x)取得极小值,为f(-2)=-e2<0,
又f(-1)=-e<0, f(0)=1>0, f(-3)=e3>0,且x>1时, f(x)>0,
所以f(x)的图象如图所示.
将f(x)-m<0的解集中恰有两个整数转化为f(x)=
的图象在直线y=m下方的部分只有2个横坐标为整数的点,结合图象列关系式求解.
结合函数图象可得f(-1)故实数m的取值范围是(-e,0].故选C.
5.解析　(1)当m=-1时, f(x)=x2+ax-axln x,则f '(x)=x-aln x(x>0).
令f '(x)=0,显然x=1不是该方程的解,故a=,令g(x)=,则g'(x)=(x>0且x≠1),
当x∈(0,1)∪(1,e)时,g'(x)<0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
当x∈(0,1)时,g(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g(x)≥g(e)=e.
因为函数f(x)在定义域内不单调,所以方程a=有解,所以a<0或a≥e.
当a=e时,令m(x)=f '(x)=x-eln x,则m'(x)=1-,
当0当x>e时,m'(x)>0,m(x)在(e,+∞)上单调递增,
故m(x)≥m(e)=0,即f '(x)≥0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意,
故a<0或a>e.
(2)证明:当a=2时, f(x)=x2+(1-m)x-2xln x,则f '(x)=x-1-2ln x-m.
因为函数f(x)有两个极值点,所以f '(x)=0有两个不同的解,
设h(x)=x-1-2ln x,则h(x)的图象与直线y=m有两个交点,且这两个交点的横坐标分别为x1,x2(x1易得h'(x)=1-,令h'(x)=0,得x=2.
当02时,h'(x)>0,
所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故h(x)min=h(2)=1-2ln 2,又当x→0+时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以h(x)的图象如图所示,
由图可知1-2ln 2(利用导数研究h(x)的性质,从而得到h(x)的图象,借助图象直观求解)
令h(x)=0,得x=1或x=x0(x0>1).
设P(1,0),Q(x0,0),
因为h(3)=3-1-2ln 3<0,h(4)=4-1-2ln 4>0,所以x0∈(3,4),
设函数y=h(x)的图象在点P处的切线为l1,在点Q处的切线为l2,则l1:y=-(x-1),l2:y=(x-x0).
设直线y=m与直线l1,l2的交点的横坐标分别为x3,x4,则x3=1-m,x4=+x0,
所以x2-x1因为x0-2∈(1,2),m<0,
所以+2+2m+1=3(m+1),
即x2-x1<3(m+1).
思想方法　在本章中,利用导数的几何意义解题、研究函数的单调性与极值、求函数的零点或方程的根的个数问题等,往往都会利用数形结合思想,借助相应函数的图象直观求解.
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