(共14张PPT)
知识点 1 乘法公式
知识 清单破
4.1.2 乘法公式与全概率公式
1.由条件概率的计算公式P(B|A)= (P(A)>0)可知,P(BA)=P(A)P(B|A).一般地,这个结论称
为乘法公式.
2.乘法公式的推广
假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|
A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.
知识点 2 全概率公式
1.一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| ).这称为全概率
公式.
2.全概率公式的推广
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)= P(BAi)=
知识点 3 贝叶斯公式*
1.一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)= = .这称为贝
叶斯公式.
2.贝叶斯公式的推广
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)= .
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ).( )
2.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可
能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性的和. ( )
3.全概率公式的主要作用是“由结果推测原因”. ( )
√
全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”,贝叶斯公式的主要作用是“由结果推
测原因”.
提示
乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法,即当直接计算P(AB)较为困难时,可先
求出P(A),P(B|A)(或P(B),P(A|B)),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)(或P(AB)=P(B)P(A|B))求
解.
讲解分析
疑难 1 乘法公式及其应用
疑难 情境破
典例 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后
1位数字.求:
(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.
解析 设Ai(i=1,2)为“第i次按对密码”,A为“不超过2次就按对密码”,则A=A1∪ A2.
(1)事件A1与事件 A2互斥,由互斥事件的概率加法公式和乘法公式,得
P(A)=P(A1)+P( A2)=P(A1)+P( )·P(A2| )= + × = .
因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为 .
(2)设事件B为“密码的最后1位是偶数”,
则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= + × = .
因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为 .
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求最后结果的概率,解题步骤如下:
(1)求划分后的每个小事件发生的概率,即P(Ai),i=1,2,…,n;
(2)求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai);
(3)利用全概率公式计算P(B),即P(B)= P(Ai)P(B|Ai).
讲解分析
疑难 2 全概率公式及其应用
典例 (1)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为
0.02,加工出来的零件放在一起.已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,则任意
取出一个零件是合格品的概率是( )
A. B. C. D.
(2)设盒中装有5只灯泡,其中3只是好的,2只是坏的,现从盒中随机地摸出2只,并换进2只好的,
再从盒中摸出2只,则第二次摸出的2只全是好的的概率为 .
C
0.55
解析 (1)设Ai=“任意取出一个零件是由第i台机床加工出来的”,i=1,2,B=“任意取出一个
零件是合格品”,则A1,A2互斥.
依题意,有P(A1)= ,P(A2)= ,P( |A1)=0.03,P( |A2)=0.02,则P(B|A1)=0.97,P(B|A2)=0.98,
∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= ×0.97+ ×0.98= .
(2)设Ai=“第一次摸出i只好的”,i=0,1,2,A=“第二次摸出的2只全是好的”,则A0,A1,A2两两互
斥.
易知P(A0)= = ,P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A|A0)=1,P(A|A1)= = ,P(A|A2)= = ,
∴P(A)=P(A2)P(A|A2)+P(A1)P(A|A1)+P(A0)P(A|A0)= × + × + ×1=0.55.
名师点睛
全概率公式体现了转化与化归的思想,即采用化整为零的方式,将各种情况下的概率分别求
出,再相加求和.
贝叶斯公式可以看成根据事件发生的结果寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时,
一般已知和未知条件如下:
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实,且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知,即P(B|Ai)
已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到;
(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).
讲解分析
疑难 1 贝叶斯公式的应用*
典例 甲盒装有1个白球、2个黑球,乙盒装有3个白球、2个黑球,丙盒装有4个白球、1个黑球.
现采取掷骰子的方式选盒,出现1点、2点或3点选甲盒,出现4点或5点选乙盒,出现6点选丙盒,
在选出的盒里随机摸出一个球,经过秘密选盒摸球后,宣布摸得一个白球,求此球来自乙盒的
概率.
解析 设事件A1为“摸出的球来自甲盒”,事件A2为“摸出的球来自乙盒”,事件A3为“摸出
的球来自丙盒”,事件B为“摸得白球”,则
P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= × + × + × = ,
所以P(A2|B)= = = = .
所以此白球来自乙盒的概率为 .4.1.2 乘法公式与全概率公式
基础过关练
题组一 乘法公式
1.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,发芽后的幼苗的成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72
2.近来,受冷空气影响,某市气温变化异常,时有降雨和大风天气.经预报台统计,该市每年四月份降雨的概率为,出现四级以上大风天气的概率为,在出现四级以上大风天气的条件下,降雨的概率为,则在已知降雨的条件下,出现四级以上大风天气的概率为( )
A.
3.在100件产品中,有5件是次品,从中连续不放回地抽取3次,每次抽取1件,则第三次才取得次品的概率为 .(结果保留两位有效数字)
题组二 全概率公式
4.设A,B为两个事件,已知P(A)=,则P(A|B)=( )
A.
5.若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积,则如图所示的阴影部分的面积表示( )
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.事件B不发生的条件下事件A发生的概率
D.事件A,B同时发生的概率
6.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各取一张,则乙中奖的概率为( )
A.
7.甲、乙两个箱子里各装有5个大小、形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出一球,则从乙箱中取出的球是红球的概率为( )
A.
8.某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品最多不超过4件,且具有如下的概率:
一批产品中的 次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验,从每批产品中随机取出10件来检验,若发现有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为( )
A.0.814 B.0.809
C.0.727 D.0.652
9.浙江省高考实行“七选三”选科模式,赋予了学生充分的自由选择权.甲、乙、丙三所学校分别有75%,60%,50%的学生选了物理,这三所学校的学生数之比为1∶1∶2,现从这三所学校中随机选取一名学生,则这名学生选了物理的概率为 .
题组三 贝叶斯公式*
10.某货车为乡村小学运送书籍,共10箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.
11.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,假设小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是( )
A.
12.(多选题)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系:P(A|B)=.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果他第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学( )
A.第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为
13.通信渠道中可传输的字符为AAAA,BBBB,CCCC三者之一,传输三者的概率分别为0.3,0.4,0.3.由于通道噪声的干扰,正确地收到被传输字符的概率为0.6,收到其他字符的概率为0.2,假定字符前后是否被歪曲互不影响.若收到的字符为ABCA,则传输的字符是AAAA的概率为 .
14.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率依次为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由哪个车间生产的可能性最大
答案与分层梯度式解析
4.1.2 乘法公式与全概率公式
基础过关练
1.D 2.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.A 10.B
11.D 12.AC
1.D 记“水稻种子发芽”为事件A,“发芽的种子成长为幼苗”为事件B,则“水稻种子成长为幼苗”为事件AB.由题意得P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9×0.8=0.72.
2.B 记“降雨”为事件A,“出现四级以上大风天气”为事件B,则P(A)=,
∴P(AB)=P(A|B)P(B)=,
∴P(B|A)=.故选B.
3.答案 0.046
解析 用Ai(i=1,2,3)表示“第i次取得次品”,B表示“第三次才取得次品”,则B=A3,
∴P(B)=P()
=≈0.046.
4.B 由P(B)=,得P(,显然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故选B.
5.A 由题意得P(A|B)·P(B)+P(A|)·[1-P(B)]=P(AB)+P(A|)·P()=P(A).故选A.
6.B 设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,
则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|.
故选B.
7.B 用A1表示事件“从甲箱中随机取出一球是红球”,A2表示事件“从甲箱中随机取出一球是白球”,B表示事件“从乙箱中取出的球是红球”,则P(A1)=,
P(B|A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,故选B.
8.A 用Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示该批产品通过检验,
则P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,
P(A1)=0.2,P(B|A1)==0.9,
P(A2)=0.4,P(B|A2)=≈0.809,
P(A3)=0.2,P(B|A3)=≈0.727,
P(A4)=0.1,P(B|A4)=≈0.652.
所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)≈0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
9.答案
解析 设事件A表示“这名学生来自甲学校”,事件B表示“这名学生来自乙学校”,事件C表示“这名学生来自丙学校”,事件D表示“这名学生选了物理”,
则P(A)=,
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)·P(D|C)=.
10.B 用A表示“丢失一箱后任取两箱都是英语书”,Bk表示“丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P(A)=.
由贝叶斯公式可知P(B1|A)=.故选B.
11.D 设事件A表示“小孩诚实”,事件B表示“小孩说谎”,
则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.1,
则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,
P()=0.1×0.5=0.05,
故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,
故P(A|B)=.
故选D.
12.AC 设A1:第一天去甲餐厅,A2:第二天去甲餐厅,
B1:第一天去乙餐厅,B2:第二天去乙餐厅,
则P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,
因为P(A2|A1)==0.5,
所以P(A2)P(A1|A2)=0.24,P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A正确; P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B不正确;
P(B1|A2)=,故C正确;
P(A1|B2)=,故D不正确,
故选AC.
13.答案 0.562 5
解析 用M表示事件“收到的字符是ABCA”,N1表示事件“传输的字符为AAAA”,N2表示事件“传输的字符为BBBB”,N3表示事件“传输的字符为CCCC”,则P(N1)=0.3,P(N2)=0.4,P(N3)=0.3,P(M|N1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.014 4,P(M|N2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.004 8,P(M|N3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.004 8.
所以P(N1|M)=
==0.562 5.
14.解析 用A1,A2,A3分别表示“产品来自甲、乙、丙车间”,B表示“产品为次品”,则P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=≈0.514,
P(A2|B)==0.2,
P(A3|B)=≈0.286.
因为0.514>0.286>0.2,
所以该次品由甲车间生产的可能性最大.
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