考前必背-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

考 前 必 背
一、等差数列
1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b.
3.通项公式:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
4.前n项和公式:Sn=d(n∈N*).
5.性质:(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列.(4)数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).(5)在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
二、等比数列
　　1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.
2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.
3.通项公式:等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1.
4.前n项和公式:Sn=
5.性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
三、一元函数的导数
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
　　2.导数的四则运算法则
已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)(g(x)≠0).
3.简单复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.
四、导数在研究函数中的应用
　　1.函数的单调性与导数
一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.
2.函数的极值与导数
条件 f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
　　3.函数的最大(小)值与导数
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.
(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.