综合拔高练-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册

综合拔高练
高考真题练
考点1　排列、组合及其应用
1.(2023新课标Ⅱ,3)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(　　)
A.·种　　　　B.·种
C.·种　　　　D.·种
2.(2024全国甲文,5)甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A.
3.(2023全国甲理,9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A.120种　　　　B.60种　　　　C.30种　　　　D.20种
4.(2021全国甲理,10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)
A.
5.(2024新课标Ⅱ,14)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
6.(2023新课标Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
考点2　二项式定理
7.(2024北京,4)在(x-)4的展开式中,x3的系数为(　　)
A.6　　　　B.-6
C.12　　　　D.-12
8.(2022北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　)
A.40　　　　B.41
C.-40　　　　D.-41
9.(2024天津,11)在的展开式中,常数项为　　　　.
10.(2022新高考Ⅰ,13)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
11.(2024上海,6)在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为　　　　.
12.(2024全国甲理,13)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
13.(2022浙江,12)已知多项式(x+2)(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
14.(2021上海,7)已知(1+x)n的展开式中,唯有x3的系数最大,则(1+x)n的系数和为　　　　.
高考模拟练
应用实践
1.若(1+2x)n(n∈N+)的展开式中第6项与第7项的系数相等,则此展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.448x3　　　　B.1 120x4　　　　C.1 792x5　　　　D.1 792x6
2.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一书中,画了一个由(a+b)n(n=1,2,3,…)的展开式的二项式系数构成的三角形数阵,称作“开方作法本源”,这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中,从第2行开始,除1以外,其他每一个数值都是它肩上的两个数值之和,每一行第k(k≤n,k∈N+)个数组成的数列称为第k斜列.该三角形数阵前5行如图所示,则该三角形数阵前2 022行第k斜列与第(k+1)斜列的各项之和最大时,k的值为(　　)
第1行　　　　　1　　1
第2行　　　　1　　2　　1
第3行　　　1　　3 　 3 　 1
第4行　　1 　4 　 6 　 4 　 1
第5行　1　 5　 10　 10　 5　　1
　…　　　　　　　…
A.1 009　　　　B.1 010　　　　C.1 011　　　　D.1 012
3.某景区内有如图所示的一个花坛,此花坛有9个区域需栽种植物,要求同一区域中种同一种植物,相邻的区域种不同的植物,且圆环的3个区域种绿色植物,中间的6个扇形区域种鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择,则不同的栽种方法种数为(　　)
A.400　　　　B.396　　　　C.380　　　　D.324
4.(多选题)已知(3x+2)20=a0+a1x+a2x2+…+a20x20,则(　　)
A.a0=220
B.a0+a2+a4+…+a20=1
C.展开式的系数中a9最大
D.a0-+…+=1
5.为了更好地了解党的历史,宣传党的知识,传颂英雄事迹,某校团支部6人组建了党史宣讲,歌曲演唱,诗歌创作三个小组,每组2人,其中甲不会唱歌,乙不能胜任诗歌创作,则组建方法种数为(　　)
A.60　　　　B.72　　　　C.30　　　　D.42
6.设集合A={1,2,…,2 023},S={(A1,A2,…,A100)|A1 A2 … A100 A},则集合S的元素个数为(　　)
A.　　　　C.1002 023　　　　D.1012 023
7.如图1,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下,最后落入底部的格子中.如图2,将小球放入容器,从顶部下落,则小球落入D区的路线数为(　　)
图1　图2
A.16　　　　B.18　　　　C.20　　　　D.22
8.(多选题)下列等式中正确的是(　　)
A.
C.
9.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有　　　　种.
10.已知的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是14∶3,则n=　　　　,展开式中的常数项为　　　　.
11.若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+a5+…+a99)-3被8除的余数为　　　　.
12.如图,将1,2,3,4这4个数字填在6个“　”中,每个“　”中填一个数字,由线段连接的2个“　”不能填相同数字,4个数字不必均使用,则不同的填数方法有　　　　种.
13.牛顿在给莱布尼茨的信中描述了他的一个发现——广义二项式展开,即(x+y)α=xα-2y2+…+xα-kyk+…,其中广义二项式系数,α∈R,k∈N+.根据以上信息,若对任意|x|<,
都有=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…,则a3=　　　　.
14.给出下列条件:①展开式前三项的二项式系数的和等于16;②展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数之比为4∶1.从中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.
已知(n∈N+),且　　　　.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中所有的有理项.
15.某兴趣小组有9名学生,若从这9名学生中选取3人,则选取的3人中恰好有1名女生的概率是.
(1)该小组中男生、女生各有多少人
(2)9名学生站成一列,现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变),重新站队,问有多少种重新站队的方法 (要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列,要求男生必须两两站在一起,有多少种站队方法 (要求用数字作答)
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
1.D 2.B 3.B 4.C 7.A 8.B
1.D　根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有·种.故选D.
2.B　第一步,确定排尾,有种可能;第二步,确定排头,有种可能;第三步,确定剩余两个位置,有种可能,故丙不在排头,且甲或乙在排尾共有=8种.
基本事件总数显然是=24,
根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率P=.
故选B.
3.B　先从5人中选出1人两天都参加,有种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在周六和周日,有种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有=60(种),故选B.
4.C　从6个位置中任选2个位置排2个0,其他4个位置排4个1,共有=15种排法;先排4个1,再将2个0插空,共有=10种插法.
故所求概率P=.
易错警示
本题是相同对象的排列问题,实际上对象之间无区别,是组合问题.
5.答案　24;112
解析　在4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,相当于4个方格全排列,共有=24种选法.
解法一:由题表可知这四个数的十位数的和一定为1+2+3+4,因此要使和最大,只需比较这四个数的个位数的和,找出个位数和的最大值,经分析可知最大为5+1+3+3,此时这四个数分别为15,21,33,43,其和为112,故最大值为112.
解法二:由题表知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对值算出来,如下表,
4 3 3 4
3 2 1 2
2 2 1 1
要使四个数之和最大,差的绝对值就要最小,故要使四个数之和最大,这四个数应分别为15,21,33,43,和为112.
解法三:当数字排列如表(加阴影的方格中的数字发生变化)时,各行各列数均成等差数列,此时按题意选四个数,和为定值110.
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44
因为第1列、第3列加阴影的方格在原表中分别对应数字15,33,且15>14,33>32,所以若想原表中选出的四个数之和最大,则一定选原表中第1列、第3列加阴影方格中的数字,即一定选15和33,
因为第2列、第4列加阴影的方格在原表中分别对应数字22,40,且22<23,40<41,所以若想原表中选出的四个数之和最大,则一定不选原表中第2列、第4列加阴影方格中的数字,即一定不选22和40.
故要使四个数之和最大,这四个数应分别为15,21,33,43,和为112.
6.答案　64
解析　选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有·=16种选课方案;
选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有··=48种选课方案.
因此不同的选课方案共有16+48=64(种).
7.A　的展开式的通项公式为Tr+1=x4-r·(-)r=(-1)r··,令4-=3,解得r=2,所以x3的系数为(-1)2·=6,故选A.
8.B　∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,
令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,
∴a0+a2+a4=×(1+34)=41.故选B.
9.答案　20
解析　的展开式的通项公式为Tr+1=·x6(r-3),r=0,1,…,6,
令6(r-3)=0,可得r=3,
所以常数项为30=20.
10.答案　-28
解析　(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=28,x3y5的系数为=56,因此(x+y)8的展开式中x2y6的系数为28-56=-28.
11.答案　10
解析　令x=1,则各项系数和为(1+1)n=32,即2n=32,解得n=5,
易得(x+1)5的展开式的通项公式为Tr+1=·x5-r(r=0,1,2,3,4,5),令5-r=2,得r=3,则x2的系数为=10.
12.答案　5
解析　的展开式的通项公式为Tr+1=·xr,
设第(r+1)项的系数最大,
则即
即解得≤r≤,又r∈N,∴r=8,
∴各项系数中的最大值为=5.
13.答案　8;-2
解析　由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=(-1)2=8.
对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=0,得a0=2×(-1)4=2,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
14.答案　64
解析　由题意知则
解得5高考模拟练
1.B 2.C 3.B 4.AD 5.D 6.D 7.C 8.BCD
1.B　(1+2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)r,则T6=(2x)6,所以·25=·26,所以,即,
所以6=2(n-5),解得n=8,所以二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120x4.故选B.
2.C　当k≥2时,第k斜列各项之和为+…++…+,
同理,第(k+1)斜列各项之和为,所以,
所以第k斜列与第(k+1)斜列的各项之和最大即最大,所以k+1=1 012,所以k=1 011,故选C.
3.B　圆环的3个区域种绿色植物共有=6种方法.记中间的6个扇形区域分别为A,B,C,D,E,F,如图.
①当A,C,E种相同的鲜花时,有3×2×2×2=24种方法;②当A,C,E种2种不同的鲜花时,有×2×1×1=36种方法;③当A,C,E种的鲜花各不相同时,有×1×1×1=6种方法.故不同的栽种方法种数为6×(24+36+6)=396.故选B.
4.AD　∵(3x+2)20=a0+a1x+a2x2+…+a20x20,
∴当x=0时,a0=220,故A正确;
当x=1时,a0+a1+a2+…+a20=520,①
当x=-1时,a0-a1+a2-…+a20=1,②
①+②,得a0+a2+a4+…+a20=,故B错误;
(3x+2)20的展开式的通项公式为Tr+1=x20-r,0≤r≤20,r∈N,
设第(r+1)项的系数最大,显然r≠0且r≠20,于是
即
整理,得解得≤r≤,
∵r为整数,∴r=8,∴展开式的系数中a12最大,故C错误;
当x=-时,a0-+…+=1,故D正确.
故选AD.
5.D　由题意,将6人平均分成3个不同的小组,共有·=90种组建方法,
若甲在歌曲演唱小组,则有·=30种组建方法,
若乙在诗歌创作小组,则有·=30种组建方法,
若甲在歌曲演唱小组,且乙在诗歌创作小组,则有2=12种组建方法.
综上,共有90-30-30+12=42种组建方法.
故选D.
6.D　对每一个满足1≤i≤2 023的整数i,在A1,A2,…,A100中的从属关系有以下101种:
(1)i∈A1,i∈A2,i∈A3,…,i∈A100,
(2)i A1,i∈A2,i∈A3,…,i∈A100,
(3)i A1,i A2,i∈A3,…,i∈A100,
……
(101)i A1,i A2,i A3,…,i A100.
由分步乘法计数原理得,集合S的元素个数为1012 023.
故选D.
7.C　第一层只有1个小木钉,其左、右各有1个空隙,小球到这2个空隙处的线路数均为1;
第二层有2个小木钉,共有3个空隙,小球到这3个空隙处的线路数从左到右依次为1,2,1;
第三层有3个小木钉,共有4个空隙,小球到这4个空隙处的线路数从左到右依次为1,1+2,2+1,1,即为1,3,3,1;
第四层有4个小木钉,共有5个空隙,小球到这5个空隙处的线路数从左到右依次为1,1+3,3+3,3+1,1,即为1,4,6,4,1;
第五层有5个小木钉,共有6个空隙,小球到这6个空隙处的线路数从左到右依次为1,1+4,4+6,6+4,4+1,1,即为1,5,10,10,5,1;
第六层有6个小木钉,共有7个空隙,小球到这7个空隙处的线路数从左到右依次为1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1,即为1,6,15,20,15,6,1.
故小球落入D区的路线数为20.
故选C.
8.BCD　对于A,(1+x)8=x2+…+x8,
令x=1,得28=1++…+,所以=28-1,故A错误;
对于B,因为,
所以+…++…+
=+…+=…=,故B正确;
对于C,因为,
所以+…+,故C正确;
对于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,
对于(1+x)16,其含有x8的项的系数为,
对于(1+x)8(1+x)8,要得到含有x8的项的系数,
需先从第一个因式中取出k(0≤k≤8,k∈N)个x,再从第二个因式中取出(8-k)个x,
它们对应的系数为)2,
所以,故D正确.
故选BCD.
9.答案　44
解析　由题意,要安排甲、乙、丙、丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验舱安排1人,共有=60种方案;
若甲、乙两人同时在天和核心舱,则有=12种方案;若甲、乙两人同时在问天实验舱,则有=4种方案.
所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验的不同安排方案共有60-12-4=44(种).
10.答案　10;
解析　由题意得,则有3·=14·,化简得n2-5n-50=0,解得n=10或n=-5(舍去),
所以,
其展开式的通项公式为Tr+1=··(-2)r,由5-r=0,得r=2.
所以常数项为T3=··(-2)2=.
11.答案　5
解析　令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,①
令x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1,②
①-②,得2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,
即2(a1+a3+a5+…+a99)-3=3100-4.
3100-4=950-4=(8+1)50-4=·850+·849+…+·8+·850+·849+…+·8-3=·850+·849+…+·8-8+5.
因为·850+·849+…+·8-8能被8整除,所以·850+·849+…+·8-8+5被8除的余数为5,即2(a1+a3+a5+…+a99)-3被8除的余数为5.
12.答案　264
解析　如图,可分为两种情况讨论.
当用4个数字时,先填A,E,D,有种填法,再从B,F,C中选一处填第4个数字,如B,再填F,
若F与D相同,则C有2种填法,若F与D不同,则C有1种填法,于是有(2+1)种填法;
当用3个数字时,先填A,E,D,有种填法,再填B,有2种填法,则F,C各有1种填法,于是有2种填法.
综上所述,不同的填数方法有=216+48=264(种).
13.答案　-81
解析　由题可得(1-x)3=(1+2x)2(a0+a1x+a2x2+…+anxn+…)=(1+4x+4x2)(a0+a1x+a2x2+…+anxn+…),
比较两边常数项,则 a0=1,
比较两边含x的项,则(-x)1=a1x+4a0x,
所以a1+4a0=-3,所以a1=-7,
比较两边含x2的项,则(-x)2=a2x2+4a1x2+4a0x2,
所以a2+4a1+4a0=3,所以a2=27,
比较两边含x3的项,则(-x)3=a3x3+4a2x3+4a1x3,
所以a3+4a2+4a1=-1,所以a3=-81.
14.解析　(1)(n∈N+)的展开式的通项公式为Tr+1=,r=0,1,2,…,n.
若选①,则由题得=16,即n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍去),∴n=5.
若选②,则由题得=n-1=4,
∴n=5.
故,其展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为T3=.
(2)由(1)可得Tr+1=,r=0,1,2,…,5.
当5-∈Z,即r=0,2,4时,对应的项为有理项,所以展开式中有理项有T1=x5,T3=x3.
15.解析　(1)设男生有x人,
根据题意可知,
则x(x-1)(9-x) =90,
解得x=6.
故男生有6人,女生有3人.
(2)解法一:按坐座位的方法.
第一步,让6名男生先从9个位置中选6个位置坐,共有=60 480(种);
第二步,余下的座位让3名女生去坐,因为要保持相对顺序不变,故只有1种选择.
故共有60 480-1=60 479种重新站队的方法.
解法二:除序法.
第一步,9名学生站队共有种方法;
第二步,3名女生有种站队方法.
因为女生保持相对顺序不变,所以一共有=60 480种站队方法,所以重新站队的方法有60 480-1=60 479(种).
(3)第一步,将6名男生平均分成3组,共有=15(种);
第二步,3名女生站好队,然后将3组男生插入3名女生形成的4个空位中,共有=144(种);
第三步,3组男生的站队方法有()3=8(种).
由分步乘法计数原理可知,共有15×144×8=17 280种站队方法.
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