本章复习提升-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　混淆排列与组合问题致错
1.将大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,不同的排法有　　　　种.
2.某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加马拉松比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有　　　　种.
3.从5本不同的科普书和4本不同的数学书中选出4本,送给4位同学,每人1本.
(1)如果科普书和数学书各选2本,共有多少种不同的送法
(2)如果科普书甲和数学书乙必须送出,共有多少种不同的送法
(3)如果选出的4本书中至少有3本科普书,共有多少种不同的送法
易错点2　计数时重复或遗漏致错
4.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘,若每人至多被一个学校录用,每个学校至少录用其中一人,则不同的录用情况种数为(　　)
A.300　　　　B.360　　　　C.390　　　　D.420
5.直线l的方程为Ax+By=0,若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示　　　　条不同的直线.
6.过氧化氢(H2O2)是一种重要的化学品,工业用途广泛,通过催化H2和O2直接合成H2O2被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中,已知氧的同位素有17种,氢的同位素有3种,现有由16O,18O及1H,2H,3H五种原子中的几种构成的过氧化氢分子,则分子种数最多为　　　　.
7.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法
易错点3　对特殊对象或特殊位置考虑不周致错
8.11月29日,某市渔民迎来入冬第一个开捕日,已知7位渔民分在一个小组,各驾驶一艘渔船依次进湖捕鱼,甲、乙渔船要排在一起出行,丙渔船必须在最中间出行,则不同的排法有(　　)
A.96种　　　　B.120种　　　　C.192种　　　　D.240种
9.公元5世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是(3.141 592 6,3.141 592 7),为纪念祖冲之在圆周率的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字有(　　)
A.2 280个　　　　B.2 120个　　　　C.1 440个　　　　D.720个
10.某单位计划安排6名志愿者在相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动,每个路口安排1名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有　　　　种.
11.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数,要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字,则符合要求的六位数的个数为　　　　.
易错点4　混淆展开式中项的系数与二项式系数致错
12.(多选题)下列关于的展开式的说法中正确的是　　(　　)
A.常数项为-160
B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大
D.含x2项的系数为30
13.已知(3x+1)6的展开式中各项系数的和为m,且n=log2m,则的展开式中二项式系数最大的项的系数为　　　　.
14.已知(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a9xy9+a10y10,求:
(1)各二项式系数和;
(2)各项系数和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
15.已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35,前三项的系数和为201.
(1)求正实数a,n的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
思想方法练
一、分类讨论思想在排列、组合中的应用
1.口袋里有红、黄、蓝、绿的小球各4个,这些球除颜色外完全相同,现在从口袋里任意取出4个小球,则不同的取法有(　　)
A.48种　　　　B.77种　　　　C.35种　　　　D.39种
2.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点,则不同的取法种数为(　　)
A.141　　　　B.144　　　　C.150　　　　D.155
3.用4种不同颜色给图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂法种数为(　　)
1 4 5
2
3
A.72　　　　B.96　　　　C.108　　　　D.120
二、转化与化归思想在排列、组合中的应用
4.现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同的小球不相邻,则不同的排法种数为(　　)
A.48　　　　B.72　　　　C.78　　　　D.84
5.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人左右不相邻,那么不同坐法的种数是(　　)
A.234　　　　B.346　　　　C.350　　　　D.363
三、整体思想在排列、组合中的应用
6.中国古代儒家要求学生掌握六种技能:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,每天连排六节,每艺一节,要求“礼”和“数”不能相邻,“射”和“乐”必须相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　)
A.24种　　　　B.72种　　　　C.96种　　　　D.144种
7.某款App软件设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块.某人在学习过程中,“阅读文章”不放首位,四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有(　　)
A.60种　　　　B.192种
C.240种　　　　D.432种
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
8.已知(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则n的值为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
9.若的展开式中x4的系数为150,则a2=　　　　.
10.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则m=　　　　,a1+a3+a5=　　　　.
11.已知(1+2x)m+(1+4x)n (m,n∈N+)的展开式中含x的项的系数为36,求展开式中含x2的项的系数的最小值.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
4.C 8.C 9.A 12.AC
1.答案　56
解析　8个小球排好后对应着8个位置,相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,这3个红球完全相同,不需要考虑顺序,是组合问题,共有=56种排法.
2.答案　84
解析　分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加,有=30种报名方案;②只从丙、丁中选出1人参加,有=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1人参加,有=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案.
3.解析　(1)从5本科普书中选2本有种选法,从4本数学书中选2本有种选法,再把4本书给4位同学有种送法,
所以科普书和数学书各选2本,共有=1 440种不同的送法.
(2)因为科普书甲和数学书乙必须送出,所以再从其余7本书中选2本有种选法,再把4本书给4位同学有种送法,
所以共有=504种不同的送法.
(3)选出的4本书均为科普书有种选法,选出的4本书中有3本科普书有种选法,再把4本书给4位同学有种送法,所以至少有3本科普书的送法有()·=1 080(种).
易错警示
解决计数问题时,要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的对象是“排成一列”还是“并成一组”,不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题,则会漏解,反之会重复计数.
4.C　(1)若5人中有3人被录用,则不同的录用情况种数为=60;
(2)若5人中有4人被录用,则不同的录用情况种数为=180;
(3)若5人全部被录用,则不同的录用情况种数为=150.
综上,不同的录用情况种数为60+180+150=390.
故选C.
易错警示
本题是分组分配问题,当录用人数超过学校个数时,解决的步骤是先分组后分配, 若采用二次分配方式,即先分3人,再分剩余人,则会因重复计数导致错误.
5.答案　22
解析　当A或B中有一个为0时,有2条不同的直线;当A·B≠0时,有5×4=20条不同的直线.故共有2+20=22条不同的直线.
易错警示
本题的易错点是认为只要选取两个不同的数作为A,B的值就可得到不同的直线,从而出现=30条不同直线的错误答案.实际上,这种想法导致了重复计数,所以计数时,不但要懂得计数方法,还要考虑实际情况,在本题中应注意直线方程的特征.
6.答案　18
解析　过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子,共4个原子.
构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种,取法共有=3(种);
构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种,取法共有=6(种).
因此构成的过氧化氢分子的种数最多为3×6=18.
7.解析　由题意可知,在艺术小组中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.
把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类:
第1类:甲入选,则还需从其他8人中任选1人,因此这类选法的种数为8;
第2类:甲不入选,则从6个只会钢琴的人中选出1人,有6种不同的选法,从2个只会小号的人中选出1人,有2种不同的选法,因此这类选法的种数为6×2=12.
所以共有8+12=20种不同的选法.
8.C　由题意知丙渔船必须在最中间(第4位),则甲、乙渔船排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位,故不同的排法有=192(种).
故选C.
9.A　由于1,4,1,5,9,2,6这7个数字中有2个相同的数字1,故进行随机排列,可以得到的不同情况有种,但只有小数点后前两位为11或12时,得到的数字不大于3.14,故不大于3.14的不同情况有2,故得到的大于3.14的不同数字有=2 280(个).
10.答案　144
解析　当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时,利用“捆绑法”,将甲、乙两名志愿者看作一个整体,再与其余四名志愿者全排列,一共有=240种不同的安排方式.
当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,且丙在第一个或最后一个路口时,一共有=96种不同的安排方式.
故所求安排方式一共有240-96=144(种).
易错警示
利用“捆绑法”解决排列问题时,要注意捆绑对象本身的内部排列.
11.答案　108
解析　可以分为以下几类:
第一类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第五位,
先排第一位有2种排法,再排第三位和第五位有种排法,最后将奇数排在第二位,第四位,第六位有种排法,
所以第一类包含的六位数的个数为2=24;
第二类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第六位,
同理,第二类包含的六位数的个数为2=24;
第三类:0,2,4排在从左至右的第一位,第四位,第六位,
同理,第三类包含的六位数的个数为2=24;
第四类:0,2,4排在从左至右的第二位,第四位,第六位,
先排偶数数字有种排法,再排奇数数字有种排法,
所以第四类包含的六位数的个数为=36.
由分类加法计数原理可得,符合要求的六位数的个数为24+24+24+36=108.
易错警示
在与数字有关的排列问题中,易忽略特殊位置对“0”的要求,造成错解.
12.AC　的展开式的通项公式为·(-2x)k=(-2)kx2k-6.
对于A,令2k-6=0,解得k=3,
∴常数项为(-2)3=-8×20=-160,故A正确;
对于B,由展开式的通项公式知,若要系数最大,则k的所有可能取值为0,2,4,6,
∴T1=x-6,T3=4x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x6,
∴展开式中第5项的系数最大,故B错误;
对于C,展开式共有7项,第4项的二项式系数最大,故C正确;
对于D,令2k-6=2,解得k=4,所以含x2项的系数为(-2)4=240,故D错误.故选AC.
13.答案　59 136
解析　设(3x+1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=1,得m=(3+1)6=46=212,
∴n=log2m=log2212=12,∴,其展开式共有13项,且中间一项(第7项)的二项式系数最大,该项为T7=·x-3=59 136x-3.故所求的系数为59 136.
14.解析　(1)各二项式系数和为+…+=210=1 024.
(2)令x=1,y=1,则(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,所以各项系数和为1.
(3)奇数项的二项式系数和为+…+=29=512,偶数项的二项式系数和为+…+=29=512.
(4)由(2)知,a0+a1+a2+…+a10=1①,
取x=1,y=-1,则(2×1+3×1)10=510=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10②,
所以奇数项的系数和为a0+a2+…+a10=,偶数项的系数和为a1+a3+…+a9=.
(5)由(4)知,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9=,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10=.
15.解析　(1)的展开式的通项公式为Tr+1=)n-r·(0≤r≤n,r∈N).
根据题意得=35,即n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).
又前三项的系数和为201,所以1+a=201,即9a2+2a-40=0,解得a=2或a=-(舍去).
故a=2,n=10.
(2)由(1)得,其展开式的通项公式为Tr+1=2r(0≤r≤10,r∈N).
设第(r+1)项的系数最大,则
即
即解得≤r≤.
因为0≤r≤10,r∈N,所以r=7.
当r=7时,T8=15 360,则展开式中系数最大的项为T8=15 360.
易错警示
(a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;第(r+1)项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数.注意二项式系数一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B
1.C　由于小球除颜色外完全相同,所以按照不同颜色情况进行分类讨论.
根据题意,取出的4个小球可以有一种或两种或三种或四种颜色,
当取出的小球只有一种颜色时,有4种取法;
当取出的小球只有两种颜色时,有×(1+2)=18种取法;
当取出的小球只有三种颜色时,有=12种取法;
当取出的小球有四种颜色时,有1种取法.
综上所述,共有4+18+12+1=35种取法.故选C.
2.A　从10个点中任取4个点有种取法,
由于共面情况不符合要求,所以对其中4个点共面的情况进行分类讨论.
4个点共面的情况有三类:
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个顶点共面有3种.
故不同的取法共有-6-3=141(种).故选A.
思想方法
分类讨论思想在排列组合中的应用重点关注能否根据具体问题的条件确定分类标准,利用计数原理解决问题.
3.B　按照区域1与区域3颜色不同与颜色相同分类.
第一类,若区域1与区域3颜色不同,先用4种颜色涂区域1到区域4,共有种不同的涂法,再取区域1,2,3中的一种颜色涂区域5,有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理得,有3种不同的涂法;
第二类,若区域1与区域3颜色相同,且4种颜色全部使用,则用4种颜色涂区域1,2,4,5,有种不同的涂法.
由分类加法计数原理得,共有3=96种不同的涂法.故选B.
思想方法
分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类时要明确分类标准,做到不重不漏.
4.A　将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数,体现了转化思想.
五个小球全排列,共有=120种排法.当两个红色小球相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法;当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法,∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.
5.B　将所求问题转化为求问题的反面,即求2人左右相邻的坐法种数,再用总的坐法种数减去该排列数.
一共可坐的位子有20个,2人坐的方法数为.把可坐的20个座位排成连续一行,则两人相邻的坐法有种,其中包括了两人不相邻的坐法2种.所以不同坐法的种数为=346.故选B.
思想方法
转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件利用间接法.
6.D　因为“射”“乐”相邻,所以将“射”“乐”看成一个整体.
将“射”和“乐”看成一个整体,与“御”和“书”全排列,有种排法,因为“礼”和“数”不能相邻,所以将“礼”“数”插在前边产生的4个空中,有种情况,所以不同的排课顺序有=144(种),故选D.
7.C　先排“阅读文章”和“视听学习”两个学习模块,分“阅读文章”模块在前与在后两种情况,再在四个答题模块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题模块插空,由于“阅读文章”不放首位,因此不同的方法种数为=240.
思想方法
整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊对象、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的对象看成一个整体,再和其他对象进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的对象内部是否还有顺序的要求.
8.B　∵(1+3x)n的展开式的通项公式为Tr+1=3rxr,
∴(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数分别是35,
由通项公式得出x5与x6的系数,根据等量关系列方程求解,体现了方程思想.
∴35,解得n=7.故选B.
9.答案　15
解析　的展开式的通项公式为Tr+1=(-a)rx10-3r(0≤r≤5,r∈N),
令10-3r=4,得r=2,
所以展开式中x4的系数为(-a)2=10a2=150,
按照展开式中特定项的系数列方程求解.
所以a2=15.
10.答案　-1;0
解析　(1+x)5的展开式的通项公式为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,则T2=x1=5x;令r=2,则T3=x2=10x2.所以(1+mx)(1+x)5的展开式中含x2的项为10x2+mx·5x=5x2,故m=-1,
根据含x2的项的系数为5列方程求出m的值.
故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5.令x=1,则(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,则(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0,所以a1+a3+a5=0.
11.解析　 (1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x的项为·2x+·4x=(2)x,
∴2=36,即m+2n=18.
(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x2的项的系数为42=2m2-2m+8n2-8n.
∵m+2n=18,且m,n∈N+,∴m=18-2n(1≤n≤8,n∈N+),令2m2-2m+8n2-8n=t,则t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16n2-(1≤n≤8,n∈N+),
通过换元,将有关m,n的关系式转化为关于n的函数,并利用函数的性质得到t的最小值,即含x2的项的系数的最小值,体现了函数思想.
∴当n取距离最近的正整数,即n=5时,t取得最小值,即含x2的项的系数最小,最小值为272.
思想方法
函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求展开式中的特定项;(2)求与系数和有关的问题;(3)求展开式中系数最大(最小)的项.
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