3.1.3 组合与组合数
基础过关练
题组一 对组合的概念的理解
1.下列问题属于组合问题的是( )
A.从3个不同的小球中,取出2个小球排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出2位分别去往甲、乙两地
2.(多选题)下列问题属于组合问题的有( )
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法
B.有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法
C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种
D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积
题组二 组合数公式及其性质的应用
3.关于排列数、组合数,下列结论错误的是( )
A.
C.
4.(多选题)若a=,则下列结论正确的是 ( )
A.n=10 B.n=11
C.a=466 D.a=233
5.计算:+…+= .
6.若正整数n满足不等式≤12,则n= .
题组三 组合数的应用
7.现有红色、黄色、蓝色的球各4个,每个球上都标有不同的编号.从中任取3个球,若这3个球的颜色不全相同,且至少有一个红球,则不同的取法有( )
A.160种 B.220种
C.256种 D.472种
8.将编号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球随机地放入编号分别为1,2,3,4,5,6的6个盒子中,每个盒子放一个小球,则恰好有4个小球的编号与其所在盒子的编号不一致的放法种数为( )
A.45 B.90 C.135 D.180
9.某校高二年级举行篮球赛,共20个班,每4个班为一组,如1~4班为第一组,5~8班为第二组,……,进行单循环小组赛(没有并列),胜出的5个班和从余下队伍中选出的数据最优秀的一个班共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛,最后胜出的3个班进行单循环赛,按积分的高低(假设没有并列)决出最终的冠亚季军,则此次篮球赛共进行了( )
A.51场 B.42场
C.39场 D.36场
10.浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名,每位同学只能选一所大学,每所大学至少有一位同学报名,且甲同学不报南京大学,则不同的报名方法共有( )
A.16种 B.20种
C.24种 D.28种
11.第33届夏季奥运会在法国巴黎举办,这届奥运会新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有A,B,C三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项.五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种 B.300种
C.720种 D.1 008种
12.某市组织应急处置山火救援行动,现从组织好的5支志愿团队中任选1支去救援物资接收点服务,另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目,每支志愿团队只能分配1个项目,且每个项目至少分配1支志愿团队,则不同的分配方案种数为( )
A.36 B.81 C.120 D.180
13.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,“莲莲”代表世界遗产西湖,“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,将这6个吉祥物排成前后两排,每排3个,且每排相邻两个吉祥物名称不同,则不同的排法种数为 .(用数字作答)
14.将10本相同的书送给5名同学,其中甲、乙两名同学每人至少2本,其余每人至少1本,则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
15.现从5名男生和3名女生中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法种数:
(1)某女生一定担任语文科代表;
(2)某男生必须担任科代表,但不担任语文科代表;
(3)某女生一定担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.
16.(1)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法
(2)把6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法
(3)把6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法
能力提升练
题组一 组合数公式及其性质的应用
1.(多选题)下列等式正确的是 ( )
A.
B.r
C.
D.
2.1++…+=( )
A.
3.若,则+…+的值为( )
A.45 B.55 C.120 D.165
4.已知则x= .
题组二 组合数的应用
5.元旦假期,小明同学外出去某超市购物时,获得了该超市的一次抽奖机会,他需从9个外观完全相同的盲盒中,随机抽取3个.已知这9个盲盒中,3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔,另外6个盲盒各装有1个不同的小饰品,则拆开选取的3个盲盒后,小明获奖的情形有( )
A.84种 B.42种 C.41种 D.35种
6.(多选题)从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛,则下列说法正确的有( )
A.如果4人中男、女生各有2人,那么有30种不同的选法
B.如果男生甲和女生乙必须在内,那么有28种不同的选法
C.如果男生甲和女生乙至少有1人在内,那么有140种不同的选法
D.如果4人中既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
7.某旅行社有导游9人,其中3人只会英语,4人只会日语,2人既会英语,也会日语,现从中选6人,其中3人作为英语导游,另外3人作为日语导游,则不同的选择方法有 种.
8.杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭,每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位志愿者有200种以上不同选择,则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜.
9.现有分别标有1,2,3,4,5,6,7的七张卡片.
(1)若将七张卡片作为历史、地理、物理、化学、生物五本书的书签,每本书至少有一个书签,则共有多少种不同的分配方法
(2)将七张卡片打乱,任意摸出四张卡片,记下卡片上的数字,若将这四个数字填在下面的五个空格中,要求每个空格填一个数字,且相邻的两个空格不能填相同的数字,则共有多少种不同的填法
(3)若将七张卡片排成一排,求编号为1,2,3的卡片从左到右按由小到大的顺序连排的概率.
答案与分层梯度式解析
3.1.3 组合与组合数
基础过关练
1.C 2.BCD 3.C 4.AC 7.A 8.C 9.D 10.C
11.B 12.D
1.C
2.BCD
3.C ,故A中结论正确;
=,故B中结论正确;
,而m,故C中结论错误,D中结论正确.
4.AC 由题意可知
解得9.5≤n≤10.5,∵n∈N+,∴n=10,
∴a=+31=466.故选AC.
5.答案 1 140
解析 +…+
=+…+
=+…+
=+…+
=…
==1 140.
6.答案 5
解析 由题意得n≥5,n∈N+,由≤12,得n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)≤12×,
化简得n2-7n+10≤0,解得2≤n≤5,
又n≥5,n∈N+,所以n=5.
7.A 若取出的球中有1个红球,则不同的取法有=112(种);
若取出的球中有2个红球,则不同的取法有=48(种).
故不同的取法有112+48=160(种).故选A.
8.C 从6个盒子中任选2个,放入与其编号相同的小球,共有=15种选法,剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不相同,假设剩下的小球编号分别为1,2,3,4,则1号小球从2,3,4号盒子中选一个放入,有3种放法,剩下的3个小球放入剩下的3个盒子,有3种放法,故不同的放法有15×3×3=135(种).
9.D 先进行单循环小组赛,有5=30(场);
再进行淘汰赛,即6支球队打3场,决出最后胜出的3个班;
最后3个班进行单循环赛,有=3(场).
所以此次篮球赛共进行了30+3+3=36(场).故选D.
10.C 可分为两类:
第1类:甲单独报一个学校,则不同的报名方法有=12(种);
第2类,甲和其中一位同学报一个学校,则不同的报名方法有=12(种).
由分类加法计数原理,可得共有12+12=24种不同的报名方法.故选C.
11.B 电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项,有=2种安排方法;
五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,有·=150种安排方法.
故不同的安排方法有2×150=300(种).故选B.
12.D 先从5支志愿团队中任选1支去救援物资接收点服务,有=5种选法,
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目,
有=6×6=36种分法,
所以不同的分配方案有5×36=180(种).故选D.
13.答案 336
解析 由题意可分两种情形:
①前排含有两种不同名称的吉祥物,即从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种,其中一种取两个,另一种取一个,有=24种排法,后排有=2种排法,故有24×2=48种排法;
②前排含有三种不同名称的吉祥物,有=48种排法,后排有=6种排法,故有48×6=288种排法.
因此,共有48+288=336种排法.
14.答案 35
解析 解法一:先从10本书中取出5本分给5名同学,每人分1本,再将剩余的5本至少分成两份,有如下四种情况:
分成两份,给甲、乙,共=4种分法;
分成三份,给甲、乙和另一名同学,共=18种分法;
分成四份,给甲、乙和另两名同学,共=12种分法;
分成五份,五名同学每人1本,共1种分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(种).
解法二:先分给甲、乙一人一本书,再将余下的8本相同的书送给5名同学,每人至少一本,使用隔板法,8本书形成7个空(不算两端),在7个空中插入4块隔板,所以不同的分配方案有=35种.
15.解析 (1)除去一定担任语文科代表的女生后,先选后排,共有=840种不同选法.
(2)先选后排,但先安排不担任语文科代表的该男生,共有=3 360种不同选法.
(3)先从除去必须担任科代表的该男生和一定担任语文科代表的该女生后的6人中选3人,为,再安排必须担任科代表,但不担任数学科代表的该男生,为,其余3人全排列,为,共有=360种不同选法.
16.解析 (1)6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,
相当于将6个相同的小球排成一列,在形成的5个空隙中(不含两端)插入3块隔板,
所以不同的放法种数为=10.
(2)6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,
先把6个不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1两种方案分成4组,再分别放入4个相同的箱子中,
所以不同的放法种数为=65.
(3)6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,
先把6个不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1两种方案分成4组,再分别放入4个不同的箱子中,
所以不同的放法种数为·=1 560.
能力提升练
1.ABD 2.C 3.D 5.B 6.BC
1.ABD 选项A,左边=+m· ==右边,正确;
选项B,右边=n··=r·=左边,正确;
选项C,右边=≠左边,错误;
选项D,右边=·
=
==左边,正确.故选ABD.
2.C 1++…++…++…+=…=.
3.D 因为,所以m+m+2=22,解得m=10,
故+…++…++…+=…==165.故选D.
4.答案 5
解析 由已知得x-1≥0,即x≥1.
由可得x=2x或x+2x=n,
即x=0(舍去)或x=,
所以,即
=·,
化简得11··=3··,
即11n(n+3)=6n(2n+3),解得n=15(n=0舍去),所以x=5.
5.B 小明抽到0支钢笔,3个不同的小饰品,有=20种情形;
小明抽到1支钢笔,2个不同的小饰品,有=15种情形;
小明抽到2支钢笔,1个小饰品,有=6种情形;
小明抽到3支钢笔,只有1种情形.
综上可得,小明获奖的情形有20+15+6+1=42(种).
6.BC 对于A,从6名男生中任选2人的选法有=15(种),从4名女生中任选2人的选法有=6(种),故共有15×6=90种不同的选法,A错误;对于B,从除了男生甲和女生乙以外的8人中任选2人,有=28种不同的选法,B正确;对于C,从10人中任选4人,有=210种不同的选法,甲、乙都不在其中的选法有=70(种),故所求选法有210-70=140(种),C正确;对于D,从10人中任选4人,只有男生的选法有=15(种),只有女生的选法有=1(种),则4人中既有男生又有女生的选法有210-15-1=194(种),D错误.故选BC.
7.答案 92
解析 ①不选既会英语,也会日语的2人,
则只会英语的3人全部选中,从只会日语的4人中选择3人,共=4种选法.
②从既会英语,也会日语的2人中选择1人,有种选法,
若此人作为英语导游,则从只会英语的3人中选择2人,从只会日语的4人中选择3人,
有=12种选法;
若此人作为日语导游,则只会英语的3人全部选中,从只会日语的4人中选择2人,
有=6种选法,
此时共有·(12+6)=36种选法.
③既会英语,也会日语的2人均被选中,
若2人均作为英语导游,则从只会英语的3人中选择1人,从只会日语的4人中选择3人,
有=12种选法;
若2人均作为日语导游,则只会英语的3人全部选中,从只会日语的4人中选择1人,
有=4种选法;
若2人中有1人作为英语导游,1人作为日语导游,有=2种选法,
则从只会英语的3人中选择2人,从只会日语的4人中选择2人,有=18种选法,
此时共有12+4+2×18=52种选法.
综上,不同的选择方法有4+36+52=92种.
8.答案 7
解析 设还需要准备n(n≥2,n∈N+)种不同的素菜,由题意得>200,解得n>或n<,
因为n≥2,n∈N+,所以n的最小值为7,
所以餐厅至少还需要准备7种不同的素菜.
9.解析 (1)把7张卡片分成3,1,1,1,1和2,2,1,1,1两种情况,再分配给5本书,故共有·=16 800种不同的分配方法.
(2)将这四个数字填在五个空格中,则有1个数字用两次.先将用一次的3个数字全排列,形成4个空,再将用两次的数字插入,故共有=5 040种不同的填法.
(3)七张卡片排成一排,有种排法,其中编号为1,2,3的卡片从左到右按由小到大的顺序连排有种排法,故所求概率为.
17(共13张PPT)
知识 清单破
3.1. 3 组合与组合数
知识点 组合与组合数
1.组合的概念
一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个
对象的一个组合.
2.组合数
(1)组合数的概念:从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中
取出m个对象的组合数,用符号 表示.
注意:①所谓并成一组是指与顺序无关,例如,组合a,b与组合b,a是同一组合,可以把一个组合
看成一个集合.②在符号 中,总是要求n和m都是正整数,且m≤n.
(2)组合数公式: = = = .
特别地, =1, =n, =1.
(3)组合数的性质: = , + = .
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.两个组合相同的充要条件是其中的对象完全相同. ( )
√
2.若 = ,则x=m. ( )
提示
3.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积.( )
4. + = . ( )
由 = 可以得到x=m或x+m=n.
√
√
与组合数有关的计算问题常用到组合数公式和组合数的性质,涉及具体数字的可以直接
用公式 = = 计算,涉及字母的可以用 = 计算,计算时应注
意利用组合数的性质 = , + = .另外要注意 中m,n的范围.
讲解分析
疑难 1 与组合数有关的计算
疑难 情境破
典例 (1)解方程:3 =5 ;
(2)解不等式: > .
解析 (1)原方程可化为3· =5· ,
整理,得 = ,即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,则x=11.
(2)由 > 得
即 即
解得6≤n<10.
因为n∈N+,
所以原不等式的解集为{6,7,8,9}.
分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要对象个数相同,就是不可区分的,
而后者即使两组对象个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.
讲解分析
疑难 2 分组与分配问题
1.分组问题的求解策略
(1)非均匀不编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,每组对象数目均不相等,依次记为m1,m
2,…,mm,不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N= · · ·…· .
(2)均匀不编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,其中r组对象个数相等,不管是否分尽,其
分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除以
.
(3)非均匀编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,每组对象数目均不相等,且考虑各组间的
顺序,其分法种数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
(4)均匀编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,其中r组对象个数相等且考虑各组间的顺
序,其分法种数为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).
2.相同对象分配问题的处理策略——隔板法
将n个相同的物品分给m(m≤n)个不同的对象,可看作将n个相同的元素排成一行,这n个元素
之间就出现了(n-1)个空隙,我们将(m-1)个“隔板”插入到这(n-1)个空隙中,就把n个元素隔成
了有序的m份,这种借助虚拟“隔板”分配元素的方法称为隔板法.由此可知,将n个相同的物
品分给m个不同的对象,共有 种方法.
典例1 把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数不小
于盒子的编号数,则不同的方法共有 种.
15
解析 在编号分别为2,3的两个盒子中依次放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变
为求把7个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个小球的不
同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种不同的方法.
典例2 有12本不同的书,将其分成4堆.
(1)若每堆3本,有几种分法
(2)若4堆依次为1本、3本、4本、4本,有几种分法
(3)若4堆依次为1本、2本、3本、6本,有几种分法 (只要求列出算式)
解析 (1)有 种分法.
(2)有 种分法.
(3)有 种分法.
解决排列与组合问题要遵循两个原则:①按对象(或位置)的性质进行分类;②按事情发生
的过程进行分步.具体地说,解决排列与组合问题常以对象(或位置)为主体,即先满足特殊对
象(或位置),再考虑其他对象(或位置).
讲解分析
疑难 3 排列与组合的综合应用
典例 如图,一个正方形花圃被分成5部分.
A B C D E
(1)若给这5部分各种一种颜色的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿
4种颜色的花可选,问有多少种不同的种植方法
(2)若在这5部分中放入7个不同的盆栽,要求每部分都有盆栽,问有多少种不同的放法
解析 (1)先给A部分种植,有4种不同的种植方法;再给B部分种植,有3种不同的种植方法;然
后给C部分种植,分两类:
①若C与B相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2×2=48种不
同的种植方法;
②若C与B不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,
共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.
综上,共有48+48=96种不同的种植方法.
(2)将7个盆栽分成5组,每组至少有1个盆栽,有2种分法:
①分成2,2,1,1,1的5组,有 种分法;
②分成3,1,1,1,1的5组,有 种分法.
将分好的5组全排列,分别对应5部分,则一共有 × =16 800种不同的放法.
