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5.3 导数在研究函数中的应用
知识点 函数的单调性与导数的关系
5.3.1 函数的单调性
必备知识 清单破
1.函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)
内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.
特别地,如果在区间(a,b)内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较
快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数
的图象就比较“平缓”.
知识辨析
1.若函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减吗
2.“在某个区间上f'(x)>0”是“f(x)在此区间上单调递增”的什么条件
3.由f '(x)>0或f '(x)<0能求得f(x)的单调区间,所以函数f(x)的单调区间只能写成开区间,这种说
法对吗
4.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗
5.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数就越大吗
一语破的
1.不一定.如f(x)= ,可知f'(x)=- <0,但f(x)在定义域上不单调递减.
2.充分不必要条件.在该区间的个别点(如区间端点)处f'(x)=0不会影响f(x)在该区间上的单调性.
3.不对.若函数在单调区间的端点处有意义,则区间写成开区间或闭区间都可以,若无意义,则
只能写成开区间.
4.不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而在某区间上单调时,这个区间可以是函
数单调区间的一个子区间.
5.不是.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值就越大.
关键能力 定点破
定点 1 导函数与原函数图象的关系
导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,图象下
降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负,即原函数的单调递增或递
减.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.
典例 已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,y=f(x)
的图象大致是 ( )
C
解析 当0
∴f(x)在(0,1)上单调递减,∴A、B错误;
当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴D错误.故选C.
1.利用导数判断函数的单调性的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求函数y=f(x)的导数f '(x)(化简);
(3)结合定义域求出导数f'(x)的零点;
(4)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出
函数y=f(x)在定义域内的单调性.
2.含参函数的单调性问题
解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑到参数对单调性的影响,必要时要进行分类讨论,
主要考虑:①含参数的方程f'(x)=0是否有根;②方程f'(x)=0的根是否在定义域内;③方程f'(x)=0
的不同根的大小.
定点 2 利用导数研究函数的单调性
典例 已知函数f(x)= x2- x+ln x,讨论函数f(x)的单调性.
解析 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),
f '(x)=x- + = = .
①若a<0,则f '(x)>0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②若0 时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当a③若a=1,则f '(x)= ≥0,当且仅当x=1时, f '(x)=0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
④若a>1,则当0a时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当 综上所述,当a<0或a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0当a>1时,函数f(x)在 和(a,+∞)上单调递增,在 上单调递减.
已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的值(范围)的两个基本思路:
(1)将问题转化为不等式恒成立问题,具体步骤如下:
①求导;
②将f(x)在(a,b)上单调递增(减)转化为不等式恒成立问题处理,即f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒
成立;
③利用最大(小)值解决不等式恒成立问题;
④注意验证等号是否取到.
(2)利用子区间(子集思想):先求出函数的单调递增(或递减)区间,然后让所给区间是求出的单
调区间的子区间.
定点 3 已知函数的单调性求参数的值(范围)
典例1 已知函数f(x)= 在区间(m,m+2)上单调递减,则实数m的取值范围为 .
解析 f '(x)= = = ,
令f '(x)<0,解得-1则f(x)的单调递减区间为(-1,3),
故(m,m+2) (-1,3),
故 解得-1≤m≤1.
[-1,1]
典例2 (1)已知函数f(x)=ax2+ln(x+1)在区间[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 ;
(2)已知函数f(x)=x3-ax+b的一个单调递增区间为(1,+∞),则实数a的值为 .
3
解析 (1)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,
所以f'(x)=2ax+ ≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即a≤- 对任意x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=- ,x∈[1,+∞),
易得g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
故g(x)min=g(1)=- ,故a≤- .
即实数a的取值范围为 .
(2)由题意得f'(x)=3x2-a.
解法一:由题意可知, f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a=3满足条件,
所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0恒成立,此时, f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>0,令f'(x)≥0,得x≥ 或x≤- .
因为(1,+∞)是函数f(x)的一个单调递增区间,所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“函数在区间(1,+∞)上单调”与“函数的一个单调区间为
(1,+∞)”的区别,其中后者的区间(1,+∞)是函数的一个完整的单调区间,前者的区间(1,+∞)
是函数的一个单调区间的子区间.
1.利用单调性解不等式的关键是构造函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,因此
熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.
(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),即导函数大于某个非零常数
(若a=0,则无须构造),则可构造h(x)=f(x)-ax.
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=ex·f(x).
(4)对于f'(x)-f(x)>0,构造h(x)= .
(5)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=x·f(x);对于xf '(x)+nf(x)>0(n≠0),构造h(x)=xnf(x).
(6)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)= ;对于xf '(x)-nf(x)>0(n≠0),构造h(x)= .
定点 4 构造函数,利用导数证明(解)不等式
(7)对于 >0,分类讨论:①若f(x)>0,则构造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,则构造h(x)=ln[-f(x)].
(8)对于f'(x)+f(x)ln a>0(a>0,a≠1),构造h(x)=axf(x).
(9)对于f'(x)ln x+ >0,构造h(x)=f(x)ln x.
(10)对于f'(x)>f(x)tan x,即f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造h(x)=f(x)cos x.
2.利用导数证明不等式的方法
(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性
或者最值证明F(x)>0.
(2)分别求f(x)min和g(x)max,利用f(x)min>g(x)max证明f(x)>g(x)在区间(a,b)上恒成立(注意f(x)min>g(x)
max是f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立的充分不必要条件).
典例1 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf '(x),则不等式f(x
+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,1)
A
解析 设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),
则g'(x)=f(x)+xf '(x).
∵f(x)<-xf '(x),∴g'(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴ 解得x>1.
将原不等式的两边同乘(x+1),得(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x+1)>g(x2-1),
∴x+12或x<-1(舍去),
∴原不等式的解集为(2,+∞).
典例2 求证:当x>1时, +1> .
证明 由题意可知x-1>0,要证 +1> ,即证 (x-1)>2ln x,即证x- -2ln x>0.
令φ(x)=x- -2ln x,x>1,则φ'(x)=1+ - = >0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,∴φ(x)>φ(1)=0,
即x- -2ln x>0,即原不等式成立.
方法技巧 解决不等式问题,通常先构造新函数,这是很关键的一步,然后利用导数研究这个
新函数的单调性,从而使不等式问题得以解决.5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.函数y=f(x)在定义域内可导,图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f '(x),则不等式f '(x)≤0的解集为( )
A.∪[2,3]
B.
C.∪[1,2]
D.
2.已知函数y=xf '(x)的图象如图所示(其中f '(x)是函数f(x)的导函数),则f(x)的图象大致是( )
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
3.函数f(x)=xex的单调递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
4.已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则f(x)的单调递增区间为( )
A.(2,3) B.(3,4)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
5.若f(x)=xsin x+cos x-1,x∈,则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上是先减后增的有( )
A.y=xln x B.y=
C.y=(x+1)ex D.y=
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
7.已知函数f(x)=+ax+1存在三个单调区间,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4) B.[0,4]
C.(-∞,0)∪(4,+∞) D.(-∞,0]∪[4,+∞)
8.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则( )
A.a∈(-∞,-3] B.a=-3
C.a=3 D.a∈(-∞,3]
9.若函数f(x)=(ax+1)ex在[1,2]上单调递增,则a的取值范围是( )
A.
C. D.[0,+∞)
10.若函数f(x)=x--aln x存在单调递减区间,则实数a的取值范围为( )
A.(2]
C.[-2)
11.若函数f(x)=-ln x在区间上不单调,则实数m的取值范围为( )
A.0C.≤m≤1 D.m>1
题组四 含参函数单调性的讨论
12.已知f '(x)为函数f(x)=(x+a)ln(x+1)的导函数,讨论f '(x)的单调性.
13.已知函数f(x)=ax+,讨论f(x)的单调性.
14.已知函数f(x)=x3+ax2-(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
能力提升练
题组一 利用导数研究函数的单调性及其应用
1.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x,则满足不等式f(x+1)A.(-2,-1)
B.(1,2)
C.∪(1,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f '(x)-f(x)>0,则不等式exf(x+1)>e2f(2x-1)的解集是( )
A.{x|x<4} B.{x|x<3} C.{x|x<2} D.{x|x<1}
3.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f '(x),若xf '(x)+(1-x)f(x)>0恒成立,且f(1)=e, f(4)=e3,则f(2)的取值可能为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.已知实数a,b分别满足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且c=,则( )
A.a5.(多选题)已知函数f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c)(其中a>b>c),则下列结论正确的是( )
A.1C.a+b+c=6 D.abc∈(0,4)
6.如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),那么称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:
①y=ex+1;②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=x3+3x2+3x+1;④y=
其中是“H函数”的是 .(填序号)
7.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f '(x), f '(x)>2, f(2)=4,则不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为 .
8.定义方程f(x)=f '(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”.
(1)设f(x)=sin x-cos x,则f(x)在(0,π)上的“新驻点”为 ;
(2)如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .
题组二 含参函数单调性的讨论
9.已知函数f(x)=ln x+x2,g(x)=(a+1)x.若函数h(x)=f(x)-g(x),讨论h(x)的单调性.
10.已知函数f(x)=x2-ax+ln x,讨论f(x)的单调性.
11.已知函数f(x)=aex-(a+1)x,讨论f(x)的单调性.
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
12.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A.a∈ B.a∈
C.a∈ D.a∈
13.若函数f(x)=cos 2x+3a(sin x+cos x)+(2a-1)x在上单调递减,则a的取值范围为( )
A.
B.
C.∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪
14.(多选题)若函数f(x)=loga|x3-3ax|(a>0且a≠1)在上单调递减,则a的取值可以为( )
A. D.3
15.已知函数f(x)=x-1-aln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)=,若当a<0时,对任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A 由题图知,y=f(x)在和[2,3]上单调递减,所以不等式f '(x)≤0的解集为∪[2,3].故选A.
2.C 由题图可得,当x∈(0,1)时, xf '(x)<0,故f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,xf '(x)>0,故f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈(-1,0)时,xf '(x)>0,故f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(-∞,-1)时,xf '(x)<0,故f '(x)>0, f(x)单调递增.结合选项可知C符合题意.故选C.
3.D f(x)=xex的定义域为R,
f '(x)=ex+xex=ex(1+x),
令f '(x)>0,可得1+x>0,解得x>-1.
故函数f(x)=xex的单调递增区间是(-1,+∞).
故选D.
4.A 由得2易得f '(x)=,
∴当x∈(2,3)时, f '(x)>0;当x∈(3,4)时, f '(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(2,3).故选A.
易错警示 要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故利用导数求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
5.C 易得f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
易得f-1>0, f(0)=0, f-1>0, f(π)=-2<0,
画出f(x)=xsin x+cos x-1在上的大致图象,如图:
由图象可得函数f(x)的零点个数为2.故选C.
6.AD 对于A,y'=1+ln x,当0时,y'>0,因此函数y=xln x在上单调递减,在上单调递增,A符合;
对于B,y'=,当00,当x>e时,y'<0,因此函数y=在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,B不符合;
对于C,y'=(x+2)ex,当x>0时,y'>0,因此函数y=(x+1)ex在(0,+∞)上单调递增,C不符合;
对于D,y'=,当01时,y'>0,因此函数y=在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,D符合.故选AD.
7.C 由f(x)=+ax+1,可得f '(x)=x2+ax+a,
因为函数f(x)存在三个单调区间,所以f '(x)=0有两个不相等的实数根,
则Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4,
即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).故选C.
8.B 由f(x)=ln x+x2+ax得f '(x)=,因为f(x)的单调递减区间是,所以和1是方程=0的两个根,代入得a=-3.经检验满足题意.故选B.
9.B 依题意得f '(x)=(ax+a+1)ex,因为f(x)在[1,2]上单调递增,所以f '(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,即ax+a+1≥0对任意x∈[1,2]恒成立.
因为y=ax+a+1的图象是直线,
所以解得a≥-.故选B.
10.A 由f(x)=x--aln x得f '(x)=1+,因为f(x)存在单调递减区间,所以f '(x)<0在(0,+∞)上有解,即a>+x在(0,+∞)上有解,
令g(x)=+x(x>0),则g'(x)=-+1,令g'(x)=0,解得x=(负值舍去),
当0当x>时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g(,故a>2,
故选A.
11.B 函数f(x)=-ln x的定义域为(0,+∞),
且f '(x)=x-,
令f '(x)=0,得x=1(负值舍去),
因为f(x)在区间上不单调,
所以12.解析 由已知得f '(x)=ln(x+1)+,x>-1,
令g(x)=f '(x),
则g'(x)=,
若a≤1,则x+2-a>1-a≥0,从而g'(x)>0,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递增,即f '(x)单调递增.
若a>1,则当-1当x>a-2时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增,即f '(x)单调递增.
综上所述,若a≤1,则f '(x)在(-1,+∞)上单调递增,若a>1,则f '(x)在(-1,a-2)上单调递减,在(a-2,+∞)上单调递增.
13.解析 函数f(x)=ax+的定义域为R,且f '(x)=a-,
当a≤0时,f '(x)<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f '(x)=0,解得x=-ln a,
所以当x<-ln a时, f '(x)<0,当x>-ln a时, f '(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
14.解析 函数f(x)=x3+ax2-(2a+1)x的定义域为R,且f '(x)=x2+2ax-(2a+1)=(x+2a+1)(x-1),
令f '(x)=0,解得x=1或x=-2a-1.
①若1<-2a-1,即a<-1,则当x∈(1,-2a-1)时, f '(x)<0,当x∈(-∞,1)∪(-2a-1,+∞)时, f '(x)>0,
所以f(x)在(1,-2a-1)上单调递减,在(-∞,1),(-2a-1,+∞)上单调递增;
②若1=-2a-1,即a=-1,则f '(x)=(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增;
③若1>-2a-1,即a>-1,则当x∈(-2a-1,1)时, f '(x)<0,当x∈(-∞,-2a-1)∪(1,+∞)时, f '(x)>0,
所以f(x)在(-2a-1,1)上单调递减,在(-∞,-2a-1),(1,+∞)上单调递增.
综上,当a<-1时, f(x)在(1,-2a-1)上单调递减,在(-∞,1),(-2a-1,+∞)上单调递增;
当a=-1时, f(x)在R上单调递增;
当a>-1时, f(x)在(-2a-1,1)上单调递减,在(-∞,-2a-1),(1,+∞)上单调递增.
导师点睛 含参函数的单调性问题,先对求导的结果进行化简,能分解因式的要分解因式,然后根据求导后的有效部分(决定导函数正负的部分)进行分类讨论.
能力提升练
1.D 由|x|-1>0,得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
因为f(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>1时,易知y=lg(|x|-1)=lg(x-1)单调递增,
对于y=2x+2-x,y'=2xln 2+2-xln=(2x-2-x)ln 2,易知2x-2-x>2-2-1=>0,故y'>0在(1,+∞)上恒成立,所以y=2x+2-x在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则由f(x+1)1或x<-2.故选D.
2.C 令g(x)=,x∈R,则g'(x)=>0,
所以g(x)=在R上单调递增,
对不等式exf(x+1)>e2f(2x-1)左右两边同时除以e2x+1,得,即g(x+1)>g(2x-1),
所以x+1>2x-1,解得x<2,所以不等式exf(x+1)>e2f(2x-1)的解集是{x|x<2}.故选C.
3.AB 令g(x)=,x∈R,
则g'(x)=
=>0,
所以g(x)=在R上单调递增,
所以g(1)又f(1)=e, f(4)=e3,
所以1<,所以又e≈2.718,所以2e≈5.436,≈3.694,
结合选项可知f(2)的可能取值为4,5.故选AB.
4.C 由ln(a+1)=0.01,eb=1.01,得a=e0.01-1,b=ln 1.01.
设g(x)=ex-x-1(x∈R),则g'(x)=ex-1,
所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即ex-1≥x,
同理可证ln(x+1)≤x,所以ln(x+1)≤x≤ex-1,
当x=0.01时,可得ln 1.01设f(x)=ln x-(x>0),则f '(x)=,
所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(1.01)>f(1),即ln 1.01->ln 1,整理得ln 1.01>,即b>c,所以c5.BCD 易得f '(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).
令f '(x)>0,得x>3或x<1;令f '(x)<0,得1所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3),又f(0)=0, f(1)=1×(1-3)2=4, f(3)=0,所以f(x)的大致图象如图所示.
设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0b>c,所以0又f(x)-t=(x-a)(x-b)(x-c),所以x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c),
即x3-6x2+9x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,
所以故C正确.
abc=t∈(0,4),故D正确.
因为36.答案 ①②③
解析 x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1)可化为[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,
所以函数f(x)为R上的增函数,所以“H函数”即为增函数.
对于①,y=ex+1显然是增函数,故①符合.
对于②,y'=3-2cos x-2sin x=3-2≥3-2>0,所以函数y=3x-2(sin x-cos x)为R上的增函数,故②符合.
对于③,y'=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以函数y=x3+3x2+3x+1为R上的增函数,故③符合.
对于④,当x>0时,y=ln|x|=ln x,在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,y=ln|x|=ln(-x),在(-∞,0)上单调递减,所以y=不是R上的增函数,故④不符合.
7.答案 (-∞,0)∪(3,+∞)
解析 构造函数g(x)=f(x)-2x,则g'(x)=f '(x)-2>0,所以函数g(x)在R上为增函数,
且g(2)=f(2)-2×2=0.
①当x<0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)<2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)<0,即g(x-1)<0=g(2),
可得x-1<2,解得x<3,此时x<0;
②当x>0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)>2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)>0,即g(x-1)>0=g(2),
可得x-1>2,解得x>3,此时x>3.
综上所述,不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).
8.答案 (1) (2)α<β
解析 (1)由f(x)=sin x-cos x得f '(x)=cos x+sin x,令sin x-cos x=cos x+sin x,得cos x=0,
又x∈(0,π),所以x=,
所以函数f(x)在(0,π)上的“新驻点”为.
(2)由h(x)=x+ex,得h'(x)=1+ex,
令x+ex=1+ex,得x=1,即β=1.
由g(x)=ln(x+1),得g'(x)=,由“新驻点”的定义可得ln(x+1)=,
令φ(x)=ln(x+1)-,x>-1,
则φ'(x)=>0,即函数φ(x)在(-1,+∞)上单调递增,
又φ(0)=-1<0,φ(1)=ln 2-=0,
所以函数φ(x)在(-1,+∞)上存在唯一零点α,且α∈(0,1),所以α<β.
9.解析 由已知得h(x)=f(x)-g(x)=ln x+x2-(a+1)x,x∈(0,+∞),
则h'(x)=.
(1)当a=0时,h'(x)=,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
(2)当a≠0时,令h'(x)=0,则x=1或x=,
①当1=,即a=1时,h'(x)≥0,当x∈(0,+∞)时,h(x)单调递增.
②若1<,即0则当x∈(0,1)和时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
③当1>,即a>1或a<0时,
若a>1,则当x∈和(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
若a<0,则当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
综上,当a≤0时,h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当0当a=1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,h(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.
导师点睛 最高次项的系数含参时,需先讨论最高次项的系数是不是0,再按照两根的大小关系进行讨论,讨论要做到不重不漏,还需注意根与定义域的关系.
10.解析 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x-a+.
当a≤0时, f '(x)>0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,对于y=x2-ax+1,有Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即0②当Δ>0,即a>2时,
f '(x)=,
令f '(x)>0,得0,
令f '(x)<0,得,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≤2时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时, f(x)在上单调递增,在上单调递减.
导师点睛 当有效部分不能因式分解时,按照Δ与0的大小关系进行比较.
11.解析 因为函数f(x)=aex-(a+1)x,x∈R,
所以f '(x)=aex-(a+1),
当a=0时, f '(x)=-1<0,故f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f '(x)>0,得ex>,解得x>ln,
令f '(x)<0,得ex<,解得x当-1≤a<0时,≤0恒成立,此时ex>,即f '(x)<0恒成立,故f(x)在R上单调递减;
当a<-1时,令f '(x)>0,得ex<,解得x,解得x>ln,故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a<-1时, f(x)在上单调递增,在上单调递减;
当-1≤a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在上单调递增,在上单调递减.
12.B 由已知得f '(x)=(x>0),
令g(x)=2ax2-4ax-1(x>0),
因为f(x)在(1,3)上不单调,所以f '(x)在(1,3)上有变号零点,即g(x)在(1,3)上有变号零点.
当a=0时,g(x)=-1,不成立;
当a≠0时,只需g(1)·g(3)<0,即(-2a-1)(6a-1)<0,解得a<-或a>,
所以f(x)在(1,3)上不单调的充要条件是a<-或a>,所以f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件可以是a>.故选B.
13.A 由已知得f '(x)=-sin 2x+3a(cos x-sin x)+2a-1,∵f(x)在上单调递减,
∴f '(x)≤0在上恒成立,
设t=cos x-sin x,则t=-,
当x∈时,x-,则t∈[-1,1],
∴sin 2x=1-t2∈[0,1],
∴t2+3at+2a-2≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
令g(t)=t2+3at+2a-2,t∈[-1,1].
只需满足
解得-1≤a≤,故选A.
14.AC 令g(x)=x3-3ax,a>0且a≠1,
则g'(x)=3x2-3a=3(x+),
∴当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,g'(x)>0;当x∈(-)时,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,-,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减.
令g(x)=0,解得x=0或x=±,
画出y=|g(x)|的大致图象,如图所示,
当a>1时,若f(x)在上单调递减,则y=|g(x)|在上单调递减,
∴<2≤,解得≤a≤;
当0∴2≤,得a≥4或a≤,
又0综上,实数a的取值范围为,结合选项知a的可能取值为.故选AC.
15.解析 (1)f '(x)=1-(x>0),
当a≤0时, f '(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f '(x)=0,得x=a,
当0当x>a时, f '(x)>0, f(x)在(a,+∞)上单调递增.
(2)当a<0时,由(1)知f(x)在(0,1]上单调递增,
由g(x)=得g'(x)=-,显然g'(x)<0在(0,1]上恒成立,则g(x)在(0,1]上单调递减,
不妨设x1所以f(x2)-f(x1)易得F'(x)=1-,故F'(x)≤0在(0,1]上恒成立,即a≥x-在(0,1]上恒成立,
令h(x)=x-,x∈(0,1],易知h(x)在(0,1]上单调递增,
所以h(x)max=h(1)=-3,所以a≥-3.
故实数a的取值范围是[-3,0).
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