4.2.3 二项分布与超几何分布
基础过关练
题组一 n次独立重复试验
1.伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
2.现有三个小组,每组3人,每人投篮1次,投中的概率均为,若一个小组中至少有1人投中,则称该组为“成功组”,则这三个小组中恰有一个“成功组”的概率为( )
A. C.
题组二 二项分布
3.已知X~B,则P(X=1)=( )
A. C.
4.某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为( )
A.
5.“锦里开芳宴,兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日,某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动,福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的5个相同小球,从袋中一次性摸出3个小球,若号码之和是3的倍数,则获奖.若有5名同学参与此次活动,则恰好3人获奖的概率是( )
A.
6.甲、乙两位同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,该同学获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0
7.某公园种植了4棵棕榈树,各棵棕榈树成活与否是相互独立的,且成活率均为,设ξ为成活棕榈树的棵数.
(1)求ξ的分布列;
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活,则需要补种,求需要补种棕榈树的概率.
题组三 超几何分布
8.(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有 ( )
A.10件产品中有3件次品,从中不放回地依次任意取出4件,记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学,途中有6个红绿灯路口,记此学生途中遇到红灯的次数为随机变量X
D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,记其中男生人数为X
9.(多选题)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品,现从这批产品中任意抽取4个,则其中恰好有1个二等品的概率为( )
A.1-
C.1-
10.(多选题)袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球编号为1,2,3,4,5,6,4个白球编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论正确的是( )
A.恰有3个白球的概率为
B.取出的最大号码X服从超几何分布
C.设取出的黑球个数为Y,当Y=2时,概率最大
D.若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的概率为
11.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类得到的数据如下:
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率(结果用分数表示);
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,若X表示抽到的精品果的个数,求X的分布列.
12.已知甲盒中有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒中有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒中各任取2个球.
(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列.
能力提升练
题组一 二项分布及其应用
1.为响应国家鼓励青年创业的号召,小王开了两家店铺,每家店铺招收了两名员工.已知某节假日每名员工休假的概率均为,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到另一家店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店就停业,则两家店铺在该节假日能正常营业的概率为( )
A.
2.某学生进行投篮训练,采取积分制,有7次投篮机会,投中一次得1分,不中得0分,若连续投中两次额外加1分,连续投中三次额外加2分,以此类推,连续投中七次额外加6分,假设该学生每次投中的概率是,且每次投中之间相互独立,则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是( )
A.
3.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论得到了老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究pk的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,pk=pk-1,此时这两项的概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,则k取(n+1)p的整数部分时,pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一个质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为 的概率最大.
4.某电子科技公司研制无人机,每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验,共进行3次.每次试飞后,科研人员要检验其是否有不良表现.若在3次试飞中,有不良表现不超过1次,则该架无人机得6分,否则得2分.假设每架无人机在3次试飞中每次是否有不良表现相互独立,且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在3次试飞中有不良表现的次数X的分布列;
(2)若参与试验的该型号无人机有m架,在3次试飞试验中获得的总分不低于4m分,则可认为该型号无人机通过安全认证.现有6架无人机参与试飞试验,求该型号无人机通过安全认证的概率.
题组二 超几何分布及其应用
5.已知10件产品中存在若干件次品,从中任意抽取2件进行检查,记其中的次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为( )
A.10% B.20% C.30% D.40%
6.厂家在产品出厂前需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验,以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7,从中任意取出3件进行检验,求至少有2件是合格品的概率;
(2)若厂家发给商家20件产品,其中有4件不合格,按合同规定,商家从这20件产品中任取2件进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率.
7.为了解决某地区教师资源匮乏的问题,某市教育局拟从甲、乙等5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分为三批次,每批次支教需要同时派送2名教师,且每批次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中,2人有支教经验,3人没有支教经验.
(1)求甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率;
(2)求第一批次抽到没有支教经验的教师人数X的分布列;
(3)第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是多少 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
4.2.3 二项分布与超几何分布
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 8.ABD 9.AD 10.ACD
1.C
2.B 一个小组是“成功组”的概率为1-,
则这三个小组中恰有一个“成功组”的概率为.故选B.
3.B 因为X~B,所以P(X=1)=.故选B.
4.A 由题意可知,他能合格的概率为.故选A.
5.C 每次抽奖的情况总数为=10,其中获奖的情况有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5),共4种,所以获奖的概率p=.
设5名同学中获奖的人数为X,则X~B,
所以P(X=3)=.故选C.
6.答案
解析 由题意可知,甲以3∶1获胜的概率P1=p2·(1-p)p=3p3(1-p),
甲以3∶2获胜的概率P2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,
由题意,得P1≤P2,
所以P1-P2=3p3(1-p)(2p-1)≤0,
又0故p的取值范围为.
7.解析 (1)易知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)记“需要补种棕榈树”为事件A,
由(1)得,P(A)=P(ξ≤2)=,
所以需要补种棕榈树的概率为.
8.ABD
9.AD 从12个产品中任意抽取4个,情况种数为,
其中恰好有1个二等品的情况种数为,
∴恰好有1个二等品的概率P=.
也可由对立事件(全是一等品或有2个是二等品)的概率求得恰好有1个二等品的概率P=1-.
10.ACD 对于A,由题意知恰有3个白球的概率为,故A正确;
对于D,若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的情况为取出4个白球,其概率为,故D正确;
对于B,因为取出的最大号码不是两类对象中的一类对象,不满足超几何分布的定义,故X不服从超几何分布,故B错误;
对于C,取出的黑球个数Y服从参数为10,4,6的超几何分布,因此P(Y=0)=,显然当Y=2时,概率最大,故C正确.故选ACD.
11.解析 (1)设事件A为“从这100个水果中随机抽取1个,其为礼品果”,则P(A)=,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Y,则Y~B,
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P(Y=2)=.
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个,
再从中随机抽取3个,则精品果的个数X服从超几何分布,其所有可能的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
12.解析 (1)记事件A:取出的4个球中恰有1个红球,则P(A)=,
因此,取出的4个球中恰有1个红球的概率为.
(2)由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
能力提升练
1.D 2.B 5.B
1.D 设两家店铺都不能正常营业为事件A.易知四人同时休假的概率为,有三个人同时休假的概率为,所以P(A)=,所以两家店铺在该节假日能正常营业的概率为1-P(A)=.
2.B 根据题意,该学生在此次训练中恰好得7分,可分为三类情况:
①连中4次,额外加3分,剩余3次没投中,满足要求,此时将连中4次看成一个整体,与其他3次不中排序,共有=4种选择,其概率为4×;
②连中3次,额外加2分,剩余4次,2次投中,2次没投中,且2次投中不连续,故2次不中之间可能为1次中,也可能为3次中,有以下情况:中中中(不中)中(不中)中,中(不中)中中中(不中)中,中(不中)中(不中)中中中,其概率为;
③若有2次连中两回,额外加2分,剩余3次,1次投中,2次没投中,有以下情况:中中(不中)中中(不中)中,中(不中)中中(不中)中中,中中(不中)中(不中)中中,其概率为.
综上所述,该学生在此次训练中恰好得7分的概率为.
故选B.
3.答案 18
解析 记继续进行的80次投掷试验中,出现点数为1的次数为X,则X~B,
由(n+1)p=81×=13.5,结合题中结论可知,k=13时概率最大,即后面进行的80次投掷试验中出现13次点数1的概率最大,
加上前面进行的20次投掷试验中出现的5次,所以点数1出现18次的概率最大.
4.解析 (1)由题意得X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)当m=6时,4m=24.设该型号6架无人机中获得6分的架数为x,则获得2分的架数为(6-x).
由题意可得6x+2(6-x)=4x+12≥24,解得x≥3,
又0≤x≤6,且x∈N,所以x的取值为3,4,5,6.
由(1)知1架无人机获得6分的概率为,
所以该型号无人机通过安全认证的概率为.
5.B 设10件产品中存在n件次品,则由P(ξ=1)=,得,化简,得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.∵该产品的次品率不超过40%,∴n≤4,∴n=2,∴这10件产品的次品率为×100%=20%.
6.解析 (1)“从中任意取出3件进行检验,至少有2件是合格品”记为事件A,
则事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件,
∴P(A)=×0.72×0.3+0.73=0.784.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∵只有2件都合格时才接收这批产品,
∴商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格,记“商家拒收这批产品”为事件B,
则P(B)=1-P(X=0)=.
7.解析 (1)由题意得甲每批次被抽到的概率为,
则甲在这三批次支教活动中恰有两次被抽到的概率P=.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)设ξ为第二批次抽到没有支教经验的教师人数,则ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=···,
P(ξ=1)=···,
P(ξ=2)=···0=.
因为P(ξ=1)>P(ξ=0)>P(ξ=2),所以第二批次抽到没有支教经验的教师人数最有可能是1.
17(共14张PPT)
知识点 1 二项分布
知识 清单破
4.2.3 二项分布与超几何分布
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努
利试验也常称为n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出
现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,…,n,因此
X的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
注意:两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1时的二项分布,而二项分布可以看成是两点分
布的一般形式,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.
一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的
所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n
减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)= ,k=t,t+1,…,s,则称X服从参数为N,n,
M的超几何分布,记作X~H(N,n,M).
特别地,如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表
所示.
知识点 2 超几何分布
X 0 1 … k … s
P … …
知识拓展
在n次试验中,X为事件A出现的次数,当这n次试验是有放回抽样时,X服从二项分布;当这n次
试验是不放回抽样,事件A为抽到具有某种特性(如某种颜色的球、次品)的个体时,X服从超
几何分布.但当调查研究的样本容量很大时,超几何分布近似于二项分布,并且随着样本容量
的增加,这种近似的程度也会增加.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.在n次伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同. ( )
2.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.6). ( )
3.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成. ( )
4.超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的个数. ( )
5.超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是M. ( )
√
√
√
不一定,当n不大于M时,k的最大值为n.
提示
讲解分析
疑难 1 二项分布的实际应用
疑难 情境破
1.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意设出随机变量;
(2)分析随机变量是否服从二项分布;
(3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值;
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
2.解决二项分布问题的两个关注点
(1)公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能
应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与
否,二者必居其一;二是重复性,即试验是否独立重复地进行了n次.
典例 某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全性”进行量
化评估,满分为10分,大部分大学食堂的评分在7~10分范围内,以下表格记录了它们的评分情况:
分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10]
食堂个数 1 3 8 3
(1)现从这15个大学食堂中随机抽取3个,求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率;
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国大学食堂的评分情况,若从全国大学食堂中任选3
个,记X为抽到评分不低于9分的食堂个数,求X的分布列.
解析 (1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A,
则P(A)= = .
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为 .
(2)由题表可知,从这15个大学食堂中任选1个,其评分不低于9分的概率为 = ,因此X~B
,
所以P(X=0)= × = ,
P(X=1)= × × = ,
P(X=2)= × × = ,
P(X=3)= × = .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)辨模型:抽样是不放回抽样,且要抽取的对象由差异明显的两部分组成,如“男生、女生”
“正品、次品”等,或可转化为具有明显差异的两部分,只有具有该特征的概率模型才可能
为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列组合及概率知识求解,借
助公式求解时应明确参数M,N,n,k的含义.
(3)写分布列:把求得的概率通过表格表示出来.
讲解分析
疑难 2 超几何分布的实际应用
典例 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,该企业生产了两批同种规格的芯片,第一批
占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在将两批芯片混合,工作人员
从中抽样检查.
(1)从混合的芯片中任取1个,求这个芯片是合格品的概率;
(2)若在两批芯片中采取分层抽样方法抽取一个容量为15的样本,再从样本中抽取3个芯片,求
其中第二批芯片的个数X的分布列.
解析 (1)设事件B= “任取一个芯片是合格品”,事件A1=“芯片取自第一批”,事件A2=“芯
片取自第二批”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由条件可知,样本中第一批芯片的个数为9,第二批芯片的个数为6,
易知X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P