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4.2 随机变量
知识点 1 随机变量
知识 清单破
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 4.2.2 离散型随机变量的分布列
1.概念
一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有唯一确定的
实数值与之对应,就称X为一个随机变量.随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随
机变量的取值范围.
2.表示
随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示.
3.分类
(1)离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能的取值是可以一一列举出来的,则称X为离散
型随机变量.
(2)连续型随机变量:如果随机变量X的取值范围包含一个区间,则称X为连续型随机变量.
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.由于X
=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b).
知识点 2 随机变量之间的关系
知识点 3 离散型随机变量的分布列
1.(1)概念:一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},
概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用
表格表示为
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
这个表格称为X的概率分布或分布列.
(2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图1或图2来直观表示,其中,图1中,xk上的矩形宽为
1、高为pk,因此每个矩形的面积也恰为pk;图2中,xk上的线段长为pk.
图1
图2
2.性质
(1)pk≥0,k=1,2,…,n;
(2) pk=p1+p2+…+pn=1.
知识点 4 两点分布
1.两点分布
一般地,如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p 1-p
其中0
2.伯努利试验
一个所有可能结果只有两种的随机试验,通常称为伯努利试验.两点分布也常称为伯努
利分布,两点分布中的p也常被称为成功概率.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( )
2.在离散型随机变量的分布列中,每一个随机变量的可能取值对应的随机事件的概率可以为
任意的实数. ( )
3.若随机变量X的分布列如表所示,则随机变量X服从两点分布. ( )
X 2 5
P 0.3 0.7
√
在离散型随机变量的分布列中,每一个随机变量的可能取值对应的随机事件的概率均
在[0,1]范围内,且概率之和为1.
提示
服从两点分布的随机变量X的取值必须是0和1.
提示
讲解分析
疑难 离散型随机变量的分布列
疑难 情境破
1.求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)写出随机变量X的所有可能取值;
(2)求随机变量X取每个值的概率;
(3)写出随机变量X的分布列.
2.两个相关的随机变量的分布列
已知随机变量X的分布列,求随机变量Y=f(X)的分布列,其关键是弄清X取每个值时相对
应的Y的值,若f(X)的取值出现重复,则需要把它们的相应概率相加,所得即为相应Y的取值概
率.
典例 某超市举办酬宾活动,单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动,活动规则如下:
盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球,其中3个红球、2个白球和2个黑球,从中不放回
地随机抽取2个球,每个球被抽到的机会均等.每抽到1个红球记0分,每抽到1个白球记50分,每
抽到1个黑球记100分.若抽取2个球的总得分为200分,则可获得10元现金,若总得分低于100
分,则不能获得现金,其余得分可获得5元现金.
(1)设抽取2个球的总得分为X分,求X的分布列;
(2)设每位顾客一次抽奖获得现金Y元,求Y的分布列.
解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,50,100,150,200.
P(X=0)= = ,
P(X=50)= = ,
P(X=100)= = ,
P(X=150)= = ,
P(X=200)= = .
可得X的分布列如表所示.
X 0 50 100 150 200
P
(2)由(1)知Y=f(X)=
所以P(Y=0)=P(X=0)+P(X=50)= + = ,
P(Y=5)=P(X=100)+P(X=150)= + = ,
P(Y=10)=P(X=200)= .
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 5 10
P
解后反思
在求分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以检验所求分布列
是否正确.4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
基础过关练
题组一 对随机变量的概念的理解
1.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是( )
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
2.下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到的次品件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中所得分数;
③某水文站观察到的一天中长江的水位数X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.③④
题组二 用随机变量表示随机试验的结果
3.先后抛掷一个骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值集合是( )
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
4.(多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用X表示甲的得分,则{X=3}表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局
5.从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有 个.
题组三 随机变量之间的关系
6.已知随机变量X的取值范围为{1,2,3},且满足P(X=i)=(i=1,2,3),随机变量Y=2X-1,则P(Y≥3)=( )
A.
7.已知P(X=1)=P(X=2)=0.2,P(X=3)=P(X=4)=0.3,则P(|2X-5|=1)= .
8.某城市建设集团塔吊工人师傅的税前月工资按下述方法计取:固定工资3 000元,每工作一小时再获取60元.从该公司塔吊师傅中任意抽取一名,设其月工作时间为X小时(X∈N且X≤240),获取的税前工资为Y元.
(1)当X=200时,求Y的值;
(2)写出X和Y之间的关系式;
(3)若P(16 200答案与分层梯度式解析
4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
基础过关练
1.C 2.C 3.D 4.BC 6.B
1.C
2.C ①②④中随机变量X的可能取值都可以一一列举出来,故它们都是离散型随机变量;③中随机变量X可以取某一区间内的一切值,无法一一列出,故不是离散型随机变量.故选C.
3.D
4.BC
5.答案 17
解析 当取出的2支竹签上的数字为1和2时,X的值最小,此时X=3;当取出的2支竹签上的数字为9和10时,X的值最大,此时X=19,故X的可能取值为3,4,5,…,19,共17个.
6.B 由题意得P(Y≥3)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.故选B.
7.答案 0.5
解析 依题意得P(|2X-5|=1)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5.
8.解析 (1)当X=200时,表示工作了200个小时,所以Y=3 000+200×
60=15 000.
(2)由题意可得Y=3 000+60X(X∈N且X≤240).
(3)由16 200因为P(16 200所以P(220所以P(X≤220)=1-P(22054.2.2 离散型随机变量的分布列
基础过关练
题组一 离散型随机变量的分布列
1.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为( )
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
2.已知某次数学测试共4道多项选择题,评分标准是每题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分.每道多项选择题共有4个选项,正确答案往往为两项或三项.为了研究多项选择题的答题规律,某数学兴趣小组研究发现:多项选择题正确答案是“选两项”的概率为,正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人,由于数学基础一般,多项选择题完全没有思路,只能靠猜.
(1)已知某题的正确答案是“选两项”,求学生甲不得0分的概率;
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
3.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间进行“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;
(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列.
题组二 离散型随机变量的分布列的性质
4.已知离散型随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,若P(2<ξ<5)=0.2,则n的值为( )
A.4 B.6 C.9 D.10
5.随机变量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P a b c
其中2b=a+c,则P(|ξ|=1)等于( )
A.
6.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
P 1-q q-q2
则实数q的值为 .
7.设随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求实数a的值;
(2)求P;
(3)求P.
8.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组三 两点分布
9.(多选题)下列选项中的随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一个均匀的骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
10.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2,则P(Y=-2)=( )
A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4
11.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=( )
A.
能力提升练
题组一 离散型随机变量的分布列的性质及其应用
1.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A.
2.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1,X2,记X=min{X1,X2},则P(2≤X≤4)=( )
A.
题组二 求离散型随机变量的分布列
3.甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛,若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两班级之间的演出班级(不含甲、乙)的个数X的分布列.
4.为了促进消费,某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动:每位会员客户可在价值80元,90元,100元的A,B,C三种商品中选择一种使用积分进行兑换,每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分,且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为,乙兑换A,B,C三种商品的概率分别为,且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额,求X的分布列.
答案与分层梯度式解析
4.2.2 离散型随机变量的分布列
基础过关练
1.D 4.D 5.D 9.BCD 10.D 11.C
1.D 易知X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2×0.3=0.06,P(X=1)=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38,P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
2.解析 (1)在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的情况有两种:
①只选一个选项,得2分的概率P1=;
②选两个选项,得5分的概率P2=.
所以在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的概率P=P1+P2=.
(2)设学生甲的得分为X,则X的可能取值为0,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 2
P
设学生乙的得分为Y,则Y的可能取值为0,2,5,
P(Y=2)=,
P(Y=5)=,
P(Y=0)=1-,
所以Y的分布列为
Y 0 2 5
P
3.解析 (1)由题图得,200名司机中送考1次的有20人,送考2次的有100人,送考3次的有80人,
所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为=2.3.
(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B,“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C,“这两人送考次数相同”为事件D,
由题意知X的所有可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=P(D)=,
P(X=1)=P(A)+P(B)=,
P(X=2)=P(C)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
4.D 因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.故选D.
5.D ∵2b=a+c,且a+b+c=1,∴2b+b=1,
∴b=.故选D.
6.答案
解析 由离散型随机变量的分布列的性质知,解得q=.
7.解析 随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)解法一:P.
解法二:P.
(3)因为,所以X=.
所以P.
8.解析 (1)由随机变量X的分布列知,Y的所有可能取值为0,1,4,9,
P(Y=0)=,
P(Y=4)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)∵P(Y∴实数x的取值范围是(4,9].
9.BCD
10.D 当Y=-2时,-2=3X-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.
11.C 由题意得P(X=0)+P(X=1)=1,因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,即a=.故选C.
能力提升练
1.B 由题意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0)p(0)=1,解得p(0)=,
即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B.
2.B 由题意,随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4这3个互斥事件的和,而P(X=2)=,所以P(2≤X≤4)=.故选B.
3.解析 (1)由题意得,甲、乙两班级的出场序号均为偶数的概率P1=,故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率P2=1-P1=.
(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
技巧点拨
求离散型随机变量的概率分布的关键是明确离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率,最后列出表格即可.
4.解析 (1)由题可知,甲、乙两人兑换同一种商品的概率为.
(2)由题意,兑换A,B,C三种商品所需的积分分别为800,900,1 000,
则X的取值可能为0,100,200,300,400,
P(X=0)=,
P(X=100)=,
P(X=200)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
所以X的分布列为
X 0 100 200 300 400
P
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