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4.1 条件概率与事件的独立性
知识 清单破
4.1.1 条件概率
知识点 条件概率
1.条件概率的概念
设A,B为两个事件,一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条
件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)= .
注意:P(A|B)与P(B|A)的意义不一样,一般情况下,它们也不相等.
2.条件概率的性质
假设A,B,C都是事件,且P(A)>0,则条件概率满足如下性质:
(1)P(B|A)∈[0,1];
(2)P(A|A)=1;
(3)如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
(4)设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A).
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. ( )
2.P(B|A)=1.4. ( )
3.P(B|A)≤P(AB). ( )
4.P(B|A)= 是可能的. ( )
若 事件A,B互斥,则事件A,B不可能同时发生,故P(B|A)=0.
提示
由P(B|A)= 及0
提示
事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)= .
提示
√
疑难 情境破
疑难 条件概率的求解
讲解分析
1.利用定义,分别求P(B)和P(A∩B),得P(A|B)= ,这是通用的求条件概率的方法.
2.借助古典概型的概率公式,先求事件B包含的样本点个数n(B),再求在事件B发生的条件下事
件A包含的样本点个数,即n(AB),得P(A|B)= .
典例1 若8件产品中有6件是一等品,从中任取2件,则在已知取出的2件中有一件不是一等品的
条件下,另一件是一等品的概率为 .
解析 设“取出的2件产品中至少有一件不是一等品”为事件A,“取出的2件产品中有一件
不是一等品,另一件是一等品”为事件B,
则n(A)= + =13,
n(AB)= =12,
所以P(B|A)= = .
典例2 在某次考试中,从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中4道题,则考试通过;
若至少能答对其中5道题,则获得优秀.已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这
次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.
解析 设事件A为“该考生6道题全答对”,
事件B为“该考生答对了其中的5道题”,
事件C为“该考生答对了其中的4道题”,
事件D为“该考生在这次考试中通过”,
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,
则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C.
由古典概型的概率公式及互斥事件的概率加法公式可知,P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
= + + = .
∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),∴P(E|D)=P((A∪B)|D)
=P(A|D)+P(B|D)
= + = + = .
∴他获得优秀的概率是 .
名师点睛
当题目中有“在……前提下”等字眼时,一般为条件概率问题,如题目中没有上述字眼,但已
知事件的发生影响了所求事件的概率,也是条件概率问题.在条件概率的表示中,“|”之后的
部分表示条件.为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个简单的互斥事件,
求出这些简单事件的概率后,相加即得到复杂事件的概率.第四章 概率与统计
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
基础过关练
题组一 利用定义求条件概率
1.(多选题)设A,B是两个事件,且B发生时A必定发生,0A.P(A+B)=P(B) B.P(B|A)=
C.P(A|B)=1 D.P(AB)=P(A)
2.根据历年的气象数据,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2,则在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为( )
A.0.5 B.0.625 C.0.8 D.0.9
3.在5道试题中,有2道代数题和3道几何题,每次从中抽出1道题,抽出的题不再放回,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为( )
A.
4.逢年过节走亲访友,成年人喝酒是经常的事,但是饮酒过度会影响健康,某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计,一次性饮酒4.8两,诱发某种疾病的频率为0.04,一次性饮酒7.2两,诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率,已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病,则他还能继续饮酒2.4两,未诱发这种疾病的概率为( )
A.
C.
5.地面上现有标号分别为1~10的一个游戏方格,某人抛一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则他向前走2格,若反面朝上,则他向前走3格,从起始位置开始出发,若他超过10号位置,则游戏结束,那么他在8号位置停留的条件下,恰好已经抛了四次硬币的概率是( )
A.
6.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%,充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电,那么该用户的车能够充电2 500次的概率为 .
7.一个盒子中有4个白球,m个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知在第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则m= .
8.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
已知该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.3 0.15 0.2 0.2 0.1 0.05
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.
题组二 利用样本点个数求条件概率
9.甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目,记事件A:甲和乙选择的项目不同,事件B:甲和乙恰好一人选择①,则P(B|A)=( )
A.
10.某学习小组共有11名成员,其中有6名女生,为了解学生的学习状态,随机从这11名成员中抽选2名任小组组长,协助老师了解情况,A表示“抽到的2名成员都是女生”,B表示“抽到的2名成员性别相同”,则P(A|B)=( )
A.
11.从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中不放回地依次取2个数,设事件A为“第一次取到的数是偶数”,事件B为“第二次取到的数是3的整数倍”,则P(B|A)=( )
A.
12.甲、乙2名同学和另外5名同学站成两排拍照,前排3人,后排4人.若每个人都随机站队,且前后排不认为相邻,则在甲、乙站在同一排的条件下,两人不相邻的概率为( )
A. C.
13.目前,国际上常用身体质量指数BMI=来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示,男员工中,肥胖者的占比为;女员工中,肥胖者的占比为,已知公司男、女员工的人数之比为2∶1,若从该公司中任选一名肥胖的员工,则该员工为男性的概率为( )
A. C.
第四章 概率与统计
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
基础过关练
1.ABD 2.A 3.D 4.A 5.D 9.B 10.A 11.D
12.B 13.D
1.ABD 若B发生时A必定发生,则P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),故A,D中结论错误;P(B|A)=,故B中结论错误;P(A|B)==1,故C中结论正确.故选ABD.
2.A 设发生中度雾霾为事件A,刮四级以上大风为事件B,
则P(B)=0.4,P(AB)=0.2,
所以P(A|B)==0.5.
故在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为0.5.故选A.
3.D 设事件A:第1次抽到代数题,事件B:第2次抽到几何题,则P(A)=,
所以P(B|A)=.故选D.
4.A 设事件A表示“这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病”,事件B表示“这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病”,则P(A)=1-0.04=0.96,P(B)=1-0.16=0.84,
所以P(B|A)=.故选A.
5.D 设“他在8号位置停留”为事件A,“恰好已经抛了四次硬币”为事件B,则事件A:抛三次,一次正面朝上两次反面朝上,或者抛四次全部正面朝上,事件AB:抛四次全部正面朝上.
所以P(B|A)=.故选D.
6.答案
解析 记“该用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电”为事件A,“该用户的车能够充电2 500次”为事件B,则P(A)=0.85,P(AB)=0.35,
所以P(B|A)=.
7.答案 6
解析 记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,
则P(B)=··,
P(AB)=·,
∴P(A|B)=,
∴m=6.
8.解析 (1)用A表示事件“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生即一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)用B表示事件“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生即一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
易知P(AB)=P(B),
故P(B|A)=.
9.B 由题意知,n(A)==8,
所以P(B|A)=.故选B.
10.A 由题意可知n(B)==15,
所以P(A|B)=.
故选A.
11.D 易得n(A)=5×9=45,事件A∩B为“第一次取到的数是偶数且第二次取到的数是3的整数倍”.
若第一次取到的偶数为6或12,则第二次取到的数是3的整数倍的情况有3种;若第一次取到的偶数为4或8或10,则第二次取到的数是3的整数倍的情况有4种.故n(A∩B)=2×3+3×4=18.
∴P(B|A)=.故选D.
12.B 记事件A表示“甲、乙站在同一排”,事件B表示“甲、乙不相邻”,
则n(A)==2 160,n(AB)==960.
由条件概率公式,得P(B|A)=.
故选B.
13.D 设公司男、女员工的人数分别为2n,n,
则男员工中,肥胖者的人数为2n×,
女员工中,肥胖者的人数为n×.
设从该公司中任选的一名员工是肥胖者为事件A,任选一名员工为男性为事件B,
则P(AB)=,
则P(B|A)=.
故选D.
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