专题强化练8 利用导数研究恒(能)成立问题-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题强化练8　利用导数研究恒(能)成立问题
1.若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为(　　)
A.+2　　　　C.4　　　　D.e2-1
2.若对于任意正数x,y,不等式x(1+ln x)≥xln y-ay恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.
3.已知函数f(x)=xe|x|,若 x∈[a,a+1],不等式f(x2+a)≤2e|x|f(x)恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.
C.
4.已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≤ax+a-在R上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[]
C.[]
5.若关于x的不等式(e-1)(ln x+ax)≥xeax-1在x∈内有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,2+2ln 2]　　　　B.
C.(0,4]　　　　D.
6.若存在x∈[1,+∞),使得关于x的不等式≥e成立,则实数a的最小值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.ln 2-1　　　　D.-1
7.(多选题)已知函数f(x)=x(ln x-a),g(x)=ex(x+1),若对任意的x1∈[1,e],均存在x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),则a的取值可能是(　　)
A.-
8.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,若对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-g(t)>k恒成立,求k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.A　若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则m≤2ln x+x+在x∈上有解,
令y=2ln x+x+,x∈,则y'=,
当x∈时,y'<0,y=2ln x+x+单调递减,
当x∈(1,e]时,y'>0,y=2ln x+x+单调递增,
又当x=时,y=3e+-2,当x=e时,y=2+e+,
>0,
故函数y=2ln x+x+的最大值是3e+-2,所以m≤3e+-2,故m的最大值为3e+-2.故选A.
方法技巧　对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法:一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件;二是分类讨论法,根据参数取值情况分类讨论;三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数的图象确定条件.
2.C　由x(1+ln x)≥xln y-ay恒成立,且y>0,
分离参数得a≥(ln y-ln x)-,
即a≥,
设t=,则a≥,t∈(0,+∞),
设g(t)=,t∈(0,+∞),则a≥g(t)max.
易得g'(t)=,令g'(t)=0,得t=e2,
当t∈(0,e2)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;
当t∈(e2,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,
所以g(t)max=g(e2)=.
所以a≥.故选C.
3.D　易得f(x)的定义域为R, f(-x)=-xe|x|=-f(x),所以f(x)为奇函数,
当x>0时, f(x)=xex, f '(x)=(x+1)ex>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
因为2e|x|f(x)=2e|x|·xe|x|=2xe2|x|=f(2x),
所以由题意得f(x2+a)≤f(2x)在x∈[a,a+1]上恒成立,即x2+a≤2x在x∈[a,a+1]上恒成立,
即a≤2x-x2在x∈[a,a+1]上恒成立.
设g(x)=2x-x2,x∈[a,a+1],
则
解得a∈.故选D.
4.A　f(x)≤ax+a-在R上恒成立,即函数f(x)的图象恒在直线y=ax+a-的下方或与直线y=ax+a-相切(除切点外f(x)的图象在直线下方).作出函数f(x)的大致图象,如图中实线部分所示.
易知直线y=ax+a-.
当直线y=ax+a-与y=ln(x+1)(x>0)的图象相切时,设切点为P(x0,ln(x0+1)),
对y=ln(x+1)(x>0)求导,得y'=(x>0),所以,解得x0=-1,所以切线的斜率为,即a=.
当直线y=ax+a-与y=-x2-2x-2(x≤0)的图象相切时,ax+a-=-x2-2x-2即x2+(a+2)x+a+=0有两个相等的实数根,
所以Δ=(a+2)2-4a-6=0,解得a=或a=-(舍去).
结合图可知,≤a≤.故选A.
5.A　由(e-1)(ln x+ax)≥xeax-1,得(e-1)ln(xeax)≥xeax-1,
令t=xeax,则t>0,(e-1)ln t≥t-1,即(e-1)ln t-t+1≥0,
由a>0,可得函数t=xeax在x∈(0,+∞)上单调递增,
所以当x∈时,t=xeax∈,
令f(t)=(e-1)ln t-t+1,则存在t∈,使得f(t)≥0,
易得f '(t)=,令f '(t)>0,得0e-1,
所以f(t)在(0,e-1)上单调递增,在(e-1,+∞)上单调递减,
又因为f(1)=0, f(e)=(e-1)ln e-e+1=0,
所以当1≤t≤e时, f(t)≥0,
若存在t∈,使得f(t)≥0成立,
则≤e且ea≥1,
解得0≤a≤2+2ln 2,又a>0,所以a∈(0,2+2ln 2].
故选A.
6.D　≥e两边取对数可得(x+a)·ln≥1①,
令1+=t,则x=,∵x∈[1,+∞),∴t∈(1,2],
则①可转化为ln t≥1,
∵ln t>0,∴a≥,
∴存在x∈[1,+∞),使得关于x的不等式≥e成立等价于存在t∈(1,2],使得a≥成立,故a≥.
令g(x)=,x∈(1,2],
则g'(x)=-
=
=,
令h(x)=(ln x)2-x-+2,x∈(1,2],
则h'(x)=·2ln x-1+,
令φ(x)=2ln x-x+,x∈(1,2],
则φ'(x)=<0,
∴φ(x)在(1,2]上单调递减,∴φ(x)<φ(1)=0,
∴h'(x)<0,∴h(x)在(1,2]上单调递减,
∴h(x)∴g(x)在(1,2]上单调递减,
∴g(x)min=g(2)=-1,
∴a≥-1,故实数a的最小值为-1.
故选D.
7.BC　设f(x)在[1,e]上的值域为A,g(x)在[-1,1]上的值域为B,则A B,
易得g'(x)=(x+2)ex,当x∈[-1,1]时,g'(x)>0,
∴g(x)在[-1,1]上单调递增,∴B=[0,2e].
易得f'(x)=ln x-a+1,当1≤x≤e时,
若a≤1,则f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a,f(x)max=f(e)=e(1-a),即A=[-a,e(1-a)],
∴解得-1≤a≤0,满足条件.
若a≥2,∵ln x+1≤ln e+1=2,∴f'(x)≤0,∴f(x)在[1,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=e(1-a),f(x)max=f(1)=-a,即A=[e(1-a),-a],
∴解得-2e≤a≤1,不满足条件,舍去.
若1∴当x∈[1,ea-1)时,f'(x)<0;当x∈(ea-1,e]时,f'(x)>0,
∴f(x)在[1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(ea-1)=-ea-1<0,不合题意,舍去.
综上所述,-1≤a≤0.故选BC.
8.解析　对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-g(t)>k恒成立,等价于对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-恒成立,
令h(x)=g(x)-=ln x-,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,
故h'(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立,
则对于任意x>0,不等式k≥-恒成立,
令n(x)=-,x>0,则n'(x)=-,
当00,n(x)单调递增;
当x>1时,n'(x)<0,n(x)单调递减,
所以n(x)max=n(1)=-e,
故k≥-e,即k的取值范围为[-e,+∞).
方法技巧　形如f(x)≥g(x)的恒成立问题的求解策略:
1.构造函数法:令F(x)=f(x)-g(x),利用导数求得函数F(x)的单调性与最小值,只需F(x)min≥0恒成立即可;
2.参数分离法:转化为a≥φ(x)或a≤φ(x)恒成立,即a≥φ(x)max或a≤φ(x)min,只需利用导数求得函数φ(x)的单调性与最值即可;
3.数形结合法:结合函数y=f(x)的图象在y=g(x)的图象上或其上方,进而得到不等式恒成立.
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