全书综合测评(二) 《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

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密 封 线 内 不 要 答 题
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全书综合测评(二)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.记数列{an}的前n项和为Sn,若是等差数列,S6=6,则a3+a4=(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.2
2.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2)和(3,+∞)　　　　B.(2,3)
C.(2,+∞)　　　　D.(-∞,3)
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=(n+1)·sin(n≥2,n∈N),Sn是数列{an}的前n项和,则S2 025=(　　)
A.510　　　　B.508　　　　C.1 013　　　　D.1 011
4.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为(　　)
A.4x-y-4=0　　　　B.x-2y-4=0
C.x-y+1=0　　　　D.2x-y-2=0
5.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1A.　　　　
C.1　　　　D.e
6.如图,已知最底层正方体的棱长为a,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,若图中的正方体有无数个,则所有正方体的体积之和将趋近于(　　)
A.a3　　　　B.2a3　　　　
C.(2+a3
7.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.
8.已知函数f(x)=x3-3ax+1,g(x)=x2-x-a2-a,若关于x的方程g(f(x))=0恰好有6个不同的实根,则实数a的取值范围为(　　)
A.
C.∪　　　　D.(1,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}是等比数列,则下列结论中正确的是(　　)
A.数列{}是等比数列
B.若a3=2,a7=32,则a5=±8
C.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1
D.若a110.关于函数f(x)=+ln x,下列说法正确的是(　　)
A. f(1)是f(x)的极大值
B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C. f(x)在(0,1)上单调递减
D.设g(x)=xf(x),则g)
11.定义:在区间I上,若函数y=f(x)单调递减,且y=xf(x)单调递增,则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得(　　)
A. f(x)=在(0,+∞)上是“弱减函数”
B. f(x)=在(1,2)上是“弱减函数”
C.若f(x)=在(m,+∞)上是“弱减函数”,则m≥e
D.若f(x)=cos x+kx2在上是“弱减函数”,则≤k≤
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6,a8是方程x2-8x+5=0的两根,则S13=　　　　　.
13.已知数列{an}满足: n∈N*,有an∈,且a1=. f(an+1)=,其中f(x)=tan x,若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则T120=　　　　.
14.已知函数f(x)=e2x-2a(x-2)ex-a2x2(a>0)恰有两个零点,则a=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且为等差数列.
(1)证明:{an}为等差数列;
(2)若S3=12,数列{bn}满足b1=6,且,求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(15分)设f(x)=sin xcos x+acos x,x∈.
(1)若a=1,求f(x)的值域;
(2)若f(x)存在极值点,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-3.
(1)证明数列{an-1}为等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)在an和an+1之间插入n个数,使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列,求数列的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,若对任意的n∈N*,Tn>m恒成立,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0)的导数分别为f '(x),g'(x).
(1)若存在直线l,使得直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切,求证:x1+x2<+e;
(2)若<1,求a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=e2x-2(e+1)ex+2ex.
(1)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,求a的取值范围;
(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x10.
答案与解析
1.D　因为是等差数列,所以可设=an+b,所以Sn=an2+bn,所以{an}为等差数列,S6=6=×6=3(a1+a6),所以a1+a6=2,所以a3+a4=a1+a6=2.故选D.
2.A　由f(x)=2x3+ax2+36x-24得f '(x)=6x2+2ax+36,
∵f(x)在x=2处有极值,
∴f '(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,
∴f '(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),
由f '(x)>0,得x<2或x>3,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,2)和(3,+∞).
故选A.
3.C　由已知得an+1+an=(n+1)·sin=(n+1)·cos(n≥2,n∈N),
则a2+a3=3cos π=-3,a4+a5=5cos 2π=5,a6+a7=7cos 3π=-7,
a8+a9=9,……,a2 022+a2 023=-2 023,a2 024+a2 025=2 025,
所以S2 025=a1+(a2+a3+a4+a5)+(a6+a7+a8+a9)+…+(a2 022+a2 023+a2 024+a2 025)=1+(-3+5)+(-7+9)+…+(-2 023+2 025)=1+2×506=1 013.故选C.
4.A　由y=x2得y'=2x,由y=4ex-2得y'=4ex-2,
设曲线C1,C2的公切线与曲线C1的切点为(x1,),则切线的斜率为2x1,与曲线C2的切点为(x2,4),则切线的斜率为4,
所以2x1=4,即x1=2.
当曲线C1与曲线C2的切点相同时,x1=x2,,
所以x1=x2=2,所以切点为(2,4),
此时公切线的方程为4x-y-4=0;
当曲线C1与曲线C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=,又x1=2,所以x2-1=,解得x2=2,则x1=2,与x1≠x2矛盾,
故不存在两切点不同的情况.
综上可得,曲线C1与曲线C2的公切线方程为4x-y-4=0.
故选A.
5.B　由题意知0故x1ln x2-x2ln x1<(x2-x1),即x1ln x2+x1故,令f(x)=,则f(x)在(m,+∞)上单调递减,
易得f '(x)=,
当00, f(x)在(0,)上单调递增,
当x>时, f '(x)<0, f(x)在(,+∞)上单调递减,
故(m,+∞) (,+∞),则m≥,即m的最小值是,故选B.
6.D　由题意可知,最底层正方体的体积为a3,最底层正方体上面第一个正方体的棱长为a,其体积为,
上面第二个正方体的棱长为a,其体积为,
上面第三个正方体的棱长为a,其体积为,
……
所以这些正方体的体积构成首项为a3,公比为的等比数列,
设其前n项和为Sn,则Sn=a3,当n→+∞时, →0,故Sn→a3.
故所有正方体的体积之和将趋近于a3.故选D.
7.D　令g(x)=ex(2x-1),则g'(x)=ex(2x+1).
令g'(x)>0,得x>-,令g'(x)<0,得x<-,
故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,
故g(x)在x=-处取得极小值,
又g=0,且当x<时,g(x)<0,当x>时,g(x)>0,所以函数g(x)的大致图象如图所示.
易知直线y=ax-a过定点(1,0).
若a≤0,则f(x)<0的整数解有无数个,因此只能a>0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则x0只能是0,故实数a应满足即解得≤a<1.
故实数a的取值范围是.
8.D　设t=f(x),则g(t)=0时,t2-t-a2-a=0,解得t1=-a,t2=a+1,
由题意可知t1≠t2,且方程t1=f(x),t2=f(x)分别有3个不同的实根.
由f(x)=x3-3ax+1得f '(x)=3x2-3a.
①当a≤0时, f '(x)≥0, f(x)单调递增,方程t=f(x)不可能有3个不同的实根.
②当a>0时,令f '(x)>0,得x<-或x>,令f '(x)<0,得-,故f(x)在(-∞,-,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减,则f(x)极大值=f(-+1, f(x)极小值=f(+1.
要使原方程有6个不同的实根,则t1,t2∈(-2a+1).
(i)当-2a+1时,因为a>0,所以a+1<2a+1,解得a>;
(ii)当-2a+1时,因为a>0,所以-2a+1<-a,
设m=,则原不等式可转化为2m3-m2-1>0,即(m-1)(2m2+m+1)>0,所以m>1,即a>1.
综上,满足条件的a的取值范围是(1,+∞).故选D.
9.AD　设等比数列{an}的公比为q,则=q2,为常数,故A正确.
由题意得=q4=16,即q2=4,所以a5=a3q2=2×4=8,故B错误.
易得a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,因为a1,a2,a3成等比数列,所以=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-,故C错误.
若01,数列{an}是递增数列;
若a1故选AD.
10.BCD　函数f(x)=+ln x的定义域为(0,+∞), f '(x)=-,
当0当x>1时, f '(x)>0,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为f(1)=1,故A错误,C正确;
对于B,函数y=f(x)-x=+ln x-x,其定义域为(0,+∞),
则y'=-<0,
故函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减,
又当x=1时,y=f(1)-1=0,
所以函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确;
对于D,g(x)=xf(x)=1+xln x,其定义域为(0,+∞),
则g'(x)=ln x+1,令g'(x)=0,得x=,
当0当x>时,g'(x)>0,则函数g(x)在上单调递增,
所以当x=时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g,
所以g),故D正确.故选BCD.
11.BCD　对于A, f(x)=在(0,+∞)上单调递减,y=xf(x)=1,是常数函数,不具有单调性,故A错误.
对于B, f(x)=,则f '(x)=,易知当x∈(1,2)时, f '(x)<0,
∴函数f(x)在(1,2)上单调递减,
y=xf(x)=,则y'=,易知当x∈(1,2)时,y'=>0,∴y=xf(x)在(1,2)上单调递增,故B正确.
对于C,易知f(x)=在(m,+∞)上单调递减, f '(x)=,令f '(x)=0,得x=e,当x>e时, f '(x)<0,故f(x)在(e,+∞)上单调递减,∴m≥e,而y=xf(x)=ln x显然在(e,+∞)上单调递增,满足题意,故C正确.
对于D,由已知得f(x)=cos x+kx2在上单调递减,
∴f '(x)=-sin x+2kx≤0在x∈上恒成立,即2k≤在上恒成立,即2k≤,x∈.
令h(x)=,x∈,则h'(x)=,
令φ(x)=xcos x-sin x,x∈,
则φ'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x<0,
∴φ(x)在上单调递减,∴φ(x)<φ(0)=0,
∴h'(x)<0,∴h(x)在上单调递减,
∴h(x)>h,∴2k≤,∴k≤.
令g(x)=xf(x)=xcos x+kx3,则g(x)在上单调递增,
∴g'(x)=cos x-xsin x+3kx2≥0在x∈上恒成立,
即3k≥在x∈上恒成立,
即3k≥,x∈,
令F(x)=,x∈,则F'(x)=,
易知当x∈时,F'(x)>0,
∴F(x)在上单调递增,∴F(x)∴3k≥,∴k≥,
综上,k的取值范围是,故D正确.
故选BCD.
12.答案　52
解析　由题意可知,a6+a8=8,由等差数列的性质可知,a1+a13=a6+a8=8,所以S13==52.
13.答案　10
解析　由f(x)=tan x,得f '(x)==1+tan2x,
又f(an+1)=,
所以f 2(an+1)=f '(an),即tan2an+1=1+tan2an tan2an+1-tan2an=1.
又a1=,所以tan a1=1,所以数列{tan2an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以tan2an=n,tan an=(负值舍去).
所以bn=).
所以T120=b1+b2+b3+…+b120
=-()+…+()
=-1+11=10.
14.答案　
解析　因为f(x)=e2x-2a(x-2)ex-a2x2(a>0),
所以f '(x)=2e2x-2a[ex+(x-2)ex]-2a2x=2(ex-ax)(ex+a).
令y=ex-ax,则y'=ex-a,令y'=0,得x=ln a,
故当x>ln a时,y'>0,函数y=ex-ax单调递增,
当x即当x=ln a时,函数y=ex-ax取得极小值,也是最小值,为a(1-ln a),
当a(1-ln a)≥0,即0当a(1-ln a)<0,即a>e时,函数y=ex-ax的图象与x轴有两个交点,
设交点为(x1,0),(x2,0),且x1所以当xx2时,ex-ax>0,即f '(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x1函数f(x)恰有两个零点,即函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即f(x1)=0或f(x2)=0,
所以=0或=0,
得x1=2(舍去)或x2=2,
所以a=.
15.解析　(1)证明:设的公差为d,则=S1+(n-1)d,
因为S1=a1=2,所以Sn=2n+n(n-1)d=n2d+(2-d)n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d-(n-1)2d+(2-d)n-(2-d)(n-1)=2dn+2-2d,(3分)
又因为a1=2适合上式,所以an=2dn+2-2d.
所以an+1-an=2d(n+1)-2dn=2d,所以{an}为等差数列.(6分)
(2)由(1)知=a1+2d=4,得d=1,所以an=2+(n-1)×2=2n.
所以,(8分)
当n≥2时,bn=··…··b1=×…×,(10分)
因为b1=6满足上式,所以bn=,(11分)
所以Tn=12.(13分)
16.解析　(1)若a=1,则f(x)=sin xcos x+cos x,x∈,
f '(x)=cos2x-sin2x-sin x=-2sin2x-sin x+1=-(sin x+1)(2sin x-1),(3分)
当x∈时,sin x+1>0,2sin x-1<0,则f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时,sin x+1>0,2sin x-1>0,则f '(x)<0, f(x)单调递减.(5分)
又f, f(0)=1, f=0,(7分)
所以f(x)的值域为.(8分)
(2)f '(x)=cos2x-sin2x-asin x=1-2sin2x-asin x.
若f(x)存在极值点,则f '(x)=0在x∈上有解,即a=-2sin x在x∈上有解.(10分)
令t=sin x,因为x∈,所以t∈(0,1),则a=-2t在t∈(0,1)上有解.(13分)
因为函数y=-2t在区间(0,1)上单调递减,所以-2t>1-2=-1,所以a∈(-1,+∞),经检验符合题意.(15分)
17.解析　(1)已知Sn=2an+n-3①,
当n=1时,a1=2a1-2,所以a1=2.
当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-4②,
由①-②得an=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,(2分)
所以an-1=2(an-1-1),又a1-1=1,
所以数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以an-1=2n-1,故an=2n-1+1.(5分)
(2)由已知得an+1=an+(n+1)dn,所以2n+1=2n-1+1+(n+1)dn,
解得dn=,所以.(7分)
所以Tn=+…+,
则+…+,
两式相减得
=2+,(9分)
所以Tn=6-.(10分)
(3)由于对任意的n∈N*,Tn>m恒成立,所以6->m恒成立,
即m<.
令bn=,则bn+1-bn=<0,(13分)
所以数列{bn}是递减数列,故数列{bn}中的最大项为b1==4,
所以=2,所以m<2.
故实数m的取值范围为(-∞,2).(15分)
18.解析　(1)证明:因为f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0),
所以f '(x)=aeax,g'(x)=.
因为直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切,
所以直线l的斜率k=f '(x1)=g'(x2)=,即a,(2分)
所以.
整理,得x1=+x2(1-ln x2),
所以x1+x2-=2x2-x2ln x2.(4分)
设h(x)=2x-xln x,则h'(x)=1-ln x.
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,
所以h(x)≤h(e)=e.(5分)
若x2=e,则x1=+x2(1-ln x2)=,
代入a,得a=,
则x1=e=x2,这与x1≠x2矛盾,所以x2≠e.
所以x1+x2-(2)解法一:因为<1,且f(x)=eax>0,
所以f(x)>g(x),即f(x)-g(x)>0.
设φ(x)=f(x)-g(x)=eax-ln x,
则φ'(x)=aeax-.(10分)
由φ>0,得ln a+ae>0.
设m(a)=ln a+ae,则m(a)在(0,+∞)上单调递增,且m=0,所以a>.(12分)
当a>时,φ'(x)=aeax-在(0,+∞)上单调递增,
又φ'-3)<0,且,
所以存在x0∈,使得φ'(x0)=0,即a,得,得ln x0=-ax0-2ln a.(14分)
当x∈(0,x0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,所以φ(x)在x=x0处取得极小值,也是最小值,
则φ(x)min=φ(x0)=ln x0=(-ax0-2ln a)=≥,当且仅当x0=时取“=”,(16分)
当a>时,>0恒成立,即φ(x)>0,
所以a的取值范围是.(17分)
解法二:因为<1,且f(x)=eax>0,
所以f(x)>g(x),即eax>ln x.(10分)
当0ln x恒成立.
当x>1时,由eax>ln x,得axeax>xln x=eln xln x.
设φ(x)=xex(x>0),则φ(ax)>φ(ln x).(12分)
易得φ'(x)=(x+1)ex,因为x>0,所以φ'(x)>0恒成立,故φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以ax>ln x,即a>.(14分)
设m(x)=,则m'(x)=.
当x∈(0,e)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,
所以m(x)≤m(e)=.(16分)
所以a的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)令ex=t,则x=ln t,记h(t)=t2-2(e+1)t+2eln t,t>0.
则h'(t)=2t-2(e+1)+,令h'(t)=0,得t=1或t=e.(2分)
当00;当1e时,h'(t)>0,
所以当t=1时,h(t)取得极大值,为h(1)=-2e-1,当t=e时,h(t)取得极小值,为h(e)=-e2,且当t→0+时,h(t)→-∞,当t→+∞时,h(t)→+∞.(4分)
因为函数g(x)=f(x)-a有三个零点,所以曲线y=h(t)与直线y=a有三个交点,所以-e2(2)证明:由(1)知h(t)=t2-2(e+1)t+2eln t,记m(t)=h(t)-h,则m(t)=t2-2(e+1)t+2eln t--2eln =t2-2(e+1)t+4eln t-,
则m'(t)=2t-2(e+1)+
=,(8分)
记n(t)=2t4-2(e+1)t3+4et2-2(e+1)t+2,
则n'(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),
记s(t)=8t3-6(e+1)t2+8et-2(e+1),
则s'(t)=24t2-12(e+1)t+8e.
易知s'(t)在区间(1,e)上单调递增,
因为s'(1)=12-4e>0,
所以s(t)在区间(1,e)上单调递增,
因为s(1)=0,
所以n(t)在区间(1,e)上单调递增,
因为n(1)=0,
所以m(t)在区间(1,e)上单调递增,(11分)
记=t3,
因为f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1由(1)可知,0所以m(t2)=h(t2)-h>m(1)=0,即h(t2)>h.
又h(t1)=h(t2),所以h(t1)>h,因为1由(1)知h(t)在区间(0,1)上单调递增,所以t1>,即t1t2>1,即>1,所以x1+x2>0.(17分)