(共5张PPT)
知识 清单破
4.1.3 独立性与条件概率的关系
知识点 事件的相互独立性
1.A与B独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
2.当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(B|A)=P(A). ( )
2.“A1,A2,…,An相互不影响”等价于“A1,A2,…,An相互独立”. ( )
3.若P(A)=0.7, P(A|B)=0.56,则A与B独立.( )
4.若A,B独立,且P( )=0.6,则P(A|B)=0.4.( )
√
P(A)≠P(A|B),故A与B不独立.
提示
√
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的定义直接求解.
(2)正面计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
讲解分析
疑难 相互独立事件的概率的求解
疑难 情境破
典例 某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、乙、丙三人100米跑(互不影
响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 , , .若对这三名短跑运动员的100米跑进行一
次测试,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.
解析 设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,且
P(A)= ,P(B)= ,P(C)= .
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
(2)三人都不合格的概率P0=P( )=P( )P( )P( )= × × = .
(3)恰有两人合格的概率P2=P(AB )+P(A C)+P( BC)= × × + × × + ×
× = .
恰有一人合格的概率P1=1-P0-P2-P3=1- - - = .
结合(1)(2)可知,恰有一人合格的概率最大.4.1.3 独立性与条件概率的关系
基础过关练
题组一 对事件相互独立的判断
1.掷一个质地均匀的骰子一次,设事件A:掷出偶数点,事件B:掷出3点或6点,则事件A,B的关系是( )
A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥
2.当P(A)>0,P(B|A)+P()=1时,事件A与B (填“是”或“不是”)相互独立的.
题组二 相互独立事件的概率
3.已知事件A,B,且P(A)=0.2,P(B)=0.8,则下列说法正确的是( )
A.若A B,则P(A∪B)=0.8,P(AB)=0.6
B.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.8,P(AB)=0
C.若A与B相互独立,则P(A∪B)=1,P(AB)=0
D.若A与B相互独立,则P(A∪B)=0.84,P(AB)=0.16
4.某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点(不包括A站),甲、乙两人同时从A站上车,准备在B站、D站和G站中的某个站点下车,若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的,则甲、乙两人在不同站点下车的概率为( )
A. C.
5.已知A,B两个盒子中均有除颜色外其他完全相同的3个红球和3个白球,甲从盒子A中,乙从盒子B中各随机取出一个球,若2个球同色,则甲胜,且将取出的2个球全部放入盒子A中;若2个球不同色,则乙胜,且将取出的2个球全部放入盒子B中.按上述规则重复两次后,盒子A中恰有8个球的概率是( )
A. C.
6.(多选题)如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率,下列结论正确的是( )
A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
7.甲、乙两人参加玩游戏活动,每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘,已知甲每盘获胜的概率为,乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中,甲和乙获胜与否互不影响,各轮结果也互不影响,则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 .
答案与分层梯度式解析
4.1.3 独立性与条件概率的关系
基础过关练
1.B 3.D 4.C 5.C 6.ACD
1.B 由题意得,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=,即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立.当“掷出6点”时,事件A,B同时发生,所以事件A,B不是互斥事件.
2.答案 是
解析 ∵P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,∴P(B|A)=P(B),∴事件A与B相互独立.
3.D 对于A,若A B,则P(AB)=P(A)=0.2,故A错误;
对于B,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B错误;
对于C,D,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.16,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.84,故C错误,D正确.
故选D.
4.C 甲、乙两人在相同站点下车的概率为,所以甲、乙两人在不同站点下车的概率为1-,故选C.
5.C 若两次取球后,盒子A中恰有8个球,则两次取球均为甲胜,
若第一次取球甲、乙都取到红球,则概率为,
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球,盒子B中有2个红球和3个白球,
第二次取同色球为取到红球或取到白球,概率为,
故盒子A中有8个球的概率为.
同理,若第一次取球甲、乙都取到白球,且两次取球后盒子A中有8个球的概率为.
故盒子A中恰有8个球的概率是,故选C.
6.ACD 由题意知,P(A)=,所以A,B两个盒子串联后畅通的概率为,A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-,B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为,D正确.故选ACD.
7.答案
解析 设事件A1,A2分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘,事件B1,B2分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘,
则P(A1)=2×,
P(B1)=2×,
则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为A1B2∪A2B1,且A1B2,A2B1互斥,
其概率为P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=.
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