专题强化练6 构造法在导数中的应用-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题强化练6　构造法在导数中的应用
1.若函数f(x)的定义域为R,且f '(x)>1,则不等式f(x)-f(2)>x-2的解集为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(-∞,1) C.(2,+∞)　　　　D.(-∞,2)
2.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, f '(x),g'(x)为其导函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,且g(-3)=0,则使不等式f(x)g(x)<0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪(3,+∞)　　　　B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,3)　　　　D.(0,3)∪(6,+∞)
3.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,当x>0时,xf '(x)+2f(x)>0,则(　　)
A.f(-2)<4f(1)　　　　B.f(-2)>4f(1)
C.f(-2)<
4.定义在R上的函数f(x)的导函数是f '(x),3f(x)+xf '(x)<0,函数y=f(x+1)+2 022为奇函数,则x3f(x)+2 022>0的解集为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,-1) C.(1,+∞)　　　　D.(-1,+∞)
5.定义在R上的函数f(x)的导函数为f '(x),对任意x∈R,n∈N*,都有nf(x)+xf '(x)>0成立,则下列结论成立的是(　　)
A.当n为偶数时,y=xnf(x)在R上为增函数
B.当n为偶数时,存在x0使得f(x0)<0
C.当n为奇数时,y=xnf(x)在R上为增函数
D.当n为奇数时,存在x0使得f(x0)<0
6.定义max{a,b}=对于任意实数x>0,y>0,则min的值是(　　)
A.
7.若函数f(x)的定义域为R,满足f(0)=2, x∈R,都有f(x)+f '(x)>1,则f(x)>e-x+1的解集为(　　)
A.{x|x>1}　　　　B.{x|x>e} C.{x|x<0}　　　　D.{x|x>0}
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)是函数f(x)的导函数,若f(1)=e,且xf '(x)-(1+x)f(x)>0,则f(ln x)A.(0,e)　　　　B.(e,+∞)　　　　C.(1,e)　　　　D.(0,1)
9.(多选题)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)f '(x)>f(x),则下列不等式一定成立的是(　　)
A.3f(4)<4f(3)　　　　B.4f(4)>5f(3)
C.3f(3)<4f(2)　　　　D.3f(3)>4f(2)
10.(多选题)已知函数f(x)的定义域是R, f '(x)是f(x)的导函数,若对任意的x∈R,都有xf '(x)+f(x)>xf(x),则(　　)
A.f(1)<0 B.ef(1)<2f(2)
C.f(ln 2)0
11.函数f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f '(x),且f =0,当0答案与分层梯度式解析
1.C　构造函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f '(x)-1>0,所以g(x)在R上单调递增.
由f(x)-f(2)>x-2,得f(x)-x>f(2)-2,即g(x)>g(2),得x>2.故选C.
2.B　因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
令h(x)=f(x)·g(x),
则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),
故h(x)=f(x)·g(x)为R上的奇函数,
易得h'(x)=f '(x)·g(x)+f(x)·g'(x),
则当x<0时,h'(x)<0,
所以h(x)=f(x)·g(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以奇函数h(x)在(0,+∞)上也单调递减,
又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0,
所以当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选B.
3.D　令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f '(x)=x[2f(x)+xf '(x)],由已知得g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(1)又因为函数f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(1)<4f(-2),即f(-2)>.故选D.
4.A　设g(x)=x3f(x)+2 022,则g'(x)=3x2f(x)+x3f '(x)=x2[3f(x)+xf '(x)],由题意知3f(x)+xf '(x)<0,故g'(x)≤0,
当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)单调递减.
又因为函数y=f(x+1)+2 022为奇函数,所以f(1)+2 022=0,即g(1)=0,
由x3f(x)+2 022>0得g(x)>g(1),得x<1,
所以x3f(x)+2 022>0的解集为(-∞,1),故选A.
5.C　因为对任意x∈R,n∈N*,都有nf(x)+xf '(x)>0,
所以nf(0)+0>0,所以f(0)>0,
令F(x)=xnf(x),
则F'(x)=nxn-1f(x)+xnf '(x)=[nf(x)+xf '(x)]xn-1,
当n为奇数时,F'(x)≥0,故F(x)=xnf(x)在R上为增函数,
∵F(0)=0,∴当x>0时,F(x)>0,则f(x)>0;
当x<0时,F(x)<0,则f(x)>0,∴f(x)恒大于0.
当n为偶数时,若x>0,则F'(x)>0,
则F(x)在(0,+∞)上单调递增,且F(x)>0,则f(x)>0;
当x<0时,F'(x)<0,则F(x)在(-∞,0)上单调递减,
且F(x)>0,故f(x)>0,∴f(x)恒大于0.
故选C.
6.A　设max=M,则M≥2x,M≥3y,M≥,
得3M≥2x+,
设f(x)=x+(x>0),则f '(x)=1-,
令f '(x)<0,得00,得x>,
所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(,即f(x)≥,
得f(2x)≥, f(3y)≥,
所以3M≥2x+=f(2x)+f(3y)≥,
得M≥,即min.
故选A.
7.D　因为f(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,所以exf(x)+exf '(x)-ex>0,
构造函数F(x)=ex[f(x)-1],则F'(x)=exf(x)+exf '(x)-ex=ex[f(x)+f '(x)-1]>0,
所以F(x)在R上单调递增,因为f(0)=2,所以F(0)=1,
所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0),
因为F(x)在R上单调递增,所以x>0,所以不等式f(x)>e-x+1的解集为{x|x>0},故选D.
8.C　令g(x)=,x>0,则g'(x)=.
因为xf '(x)-(1+x)f(x)>0,所以g'(x)>0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.易得g(ln x)=,因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以ln x>0,解得x>1,所以不等式f(ln x)1可得19.BD　设h(x)=,x∈(0,+∞).
则h'(x)=.
因为(x+1)f '(x)>f(x),所以h'(x)>0,
则函数h(x)=在(0,+∞)上单调递增,
所以h(4)>h(3),即,即4f(4)>5f(3).
h(3)>h(2),即,即3f(3)>4f(2),无法比较3f(4)与4f(3)的大小,故B、D正确.故选BD.
10.BC　设g(x)=e-x·xf(x),x∈R,则g'(x)=e-x[xf '(x)+f(x)-xf(x)],由已知得g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.
由g(x)单调递增知f(1)=g(1)>g(0)=0,从而f(1)>0,A错误;
由g(x)单调递增知f(2),从而ef(1)<2f(2),B正确;
由g(x)单调递增知ln 2·f(ln 2)=g(ln 2)当x<0时,2xg(2x)=e-2x·2xf(2x),从而exf(x)<2f(2x),即exf(x)-2f(2x)<0,D错误.故选BC.
11.答案　
解析　令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),
则g'(x)=,
由已知得,当0所以函数g(x)在(0,π)上单调递减,
因为函数f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),
则g(-x)==g(x),
又g(x)的定义域为(-π,0)∪(0,π),
所以函数g(x)为偶函数,
又f=0,所以g=0,
则当-0,
当-π由f(x)<0,得
解得所以f(x)<0的解集为.
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