专题强化练7 利用导数研究函数的零点-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题强化练7　利用导数研究函数的零点
1.已知关于x的方程axex+x=1-ln x有解,则实数a的取值范围为(　　)
A.
C.
2.函数f(x)=ex,则方程f(x)=4+1的解的个数为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
3.函数f(x)=|2x-m|-|ln x|有且只有一个零点,则m的取值可以是(　　)
A.2　　　　B.1　　　　
C.3　　　　D.e
4.已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-ln x,若f(x)有两个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.　　　　
C.(1,e)　　　　D.
5.(多选题)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),若F(x)=f(x)+f(-x),且F(x)有四个零点,则实数m的取值可以为(　　)
A.1　　　　B.e　　　　C.2e　　　　D.3e
6.已知函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(a∈R)有两个零点,则a的取值范围是　　　　.
7.已知函数f(x)=ax-ex+1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)讨论f(x)的零点个数.
8.已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).
(1)若x∈,讨论f(x)的零点个数;
(2)若x1,x2是函数g(x)=f '(x)+(f '(x)为f(x)的导函数)的两个不同的零点,且x1答案与分层梯度式解析
1.A　关于x的方程axex+x=1-ln x有解,即a=有解,令f(x)=,x>0,
则f '(x)=,x>0,
令g(x)=x-2+ln x,x>0,则g'(x)=1+>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=-1<0,g(2)=ln 2>0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即x0-2+ln x0=0,
当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f '(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f '(x)>0,
所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=x0处取得极小值,也是最小值,由x0-2+ln x0=0,可得x0=e2,
所以f(x0)=.
所以a≥-.故选A.
方法技巧　利用导函数处理零点个数问题,涉及多类问题特征(包括单调性,特殊位置的函数值符号,隐零点的探索,参数的分类讨论等),已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程,得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解;
(4)分类讨论法:通过对函数求导,根据参数分类讨论函数的单调性和最值,结合函数简图进行推理求解.
2.C　f(x)=ex,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
f '(x)=,
令f '(x)>0,解得x<0或x>;令f '(x)<0,解得0因此函数f(x)=在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,
故f(x)在x=0处取得极大值,为f(0)=1,在x=处取得极小值,为f,
又当x<0时, f(x)>0,当x=时, f(x)=0,因此函数y=f(x)的大致图象如图所示,
因为4,所以直线y=4+1与y=f(x)的图象有2个交点,故方程f(x)=4+1有2个解.
故选C.
3.B　f(x)=|2x-m|-|ln x|=0 m-2x=ln x或m-2x=-ln x,
令h(x)=2x+ln x,x>0,显然h(x)单调递增,
令g(x)=2x-ln x(x>0),
则g'(x)=2-,当0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g=1+ln 2,
令2x+ln x=2x-ln x,得x=1,在同一平面直角坐标系中作出h(x),g(x)的图象,如图所示,
因为f(x)=|2x-m|-|ln x|有且只有一个零点,所以m=h(x),m=g(x)的根的个数之和为1,由图可知m<1+ln 2,对比选项可知m的取值可以是1.故选B.
4.A　由f(x)=ax2+(a-2)x-ln x,得f '(x)=2ax+a-2-,x∈(0,+∞),
当a≤0时, f '(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,此时f(x)至多有一个零点.
当a>0时,令f '(x)=0,得x=,当x∈时, f '(x)<0;当x∈时, f '(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
此时最小值为f+ln a,
①当a=1时,f=0,故f(x)只有一个零点;
②当a>1时,f>0,故f(x)没有零点;
③当00,
f+(a-2)·>0,所以由函数零点存在定理知f(x)在上有一个零点,在上有一个零点.
综上,a的取值范围为(0,1).故选A.
5.CD　由F(x)=f(x)+f(-x),可得F(x)=F(-x),
又定义域关于原点对称,故F(x)为偶函数,
由题意可得,当x>0时,F(x)有两个零点,
当x>0时,-x<0, f(-x)=ex-2mx+m,
即当x>0时,F(x)=ex(x-1)+ex-2mx+m=xex-2mx+m,令F(x)=0,可得xex-2mx+m=0,
则问题等价于关于x的方程xex-2mx+m=0(x>0)有两个不相等的实根,等价于函数y=xex的图象与直线y=2mx-m在(0,+∞)上有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系内作出y=xex的图象与直线y=2mx-m,如图.
设函数y=xex的图象与直线y=m(2x-1)相切时的切点为(t,tet),t>0,
易知y=xex的导数为y'=(x+1)ex,可得切线的斜率为(t+1)et,故切线的方程为y-tet=(t+1)et(x-t),
由切线经过点,可得-tet=(t+1)et,
解得t=1或t=-(舍去),即切线的斜率为2e,
故2m>2e,所以m>e.结合选项可知选CD.
6.答案　(1,+∞)
解析　由f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(a∈R)得f '(x)=2e2x+(1-2a)ex-a=(ex-a)(2ex+1).
当a≤0时, f '(x)>0, f(x)在R上单调递增,所以f(x)至多有一个零点.
当a>0时,由f '(x)<0可得x0可得x>ln a,故函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
所以当x=ln a时, f(x)取得极小值,也是最小值,
即f(x)min=f(ln a)=a-a2-aln a=a(1-a-ln a).
因为f(x)有两个零点,所以必有f(x)min<0.
令h(a)=1-a-ln a,a∈(0,+∞),则h'(a)=-1-<0,所以h(a)在(0,+∞)上单调递减.
又h(1)=0,所以要使f(x)min<0,即h(a)<0,则a>1.
又因为f(-1)=>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上有一个零点.
f(ln(3a))=3a2+3a-aln(3a)=a[3a+3-ln(3a)]=a[(3a-1)-ln(3a)+4].
令g(x)=x-1-ln x,x∈(3,+∞),则g'(x)=1->0,所以g(x)在(3,+∞)上单调递增,
因为a>1,所以3a>3,所以g(3a)=3a-1-ln(3a)>g(3)>0,所以f(ln(3a))=a[3a+3-ln(3a)]=a[g(3a)+4]>0.
所以f(x)在(ln a,+∞)上也有一个零点.
综上所述,a的取值范围是(1,+∞).
7.解析　(1)∵f(x)=ax-ex+1,∴f '(x)=a-ex+1.
当a≤0时, f '(x)<0恒成立, f(x)在R上单调递减.
当a>0时,令f '(x)>0,得xln a-1,∴f(x)在(-∞,ln a-1)上单调递增,在(ln a-1,+∞)上单调递减.
综上所述,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在(-∞,ln a-1)上单调递增,在(ln a-1,+∞)上单调递减.
(2)令f(x)=0,得ax-ex+1=0,
当x=0时,方程不成立,∴0不是f(x)的零点,
当x≠0时,a=,令g(x)=,则g'(x)=,
当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,且g(x)<0.
当0∴g(x)>g(1)=e2,
当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)>g(1),即g(x)>e2,
∴当a>e2时,直线y=a与函数g(x)=的图象有两个交点,即函数f(x)有两个零点,
当a=e2时,直线y=a与函数g(x)=的图象有一个交点,即函数f(x)有一个零点,
当0≤a当a<0时,直线y=a与函数g(x)=的图象有一个交点,即函数f(x)有一个零点.
综上所述,当a∈(e2,+∞)时,函数f(x)有两个零点;当a∈(-∞,0)∪{e2}时,函数f(x)有一个零点;当a∈[0,e2)时,函数f(x)没有零点.
8.解析　(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
令f(x)=0,得a=,
令h(x)=,则h'(x)=,
令h'(x)=0,得x=e,
当x∈时,h'(x)>0,当x∈(e,e2]时,h'(x)<0,
故h(x)在上单调递增,在(e,e2]上单调递减,
又h(e)==-2e2,所以h(x)在上的大致图象如图所示,
当a<-2e2或a>时,直线y=a与函数y=h(x)的图象在上无交点,即f(x)在上无零点;
当-2e2≤a<或a=时,直线y=a与函数y=h(x)的图象在上有1个交点,即f(x)在上有1个零点;
当≤a<时,直线y=a与函数y=h(x)的图象在上有2个交点,即f(x)在上有2个零点.
(2)证明:由题意知g(x)=a-,
因为x1,x2是函数g(x)=f '(x)+的两个不同的零点,
所以x1,x2是ax2-x+a=0的两个不同的正实数根,
故得0当x∈(x1,x2)时,ax2-x+a<0,
故g(x)=f '(x)+在(x1,x2)上满足g(x)<0,又'=f '(x)+,
所以f(x)-在(x1,x2)上单调递减,
又x1故即证f(x1)-即证x2-x1-f(x1)+f(x2)+>0,
x2-x1-f(x1)+f(x2)+
=x2-x1-ax1+ln x1+ax2-ln x2+
=(a+1)(x2-x1)-ln+a·
=2a(x2-x1)+(x2-x1)-ln
=,
令t=,则t>1,设m(t)=-ln t,
则m'(t)=>0,故m(t)=-ln t在(1,+∞)上单调递增,故m(t)>m(1)=0,即x2-x1-f(x1)+f(x2)+>0成立,故原不等式得证.
2