全书综合测评(一) -《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教A版（2019）选择性必修第二册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
全书综合测评(一)
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=(　　)
A.5　　　　D.5
2.若函数f(x)=x2-aln x+1在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2]　　　　B.(-∞,1]　　　　C.[2,+∞)　　　　D.(-∞,2]
3.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　)
A.k=,b=0　　　　B.k=1,b=0
C.k=,b=-1　　　　D.k=1,b=-1
4.若函数f(x)=(x+2)(x2+x+m)在R上既有极大值也有极小值,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1]
C.(1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
5.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°),再沿直线繁殖,……;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到A11,然后分叉向A21与A22方向继续繁殖,其中∠A21A11A22=60°,且A11A21与A11A22关于OA11所在直线对称,A11A21=A11A22=OA11,…….若OA11=4 cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,xf '(x)A.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　　B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(0,7)　　　　D.(-∞,-3)∪(2,7)
7.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,e)　　　　B.(-∞,-e)　　　　C.(-∞,-2e)　　　　D.(-∞,2e)
8.已知数列{an}满足a1=,an=1+ln an+1(n∈N*),记Tn为数列{an}的前n项积,则(　　)
A.T9∈　　　　B.T9∈
C.T9∈　　　　D.T9∈
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=x3-3x+2,则(　　)
A.f(x)在区间(-1,1)上单调递减
B.f(x)的最小值为0
C.f(x)图象的对称中心为(0,2)
D.方程f(x)=0有3个不同的实数解
10.已知数列{an}的首项为a1=1,且9anan+1=an-4an+1,若数列、{4nanan+1}、的前n项和分别为Sn、Rn、Tn,则(　　)
A.-4
C.Rn<
11.若函数f(x)=ln x-+ax(a∈R),则下列说法正确的是(　　)
A. a∈R, f(x)有最大值　　　　B. a∈R, f(x)有最小值
C. a∈R, f(x)为增函数　　　　D. a∈R,在(2,3)上,恒有f(x)<0
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,以下命题正确的是　　　　　.(填序号)
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③-1是函数y=f(x)的极小值点;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
⑤曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),bn=log2an.将数列{bn}中不在数列{an}中的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},则数列{cn}的前40项和为　　　　.
14.已知正数a,b满足ln b+≤ln a-a4+ln(2),则a+b=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知数列{an}中,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,且an=(n∈N*,且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记cn=an·,求数列{cn}的前n项和Tn.
16.(15分)已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若方程f(x)=k有3个不同的实根,求实数k的取值范围.
17.(15分)若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*),数列{bn}满足b1=2,bn=3bn-1+2(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn+1}是等比数列;
(3)设数列{cn}满足cn=,其前n项和为Tn,若对任意n∈N*,2(Tn+1)≤(n+1)λ恒成立,求实数λ的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=-x+asin x.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)当x∈(0,π)时, f(x)>0,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2:
(i)求实数a的取值范围;
(ii)求证:.
答案与解析
1.A　设等比数列{an}的公比为q,则q>0,an>0,
由题意可得即
所以故选A.
2.D　由f(x)=x2-aln x+1,得f '(x)=2x-,
由f(x)在[1,+∞)上单调递增,得 x≥1, f '(x)≥0,即2x2-a≥0,即a≤2x2,又 x≥1,恒有2x2≥2,所以a≤2.又a=2时, f '(x)=≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以实数a的取值范围是(-∞,2].故选D.
3.A　设直线y=kx+b与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1),x1>0,
与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2)),x2<0,
由y=ln x得y'=,由y=-ln(-x)得y'=-,
则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1,
曲线y=-ln(-x)在点(x2,-ln(-x2))处的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2),
则解得故k=,b=ln x1-1=0.
故选A.
4.A　由f(x)=(x+2)(x2+x+m),得f '(x)=3x2+6x+m+2,
因为函数f(x)在R上既有极大值也有极小值,所以f '(x)=3x2+6x+m+2=0有两个不相等的实数根,即Δ=36-12(m+2)>0,解得m<1.
不妨设方程3x2+6x+m+2=0的两根分别为x1,x2,且x1当x0, f(x)单调递增;当x1x2时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
故f(x)在x=x1时取得极大值,在x=x2时取得极小值,符合题意.
故选A.
5.C　由题意可知,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在OA11方向上繁殖的距离的范围,就可确定培养皿的半径的范围.
由黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在OA11方向上前进的距离(单位:cm)依次为:4,2×,…,
若黏菌无限繁殖下去,则它每次繁殖在OA11方向上前进的距离(单位:cm)的和为≈,
因为7<<8,所以培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8.
故选C.
6.D　令g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g'(x)=,
∵当x∈(0,+∞)时,xf '(x)∴g'(x)=<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.
又f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),
∴g(-x)==g(x),
∴g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增.
由不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0得5f(2-x)<(2-x)f(5),
当2-x>0,即x<2时,不等式可化为 < ,即g(2-x)由g(x)在(0,+∞)上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故x<-3;
当2-x<0,即x>2时,不等式可化为 ,即g(2-x)>g(5)=g(-5),
由g(x)在(-∞,0)上单调递增得2-x>-5,解得x<7,故2综上所述,不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞,-3)∪(2,7).
故选D.
7.C　设g(x)=f(x)+ex.因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,所以函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,
当x∈(-∞,0)时,g(x)=f(x)+ex=e-x+ex,则g'(x)=-e-x+e,
所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
则g(x)≥g(-1)=0,且当x→0-时,g(x)→1;当x→-∞时,g(x)→+∞.
当x∈(0,+∞)时,g(x)=f(x)+ex=a++ex,
则g'(x)=-,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
则g(x)≥g(1)=a+2e,且当x→0+时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.
综上所述,g(x)的大致图象如图所示,
由图可知,当a+2e<0,即a<-2e时,函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,
即方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根.故选C.
8.C　因为an=1+ln an+1,所以an+1=.
下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,0当n=1时,a1=,结论成立;
假设n=k(k∈N*,k≥1)时,结论成立,即0那么当n=k+1时,ak+1=,ak+1>0显然成立,
因为0所以当n=k+1时,结论也成立.
综上所述,0记函数f(x)=ln x-(x-1)(0因为00,所以f(x)在(0,1)上单调递增,
所以f(x)所以数列{an}为递增数列,所以≤an<1.
记g(x)=ln x-(0则g'(x)=>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)即ln x<在(0,1)上恒成立,
所以an-1=ln an+1<,所以,
所以>1,则>1,……,>1,由累加法得>(n-1)×1,
将a1=代入,得>n+3,所以an>1-,
所以T9=a1×a2×…×a9>×…×,
即T9>.
记h(x)=ln x-(0h(1)=0,即ln x>在(0,1)上恒成立.
所以an-1=ln an+1>,所以1-an<,
所以an+1<,
所以T9=a1×a2×…×a9<×…×=2(1-a9)2,
因为an>,所以即T9<.
综上所述,.
故选C.
9.AC　对于A,由已知得f '(x)=3x2-3,令f '(x)>0,得x<-1或x>1,令f '(x)<0,得-1所以函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,且f(-1)=4>0, f(1)=0,当x→-∞时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,
由此可画出函数f(x)的大致图象,如图所示,故A正确;
对于B,由A可知函数f(x)无最小值,故B错误;
对于C,根据解析式易知f(x)+f(-x)=4,即f(x)的图象关于点(0,2)中心对称,故C正确;
对于D,根据图象可知f(x)有2个不同的实数解,故D错误.
故选AC.
10.BCD　由题意得,数列{an}中的项均为非零项.
由9anan+1=an-4an+1两边同时除以anan+1,可得9=,
整理得,又+3=4≠0,
故数列是以4为首项,4为公比的等比数列,所以+3=4n,即an=.
对于A,由an=,可得a2=,矛盾,故A错误;
对于B,=4n-3,则Sn=(41-3)+(42-3)+…+(4n-3)=-4,
所以Sn<-4成立,故B正确;
对于C,4nanan+1=,
则Rn=,故C正确;
对于D,,则Tn=+…+,
则+…+,
两式相减得+…+,
则Tn=成立,故D正确.故选BCD.
11.BC　f '(x)=(x-a)ln x+·+a=(x-a)ln x(x>0),
若a≤0,则x-a>0,
则当x∈(0,1)时, f '(x)<0,当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,
故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
此时f(x)有最小值,无最大值;
若00,当x∈(a,1)时, f '(x)<0,
故f(x)在(0,a),(1,+∞)上单调递增,在(a,1)上单调递减;
若a=1,则f '(x)=(x-1)ln x≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a>1,则当x∈(0,1)∪(a,+∞)时, f '(x)>0,当x∈(1,a)时, f '(x)<0,
故f(x)在(0,1),(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减.
对于A,不存在a∈R,使f(x)有最大值,故A错误;
对于B,当a≤0时, f(x)有最小值,故B正确;
对于C,当a=1时, f(x)为增函数,故C正确;
对于D,当a=1时, f(x)为增函数,当x∈(2,3)时,有f(x)>f(2)=ln 2-+2=1,故D错误.故选BC.
12.答案　①④⑤
解析　根据题中导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时, f '(x)<0,当x∈(-3,1)时, f '(x)≥0,
∴函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故-3是函数y=f(x)的极值点,故①④正确.-1既不是函数y=f(x)的极小值点,也不是最小值点,故②③错误.
对于⑤,由题中导函数的图象可得f '(0)>0,故曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零,故⑤正确.
13.答案　973
解析　当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2≠0;
当n≥2时,由Sn=2an-2,得Sn-1=2an-1-2,
两式相减,得an=2an-2an-1,即an=2an-1,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an=2n,则bn=log2an=log22n=n,即an是数列{bn}中的第2n项,
∵a6=26=64,a5=25=32,
∴数列{cn}的前40项是由数列{bn}的前45项去掉数列{an}的前5项后构成的,
∴数列{cn}的前40项和为(b1+b2+…+b45)-(a1+a2+a3+a4+a5)
==973.
14.答案　
解析　由ln b+≤ln a-a4+ln(2),得ln a-a4+ln)≥0.
令f(x)=ln x-x4,则f '(x)=,
故当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
又fln 2-,
故f(x)≤-ln 2-,即f(x)+ln 2+≤0,
故f(a)+ln 2+ln 2+)≤0,当且仅当a=时,等号成立.
由题可知, f(a)+f)≥0,故f(a)+f)=0,
故a=,即a=,故a+b=.
15.解析　(1)在数列{an}中,易知an=Sn-Sn-1(n≥2)①,
∵an=(n≥2)②,且an>0,
∴由①②得=1(n≥2),
∴数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,
∴=1+(n-1)×1=n,∴Sn=n2.(3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=1,也满足上式,(5分)
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.(7分)
(2)由(1)知an=2n-1,∴cn=(2n-1)·22n-1,
则Tn=1×2+3×23+5×25+…+(2n-3)×22n-3+(2n-1)×22n-1,
4Tn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-5)×22n-3+(2n-3)×22n-1+(2n-1)×22n+1,(9分)
∴-3Tn=2+2×(23+25+…+22n-1)-(2n-1)×22n+1
=2+2×·22n+1,(11分)
∴Tn=.(13分)
16.解析　(1)由已知得f '(x)=3ax2-b,
由题意得解得(2分)
所以f(x)=x3-4x+4,则f '(x)=x2-4,
所以f(1)=, f '(1)=-3,(5分)
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),
即9x+3y-10=0.(7分)
(2)由(1)得f '(x)=(x+2)(x-2),
令f '(x)=0,解得x=-2或x=2,(9分)
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表,
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增
因此,当x=-2时, f(x)有极大值;当x=2时, f(x)有极小值-,(13分)
函数f(x)=x3-4x+4的大致图象如图,
若f(x)=k有3个不同的实根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-.(15分)
17.解析　(1)因为Sn=n2(n∈N*),所以当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,(2分)
又当n=1时,a1=1也符合上式,(3分)
所以an=2n-1(n∈N*).(4分)
(2)证明:当n≥2时,由bn=3bn-1+2,得bn+1=3(bn-1+1),(5分)
又b1+1=3,所以数列{bn+1}是首项为3,公比为3的等比数列.(6分)
(3)因为{bn+1}是首项为3,公比为3的等比数列,
所以bn+1=3·3n-1=3n,
所以cn=,(8分)
则Tn=c1+c2+…+cn=+…+,①
+…+,②(9分)
①-②,得+…+
=,
所以Tn=1-,(11分)
因为对任意n∈N*,2(Tn+1)≤(n+1)λ恒成立,所以2≤(n+1)λ对任意n∈N*恒成立,
所以λ≥对任意n∈N*恒成立,所以λ≥.
当n=1时,;当n=2时,,
当n≥3,n∈N*时,≤1,(13分)
所以,故λ∈.(15分)
18.解析　(1)当a=2时, f(x)=-x+2sin x,则f '(x)=x-1+2cos x,(2分)
所以切线的斜率k=f '(0)=1,
又f(0)=0,所以切线方程为y=x.(4分)
(2)①当a≥1时,因为x∈(0,π),所以sin x>0,
所以f(x)=-x+asin x≥-x+sin x.
令g(x)=-x+sin x,则g'(x)=x-1+cos x,
令h(x)=g'(x)=x-1+cos x,则h'(x)=1-sin x.
当x∈(0,π)时,h'(x)≥0,则g'(x)在(0,π)上单调递增,
所以g'(x)>g'(0)=0,
所以g(x)在(0,π)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)>0.(9分)
②当a<1时,由已知得f '(x)=x-1+acos x,
当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],
令φ(x)=f '(x)=x-1+acos x,则φ'(x)=1-asin x,
若a≤0,则φ'(x)>0,即f '(x)在(0,π)上单调递增;
若00,
所以f '(x)在(0,π)上单调递增.
所以当a<1时, f '(x)在(0,π)上单调递增.(14分)
因为f '(0)=a-1<0, f '-1>0,
所以存在x0∈,使得f '(x0)=0,
所以当x∈(0,x0)时, f '(x)<0,即f(x)在(0,x0)上单调递减,
所以f(x0)综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞).(17分)
19.解析　(1)因为f(x)=ax+(a-1)ln x+,
所以f '(x)=a+,x>0.(2分)
①当a≤0时, f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
②当a>0时,由f '(x)>0得x>,由f '(x)<0得0所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(5分)
(2)(i)方程f(x)=xex-ln x+可化为xex=ax+aln x,即ex+ln x=a(x+ln x).
令t(x)=x+ln x,易知函数t(x)在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,
结合题意,可知关于t的方程et=at(*)有两个不相等的实数根.
因为t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为=a.(7分)
令g(t)=,t≠0,则g'(t)=.
由g'(t)<0得t<0或00得t>1,
所以函数g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数g(t)的极小值为g(1)=e,
且当t<0时,g(t)=<0;当t>0时,g(t)=>0.(9分)
在同一平面直角坐标系内作出函数y=g(t)的图象和直线y=a,如图所示,
由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点,
所以实数a的取值范围是(e,+∞).(11分)
(ii)证明:易知x1>0,x2>0.要证,只需证x1>2a,即证>2a.
因为et=at,所以只需证t1+t2>2.(12分)
结合(i),不妨设0因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln.
所以只需证,即只需证.
令p=(p>1),则只需证ln p>.(15分)
令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=>0,
所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立.
所以原不等式得证.(17分)