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知识点 1 离散型随机变量的均值
知识 清单破
4.2.4 随机变量的数字特征
1.概念
一般地,如果离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).
离散型随机变量的均值刻画了随机变量的平均取值.
2.性质
若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
3.几个常见分布的均值的计算公式
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p.
(2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np.
(3)若随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= .
知识点 2 离散型随机变量的方差
1.概念
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn= [xi-E(X)]2pi为离散型随机变量X的
方差, 称为离散型随机变量X的标准差.
离散型随机变量的方差和标准差刻画了随机变量的离散程度(或波动大小).
知识拓展
D(X)= [xi-E(X)]2pi= pi-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.简记为“方差等于平方的均值减去均值的平
方”.
2.性质
若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
3.几个常见分布的方差的计算公式
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)=p(1-p).
(2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
知识拓展
若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则D(X)= .
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.随机变量的均值与样本的平均值相同. ( )
2.若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. ( )
3.随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( )
4.随机变量的方差即总体方差,它是一个常数.( )
5.D(X+2)=D(X)+2. ( )
随机变量的均值是一个常数,而样本的平均值依赖于样本的选择,是一个随机变量.
提示
√
√
讲解分析
疑难 1 求离散型随机变量的均值、方差(标准差)
疑难 情境破
1.求离散型随机变量的均值与方差(标准差)时,一般先分析随机变量的分布特征,看其是不是
常见的特殊分布,若是,直接用公式求解;若不是,按求均值与方差(标准差)的一般步骤求解.
2.已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的一次函数η=aξ+b(a≠0)的均值、方差,可直接用随机变
量的均值、方差的性质求解.
典例 (1)(多选)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5.若Y=2X-3,则下列说法正确
的是 ( )
A.随机变量X的均值为3
B.随机变量Y的均值为3
C.随机变量X的方差为2
D.随机变量Y的方差为9
(2)随机变量ξ的概率分布如下表所示,
ABC
ξ -1 0 1
P a c
若E(ξ)= ,则D(ξ)= .
解析 (1)由P(X=k)=0.2,k=1,2,3,4,5可知,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.2,P(X=
5)=0.2,
故E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,故A正确;
E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×3-3=3,故B正确;
D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2,故C正确;
D(Y)=D(2X-3)=22D(X)=8,故D错误.
故选ABC.
(2)由题意可得 解得
因此,D(ξ)= × + × + × = .
利用均值与方差的意义解决实际问题的一般步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决
策问题中,通过比较均值,可分析谁的平均水平较高.
(2)在均值相等或相近的情况下比较方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、
集中与离散的程度.因此,通过比较方差,可分析谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值、方差的实际意义下结论.
讲解分析
疑难 2 均值与方差在实际问题中的应用
典例 有甲、乙两个建材厂都想为某重点工程提供材料,为了对重点工程负责,政府工作人员
到两建材厂抽样检查,从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度,抗拉强度的分布列分别如
表所示:
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X,Y分别表示甲、乙建材厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,那么哪
个建材厂的材料抗拉强度稳定性较好
解析 由题意可得,E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,
D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,
由于E(X)=E(Y),而D(X)
基础过关练
题组一 离散型随机变量的均值
1.已知随机变量X的分布列如下表:
X 1 2
P m n
若E(X)=,则m=( )
A.
2.学校要从10名候选人中选2名同学去学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到高二(1)班的候选人的人数,则E(X)=( )
A.
3.一个口袋中装有形状、大小相同的2个白球和4个红球,从中摸出两个球,用ξ表示摸出的白球的个数,则E(ξ)= .
4.小青准备用9万元全部投资A,B两种股票,已知两种股票收益相互独立,且这两种股票的买入都是每股1万元,每股收益的分布列如下表所示,若投资A种股票a万元,则小青两种股票的收益期望和为 万元.
股票A的每股收益分布列
收益X/万元 -1 0 3
概率 0.3 0.2 0.5
股票B的每股收益分布列
收益Y/万元 -3 4
概率 0.4 0.6
5.某职称考试有A,B两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程今年通过,则下一年不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今年通过的概率均为;若两门课程今年均没有通过,则明年每门课程通过的概率均为;若今年只有一门课程没有通过,则明年这门课程通过的概率为.
(1)求该考生两年内可获得该职称的概率;
(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
题组二 离散型随机变量的均值的性质
6.设ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,则Eη等于( )
ξ 1 2 3 4
P
A.
7.已知随机变量X的分布列如表所示,则E(X+a)=( )
X 1 2 3
P a
A.
题组三 离散型随机变量的方差
8.已知随机变量X的分布列如下表所示,若EX=,则DX=( )
X -2 0 1
P a b
A.
9.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球,用X表示是否取到白球,即X=则D(X)=( )
A.
10.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )
A.3×2-2 B.2-4 C.3×2-10 D.2-8
11.某射手每次射击击中目标的概率固定,他准备进行n(n∈N+)次射击,设击中目标的次数为X,已知P(X=1)=P(X=n-1)且E(X)=4,则D(X)=( )
A. C.1 D.2
12.已知箱子中装有10个小球(除颜色外完全相同),其中2个红球,3个黑球,5个白球,现从该箱中有放回地依次取出3个小球,若变量ξ为取出3个球中红球的个数,则D(ξ)= .
题组四 离散型随机变量的方差的性质
13.已知随机变量X的分布列如下表所示:
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则D(3X+2)=( )
A.3 B.9 C.27 D.11
14.已知随机变量ξ,η满足2ξ+η=9,且ξ~B(8,p),E(ξ)=2,则E(η),D(η)分别为( )
A.5,3 B.5,6
C.8,3 D.8,6
15.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,试求a,b的值.
能力提升练
题组一 离散型随机变量的均值与方差
1.(多选题)已知离散型随机变量X的分布列如下表,则( )
X 1 2 3 4
P p2 3p2 1-2p+p2 1-3p+p2
A.p=
C.P(X>2)=
2.已知随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2
P a b c
在①a=b-c,②E(X)=1这两个条件中任选一个作为已知,判断当a在内增大时,D(X)是否随着a的增大而增大,并说明理由.
题组二 离散型随机变量的均值与方差的实际应用
3.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响,经统计,甲、乙两人一个月内从家到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下:
时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务,需要甲在30分钟内到达,乙在40分钟内到达,用X表示甲、乙两人在规定时间内从家到工作单位的人数,用频率估计概率,则( )
A.E(X)=1.5,D(X)=0.36
B.E(X)=1.4,D(X)=0.36
C.E(X)=1.5,D(X)=0.34
D.E(X)=1.4,D(X)=0.34
4.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙两人在n轮训练中训练过关的轮数为X,若EX=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A.27 B.24 C.32 D.28
5.北京冬奥会之后,多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到如下数据:
(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记X为选出可作“基地学校”的学校个数,求X的分布列和数学期望;
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中,小明同学3个动作每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数的平均值达到5次,那么理论上至少要进行多少轮测试
6.某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题才可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出考生甲、乙正确完成题数的分布列及数学期望;
(2)试用统计知识分析比较这两名考生的实验操作能力.
答案与分层梯度式解析
4.2.4 随机变量的数字特征
基础过关练
1.B 2.D 6.D 7.C 8.B 9.A 10.C 11.D
13.B 14.B
1.B 由已知得解得故选B.
2.D 由题意得随机变量X~H(10,2,4),所以E(X)=.
3.答案
解析 ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
所以E(ξ)=0×.
4.答案 10.8
解析 由题中两种股票每股收益的分布列可知,
EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(万元),
EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(万元),
所以两种股票的收益期望和为aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(万元).
5.解析 (1)设该考生两年内可获得该职称为事件A,
则P(A)=.
(2)由题意得,X的可能取值为2,3,4,则
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
EX=2×=3.
6.D Eξ=1×,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2×.
故选D.
7.C 依题意可得+a=1,解得a=,所以EX=1×=2,所以E(X+a)=E.
故选C.
8.B 由已知得,解得
所以DX=.
故选B.
9.A 由题意可知X服从两点分布,且P(X=1)=,故D(X)=.故选A.
10.C 由题意得E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,
∴p==3×2-10.故选C.
11.D 设该射手每次射击击中目标的概率为p(0因为P(X=1)=P(X=n-1),所以pn-1(1-p),整理可得(1-p)n-2=pn-2,所以1-p=p,解得p=.由E(X)=np=n=4,得n=8,所以D(X)=np(1-p)=8×=2.故选D.
12.答案
解析 由题意得,ξ~B,
所以D(ξ)=3×.
13.B 由题意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
则DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
故选B.
14.B 由已知得E(ξ)=8p=2,解得p=,所以D(ξ)=8×.由2ξ+η=9,得η=-2ξ+9,所以E(η)=-2E(ξ)+9=-2×2+9=5,D(η)=(-2)2D(ξ)=4×=6.故选B.
15.解析 (1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×=1.5,
DX=(0-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以或
能力提升练
1.BCD 3.D 4.A
1.BCD 由题意可知,p2+3p2+1-2p+p2+1-3p+p2=1,整理得6p2-5p+2=1,解得p=或p=.
当p=时,P(X=4)=1-<0,不满足题意,
当p=时,P(X=1)=,满足题意,A不正确,B正确.
P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=,C正确.
E(X)=1×,
∴D(X)=,D正确.故选BCD.
2.解析 若选择①,则有
可得b=-a,
则E(X)=b+2c=-2a,
所以D(X)=·a+·b+·c=-4a2+2a+,
所以当a∈时,D(X)随着a的增大而增大,当a∈时,D(X)随着a的增大而减小.
若选择②,则有可得a=c,
因此D(X)=a+c=2a,
所以当a在内增大时,D(X)随着a的增大而增大.
3.D 设事件A表示甲在规定时间内从家到工作单位,B表示乙在规定时间内从家到工作单位,则P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互独立,
∴P(X=0)=P()=(1-0.5)×(1-0.9)=0.05,
P(X=1)=P()=(1-0.5)×0.9+0.5×(1-0.9)=0.5,
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.9=0.45,
∴E(X)=0×0.05+1×0.5+2×0.45=1.4,
E(X2)=0×0.05+1×0.5+4×0.45=2.3,
∴D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.34.故选D.
4.A 设甲、乙每一轮训练过关的概率为p,
则p=×p1×(1-p1)
=-3+2p1p2(p1+p2)
=-3p1p2,
0令y=-3x2+x,则其图象开口向下,对称轴方程为x=,
所以0<-3p1p2≤-3×,
依题意,X~B(n,p),
所以EX=n=16,
所以n=≥=27,
所以甲、乙两人训练的轮数至少为27.
故选A.
5.解析 (1)由已知得,10所学校中“基地学校”有4所,故X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×.
(2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率P=,
小明同学在n(n∈N+)次测试中获得“优秀”的次数ξ满足ξ~B,
由题知,n×≥5,得n≥≈19.286,
因为n∈N+,所以n的最小值为20,
故理论上至少要进行20次测试.
6.解析 (1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ,则ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
Eξ=1×=2.
设考生乙正确完成实验操作的题数为η,易知η~B,
所以P(η=0)=,
P(η=1)=,
P(η=2)=,
P(η=3)=.
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以Eη=3×=2.
(2)由(1)知Eξ=Eη=2,Dξ=(1-2)2×,
P(ξ≥2)=,P(η≥2)=.
所以DξP(η≥2),
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;
从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性大.
因此甲的实验操作能力较强.
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