3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
题组一 对二项式定理的理解
1.若 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a-b=( )
A.3 B.2 C.0 D.-1
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.设A=37+×
32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
题组二 展开式的特定项、项的系数及二项式系数
4.的展开式中,含x2的项的系数是( )
A.-462 B.462 C.792 D.-792
5.若的展开式中含有非零常数项,则正整数n的可能取值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为( )
A.14 B.-14
C.240 D.-240
7.的展开式的第4项是 .
8.若(x+2)6+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a3= .
9.已知在的展开式中,第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
题组三 二项式系数的性质
10.在(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
11. x≠0,可以写成关于x2+的多项式,则该多项式各项系数之和为( )
A.240 B.241 C.242 D.243
12.(多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是( )
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
13.已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中的常数项为 .
14.若的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含的项的系数是 .
15.已知(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
题组四 杨辉三角
16.下图是与杨辉三角有类似性质的三角形数阵,若a,b依次是某行的前两个数,当a=7时,b=( )
A.20 B.21 C.22 D.23
17.(多选题)如图所示,在“杨辉三角”中,下列命题正确的是( )
A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:
B.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+…+=2n
C.第20行中,第10个数最大
D.第15行中从左到右第7个数与第8个数的比为7∶9
18.阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的规律.
根据上述规律,完成下列问题:
(1)直接写出:(a+b)5= ;
(2)(a+1)8的展开式中a项的系数是 .
能力提升练
题组一 展开式的特定项及项的系数
1.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.的展开式中的常数项为( )
A.588 B.589
C.798 D.799
3.(x-2y+2z)5的展开式中,xy3z的系数为( )
A.-320 B.320 C.-240 D.240
4.已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
5.若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,则实数m的值为 .
题组二 二项式系数的性质
6.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数之和为0,则展开式中含x6的项的系数为( )
A.45 B.-45 C.120 D.-120
7.(多选题)对于(m为常数,且m≠0),下列说法正确的是( )
A.展开式有常数项
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.若m=2,则展开式的各二项式系数和为310
D.≥1在x∈[1,3]上恒成立,则m≥0
8.(多选题)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则下列说法正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数之和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数之和为
C.展开式中所有偶次项系数之和为
D.+…+=-1
9.若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
10.已知的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组三 杨辉三角
11.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则下列说法错误的是( )
A.在第9条斜线上,各数之和为55
B.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小
C.第n条斜线上共有个数
D.在第11条斜线上,最大的数是
12.(多选题)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中提出了杨辉三角,如图所示,这是数学史上的一个伟大成就.该图中蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是( )
A.+…+
B.111=11,112=121,……,115=15 101 051
C.从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个
D.第5行到第10行的所有数字之和为2 024
题组四 二项式定理的应用
13.1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
14.假设今天是星期二,那么经过22 021天后是( )
A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六
15.若n是正奇数,则7n+7n-2+…+7被9除的余数为( )
A.2 B.5 C.7 D.8
16.证明:(1)5151-1能被7整除;
(2)32n+2-8n-9是64的倍数.
答案与分层梯度式解析
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 10.C 11.D
12.ACD 16.C 17.ABD
1.C 由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.故选C.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A A-B=×30=(3-1)7=27=128.
4.D 的展开式的通项公式为Tk+1=x12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5,
所以含x2项的系数是(-1)5=-792.故选D.
5.C 的展开式的通项公式为Tr+1=(3x2)n-r··3n-r··x2n-5r,
因为的展开式中含有非零常数项,
所以存在n,r∈N+,使得2n=5r,
所以n=,结合选项可知,当r=2时,n=5.
故选C.
6.C 的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由题可得=2∶5,即5,解得n=6,所以Tr+1=,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为26-2(-1)2=15×16×1=240,故选C.
7.答案 -20x2
解析 的展开式的通项公式为Tr+1=,r=0,1,…,6,
则第4项是T4=(-1)3×=-20x2.
8.答案 140
解析 (x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,得r=3,
则(x+2)6的展开式中含x3的项为23x3=160x3.
(x-1)6的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,
则(x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3x3=-20x3.
故a3=160-20=140.
9.解析 (1)的展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤n,r∈N).
因为展开式中的第5项为常数项,
所以当r=4时,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故展开式中含x2的项的系数为=-4.
(3)由题意得所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=,
故展开式中所有的有理项为-4x2,.
10.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以,其展开式的通项公式为Tr+1=(r=0,1,2,3),令r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31=9.故选C.
11.D +2,
令t=x2+,得=(t+2)5,
令t=1,得(t+2)5=35=243,
所以该多项式各项系数之和为243.故选D.
12.ACD (2x-1)7的展开式的第(r+1)项为Tr+1=·(2x)7-r·(-1)r=·(-1)r·27-r·x7-r,
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,
所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确.
令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1;
令x=0,则(0-1)7=a0=-1,
故a1+a2+…+a7=1-(-1)=2,故B错误.
令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a6+a7)-(a0-a1+a2-…+a6-a7)]=,故C正确.
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.
13.答案 405
解析 由题意得,由组合数的性质可知n=10,所以.
因为展开式的各项系数之和为1 024,
所以在中,令x=1,得(a-1)10=1 024=210.
因为a>0,所以a=3.
所以的展开式的通项公式为Tr+1=.
令20-=0,解得r=8,
所以常数项为(-1)8310-8=405.
14.答案 -
解析 因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以=6-1,即n=10,故,
其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤10,r∈N),令5-,解得r=3,∴展开式中含的项的系数为··(-2)3=-.
15.解析 由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为.
(1)令x=1,得展开式中各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),
令4-,得r=1,
故展开式中含的项为T2=-16.
(3)展开式中的第(r+1)项的系数的绝对值为·2r,设第(r+1)项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T5=1 120x-6.
16.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
17.ABD 易知A,B正确;对于C,第20行的数是(i=0,1,2,…,20),最大的数是,即是第11个数,故C错误;
对于D,易知第n行从左到右第k个数是,则第15行中从左到右第7个数与第8个数分别是和,则,故D正确.
故选ABD.
18.答案 (1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)8
解析 (1)由题图可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式中a项的系数为=8.
能力提升练
1.B 2.B 3.A 6.A 7.AB 8.ACD 11.A 12.AC
13.B 14.D 15.C
1.B 的展开式的通项公式为Tr+1=x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N+,所以当r=2时,n有最小值3.故选B.
2.B 解法一:的展开式的通项公式为Tr+1=·,r=0,1,…,8,
的展开式的通项公式为Tk+1=)8-r-k·,0≤k≤r,k∈N,
令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展开式中的常数项为=589.
故选B.
解法二:易知可以看成8个因式+1相乘,
若得到常数项,则有以下情况:①8个1;②2个,1个,5个1;③4个,2个,2个1.
所以展开式中的常数项为×12=589.
故选B.
3.A 因为(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,
所以其通项公式为Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r,
令r=1,得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z.
(x-2y)4的通项公式为T'n+1=·x4-n·(-2y)n,
令n=3,得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3,
因此xy3z的系数为10×(-32)=-320,故选A.
4.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4中含x2的项为x2,含x3的项为x3,
所以(ax-2)(x+1)4中含x3的项为axx3,
故a=-2,解得a=1.
5.答案 2或-2
解析 在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中,
令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023,
令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023,
所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023)
=(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
6.A 由题意得+1=6,解得n=10,
∴.
∵展开式的所有项的系数之和为0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴,其展开式的通项公式为Tr+1=x10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A.
7.AB 对于A,的展开式的通项公式为Tr+1=x10-r·x10-2r,
令10-2r=0,可得r=5,因此展开式的第6项为常数项,故A正确;
对于B,由的展开式,结合二项式系数的性质,可得展开式的第6项的二项式系数最大,故B正确;
对于C,当m=2时,展开式的各二项式系数和为210,故C错误;
对于D,由≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+≥1或x+≤-1在x∈[1,3]上恒成立,
即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立,
令g(x)=x-x2,则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=0,
令h(x)=-x-x2,则h(x)在[1,3]上单调递减,所以h(x)min=h(3)=-12,
所以m≥0或m≤-12,故D错误.故选AB.
8.ACD 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.展开式中所有项的二项式系数的和为+…+=22 021,故A正确;由可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,故B错误;由可得a0+a2+a4+…+a2 020=,故C正确;令x=0,有a0=1,令x=,有a0++…+=0,故+…+=-1,故D正确.故选ACD.
9.答案 1-32 020
解析 令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
10.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即.
(2)的展开式的通项公式为Tr+1=·(2x)100-r··2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为·2100-r,
设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则解得≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
11.A 从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,设这些数依次为a1,a2,…,
则各数出现的规律是an+2=an+an+1(n∈N+),
所以第8条斜线上各数之和为8+13=21,第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A中说法错误;
由题图易知,从左往右,第1条斜线上的数:1,
第2条斜线上的数:,
第3条斜线上的数:,
第4条斜线上的数:,
第5条斜线上的数:,
第6条斜线上的数:,
……
依此规律,第11条斜线上的数为,最大的数是,故D中说法正确;
由上面的规律可知:n为奇数时,第n条斜线上共有个数,
n为偶数时,第n条斜线上共有个数,
所以第n条斜线上共有个数,故C中说法正确;
由上述每条斜线上的数的规律可知,在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故B中说法正确.故选A.
12.AC 对于A,已知(m,n∈N+,m则+…++…++…+=…=,故A正确;
对于B,115=(1+10)5=15+×104+105=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B错误;
对于C,第n(n∈N)行共有(n+1)项,
从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=,
因为=2 016,且2 024=2 016+8,
所以从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个,故C正确;
对于D,第n(n∈N+)行所有项之和为+…+=2n,
所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210=32+64+…+1 024=2 016,故D错误.
故选AC.
13.B 1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故选B.
14.D 22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),在·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4=4,故经过22 021天后是星期六,故选D.
15.C 原式=7n-2+…+7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因为n为正奇数,所以上式可化简为9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以原式除以9的余数为7.故选C.
16.证明 (1)5151-1=(49+2)51-1=·4951+·4950·2+…+·49·250+·251-1,
易知除·251-1以外各项都能被7整除.
又·251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=·717+·716+…+·7+-1
=7(715+…+),
∴上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+·8+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82
=(8n-1+·8n-2+…+)·64,
∴32n+2-8n-9是64的倍数.
25(共23张PPT)
一般地,当n是正整数时,有(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+ bn.上述公式称为二项
式定理,等式右边的式子称为(a+b)n的展开式,它共有n+1项,其中 an-kbk是展开式中的第k+1项
(通常用Tk+1表示), 称为第k+1项的二项式系数,我们将Tk+1= an-kbk称为二项展开式的通项公
式.
注意:通项公式Tk+1= an-kbk中,要求n是正整数,k是满足0≤k≤n的自然数.
3.3 二项式定理与杨辉三角
知识点 1 二项式定理
知识 清单破
知识点 2 二项式系数的性质
1.对称性
在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 = .
2.单调性与最大值
二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为
奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且最大.
3.各二项式系数的和
(1) + +…+ =2n;
(2) + + +…= + + +…=2n-1.
知识点 3 杨辉三角的性质
1.每一行都是对称的,且两端的数都是1.
2.从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和,即 =
+ .
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1. an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.( )
2.(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的各二项式系数对应相同.( )
3.二项展开式的各二项式系数的和为 + +…+ . ( )
4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项. ( )
an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r+1项.
提示
√
二项展开式的各二项式系数的和为 + + +…+ =2n.
提示
展开式共10项,其中奇数项系数为正,偶数项系数为负,所以系数最大的项为第5项.
提示
求二项展开式中的特定项时,一般先写出二项展开式的通项公式,再利用函数或方程思
想求解.
(1)对于常数项,令通项公式中字母的指数为0.
(2)对于有理项,令通项公式中所有字母的指数都为整数.求解时必须合并通项公式中同一字
母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
(3)对于整式项,其通项公式中合并同类项后同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有
理项一致.
讲解分析
疑难 1 求二项展开式中的特定项
疑难 情境破
典例 (1) x- n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为 ( )
A.-270 B.-240 C.240 D.270
(2) 的展开式中有理项共有 ( )
A.4项 B.5项 C.6项 D.7项
(3)(x- )n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为 .
C
C
12x2
解析 (1) x- n的展开式的通项公式为Tr+1= ·xn-r· - r=(-2)r · .令r=4,则n- ×4=0,
解得n=6,∴展开式中的常数项为T5=(-2)4× =240.故选C.
(2) 的展开式的通项公式为Tr+1= (x2)10-r =2r · (r=0,1,2,…,10),令20- 为
整数,可得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C.
(3)(x- )n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4= xn-3·(- )3
=-2 xn-3.依题意得 = ,故n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x- )n=(x- )4,其展开式的
通项公式为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的展开式中含x2的项为T3=
x2(- )2=12x2.
求三项展开式中特定项的方法
(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开.
(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最
后合并同类项.
讲解分析
疑难 2 三项展开式问题
典例 的展开式中x2的系数为 .
800
解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.
(1+x)5的展开式的通项公式为Tr+1= xr,
(2+x)5的展开式的通项公式为Tk+1= ·25-kxk,
所以 的展开式的通项公式为Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.
令r+k=2,可得 或 或
因此 的展开式中x2的系数为 × ×23+ × ×24+ × ×25=800.
解法二: = ,其展开式的通项公式为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),
(x2+3x)5-k的展开式的通项公式为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),
所以Tk+1= ·2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N).
令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.
当k=3,r=2时,x2的系数为 × ×23×32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为 × ×24×30=80.
综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800.
解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因
式中取x2,其余4个因式中都取2;②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2.故x2的系数为 ×24
+ ×32×23=80+720=800.
赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根据所求,灵
活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
讲解分析
疑难 3 赋值法求展开式中的系数和
典例 (1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则 + + +…+
的值为 ( )
A.28 B.28-1 C.27 D.27-1
(2)若 (4x-1)9= +a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a0+ + +…+ = .
B
5
解析 (1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B,则A=a1+
a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….
由已知可得B-A=38.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
由二项式系数的性质可得 + + +…+ =2n- =28-1.
(2)由题意知,b= ×(-1)9=-1,
令x= ,得3=2b+a0+ + +…+ ,
则a0+ + +…+ =5.
讲解分析
疑难 4 二项式系数的性质及应用
1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质(当n为奇数时,中间两项的二项式系数
最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大)求解.
2.求二项展开式中系数的最大(小)值的思路
(1)将系数看成关于n的函数,结合函数的单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值;
(2)在系数均为正值的前提下,求它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据二项展开
式的通项公式列出不等式(组)即可.
典例 在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
解析 (1)二项式系数最大的项是第11项,即T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项,
则
化简得
解得 ≤r≤ (r∈N),
所以r=8,
即T9= ×312×28×x12y8是系数绝对值最大的项.
(3)解法一:由于系数为正的项为y的偶次方项,因此可设第2k-1项系数最大,
则
所以 解得k=5,即第9项系数最大,T9= ×312×28×x12y8.
解法二:由(2)知系数绝对值最大的项的系数为正,故此项的系数也最大,故系数最大的项为T9
= ×312×28×x12y8.
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
讲解分析
疑难 5 杨辉三角问题
典例 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右第14与第15个数
的比为2∶3,则n的值为( )
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
… …
A.32 B.33 C.34 D.35
C
解析 由题意知 ∶ =2∶3,所以3 =2 ,
即 = ,得 = ,
解得n=34.
讲解分析
疑难 6 二项式定理的应用
1.进行近似计算
利用二项式定理进行近似计算的关键在于构造恰当的多项式(a+b)n(n∈N+,a∈Z,|b|<1),
并根据近似要求,对其展开式的项进行合理取舍,从而确定其近似值.
2.解决整除性、求余数问题
(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式.一般先将被除数化为含有相
关除数的二项式,再展开,使其展开式中的某些项均含有除数这个因数,这时只考虑其中不含
有这个因数的项即可.
(2)求余数时,要注意余数的取值范围,余数大于零且小于除数,利用二项式定理展开变形后,若
“剩余部分”是负数,要注意进行转换.
典例 (1)设a∈Z,且0≤a≤14.若512 023+a能被13整除,则a= ( )
A.0 B.1
C.13 D.14
(2)0.9986的近似值为 ;(精确到0.001)
(3)S= + +…+ 除以9的余数为 .
D
0.988
7
解析 (1)∵512 023+a=(52-1)2 023+a= ·522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52-1+a能被13整
除, 522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52能被13整除,
∴-1+a也能被13整除.
又∵0≤a≤14,a∈Z,∴a=14.故选D.
(2)0.9986=(1-0.002)6=1+ (-0.002)+ (-0.002)2+…+ (-0.002)6.
∵展开式中的第三项T3= (-0.002)2=15×0.0022=0.000 06<0.001,且第三项以后的项的绝对值
都远小于0.001,
∴从展开式的第三项起,以后的项都可以忽略不计,
∴0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988.
(3)S= + +…+ =227-1=89-1=(9-1)9-1= 99- 98+ 97-…+ 9- -1=9( 98- 97+ 96-…
+ )-2,
故S除以9的余数为7.
